选修2-2-微积分基本定理

1．6微积分基本定理1．问题导航(1)微积分基本定理的内容是什么？(2)定积分的取值符号有哪些？2．例题导读通过P53例1，学会利用微积分基本定理求简单定积分的步骤和方法，通过P53例2的学习，理解定积分的几何意义和定积分的取值符号．1．微积分基本定理(1)内容：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼茨公式．(2)表示：为了方便，常常把F(b)－F(a)记成F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))＝F(b)－F(a)．2．定积分的符号由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(如图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(如图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时(如图3)，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()答案：(1)√(2)√(3)√2．若a＝eq\i\in(0,1,)(x－2)dx，则被积函数的原函数为()A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝eq\f(1,2)x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x答案：C3.eq\i\in(0,π,)sinxdx＝________．解析：eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(π,0))＝(－cosπ)－(－cos0)＝2.答案：21．应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)再计算F(b)－F(a)．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分．2．常见函数的定积分公式(1)eq\i\in(a,b,)Cdx＝Cxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(C为常数)．(2)eq\i\in(a,b,)xndx＝eq\f(1,n＋1)xn＋1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(n≠－1)．(3)eq\i\in(a,b,)sinxdx＝－cosxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a)).(4)eq\i\in(a,b,)cosxdx＝sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a)).(5)eq\i\in(a,b,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(b>a>0)．(6)eq\i\in(a,b,)exdx＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a)).(7)eq\i\in(a,b,)axdx＝eq\f(ax,lna)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(a>0且a≠1)．利用微积分基本定理求定积分求下列定积分的值．(1)eq\i\in(1,2,)(x＋1)(x－2)dx；(2)eq\i\in(1,4,)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx；(3)∫eq\s\up6(\f(π,2))0sin2xdx；(4)eq\i\in(2,4,)eq\f(x2－x＋1,x－1)dx.[解](1)eq\i\in(1,2,)(x＋1)(x－2)dx2．(1)设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x<1，,2－x，1<x≤2，))则eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析：选D.eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).(2)eq\i\in(0,π,)|cosx|dx＝________．解析：eq\i\in(0,π,)|cosx|dx＝∫eq\s\up6(\f(π,2))0|cosx|dx＋∫πeq\s\do9(\f(π,2))|cosx|dx＝∫eq\s\up6(\f(π,2))0cosxdx＋∫πeq\s\do9(\f(π,2))(－cosx)dx＝sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up6(\f(π,2)),0))－sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(π,\s\do9(\f(π,2))))＝1＋1＝2.答案：2(3)计算eq\i\in(0,2,)|x2－x|dx.解：∵|x2－x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，0≤x≤1，,x2－x，1<x≤2，))∴eq\i\in(0,2,)|x2－x|dx＝eq\i\in(0,1,)(－x2＋x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(1,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)＝1.微积分基本定理的综合应用(1)已知x∈(0，1]，f(x)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．[解析]eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2－2x，即f(x)＝－2x＋2，因为x∈(0，1]，所以f(1)≤f(x)<f(0)，即0≤f(x)<2，所以函数f(x)的值域是[0，2)．[答案][0，2)(2)已知eq\i\in(0,1,)[(3ax＋1)(x＋b)]dx＝0，a，b∈R，试求ab的取值范围．[解]eq\i\in(0,1,)[(3ax＋1)(x＋b)]dx＝eq\i\in(0,1,)[3ax2＋(3ab＋1)x＋b]dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax3＋\f(1,2)（3ab＋1）x2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝a＋eq\f(1,2)(3ab＋1)＋b＝0，即3ab＋2(a＋b)＋1＝0.法一：由于(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥4ab.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3ab＋1,2)))eq\s\up12(2)≥4ab，即9(ab)2－10ab＋1≥0，得(ab－1)(9ab－1)≥0，解得ab≤eq\f(1,9)或ab≥1.所以ab的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,9)))∪[1，＋∞)．法二：设ab＝t，得a＋b＝－eq\f(3t＋1,2)，故a，b为方程x2＋eq\f(3t＋1,2)x＋t＝0的两个实数根，所以Δ＝eq\f(（3t＋1）2,4)－4t≥0，整理得9t2－10t＋1≥0，即(t－1)(9t－1)≥0，解得t≤eq\f(1,9)或t≥1.所以ab的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,9)))∪[1，＋∞)．[互动探究]本例(1)中原已知条件改为f(t)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dx，则f(t)＝________.解析：f(t)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2t.答案：2t含有参数的定积分问题的处理办法与注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．3．(1)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0<1，则x0的值为________．解析：eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax2＋c)dx＝eq\f(1,3)ax3＋cxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(a,3)＋c＝axeq\o\al(2,0)＋c，又0≤x0<1，∴x0＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)(2)已知f(a)＝eq\i\in(0,1,)(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．解：∵eq\i\in(0,1,)(2ax2－a2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)ax3－\f(1,2)a2x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2，∴f(a)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(4,3)a＋\f(4,9)))＋eq\f(2,9)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,9).∴当a＝eq\f(2,3)时，f(a)有最大值为eq\f(2,9).数学思想利用函数的奇偶性巧解定积分问题已知eq\i\in(－1,1,)(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6，且f(t)＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,t,)（x3＋ax＋3a－b）dx)为偶函数，求a，b.[解]∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，∴eq\i\in(－1,1,)(x3＋ax)dx＝0.∴eq\i\in(－1,1,)(x3＋ax＋3a－b)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x3＋ax)dx＋eq\i\in(－1,1,)(3a－b)dx＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①又f(t)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x4,4)＋\f(a,2)x2＋（3a－b）x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t,0))＝eq\f(t4,4)＋eq\f(at2,2)＋(3a－b)t为偶函数，∴3a－b＝0.②由①②，得a＝－3，b＝－9.[感悟提高](1)在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分：①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则eq\a\vs4\al(\i\in(－a,a,)f（x）dx)＝0.②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续，则eq\a\vs4\al(\i\in(－a,a,)g（x）dx)＝2eq\i\in(0,a,)g(x)dx，如本例为偶函数，可用该结论计算．1．下列各式中，正确的是()A.eq\i\in(a,b,)F′(x)dx＝F′(b)－F′(a)B.eq\i\in(a,b,)F′(x)dx＝F′(a)－F′(b)C.eq\i\in(a,b,)F′(x)dx＝F(b)－F(a)D.eq\i\in(a,b,)F′(x)dx＝F(a)－F(b)答案：C2.eq\i\in(1,2,)(ex－1)dx＝________．解析：eq\i\in(1,2,)(ex－1)dx＝(ex－x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝(e2－2)－(e1－1)＝e2－e－1.答案：e2－e－13．求定积分∫eq\s\up6(\f(π,2))0eq\f(cos2x,sinx＋cosx)dx的值．解：∫eq\s\up6(\f(π,2))0eq\f(cos2x,sinx＋cosx)dx＝∫eq\s\up6(\f(π,2))0eq\f(cos2x－sin2x,cosx＋sinx)dx＝∫eq\s\up6(\f(π,2))0(cosx－sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up6(\f(π,2)),0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)＋cos\f(π,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin0＋cos0))＝0.

[A.基础达标]1.eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx的值为()A．1 B．2C．ln2 D．e2解析：选A.eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(e,1))＝lne－ln1＝1.2.eq\i\in(0,1,)exdx的值为()A．e B．e－1C.eq\f(1,e) D．1解析：选B.eq\i\in(0,1,)exdx＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝e1－e0＝e－1.3．已知eq\i\in(1,m,)(2x－1)dx＝2，则m的值为()A．5 B．4C．3 D．2解析：选D.∵eq\i\in(1,m,)(2x－1)dx＝(x2－x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m,1))＝m2－m＝2，∴m2－m－2＝0，∴m＝－1(舍去)或m＝2.4.eq\i\in(2,3,)eq\f(x,x－1)dx＝()A．5＋ln2 B．5－ln2C．1＋ln2 D．1－ln2解析：选C.eq\i\in(2,3,)eq\f(x,x－1)dx＝eq\i\in(2,3,)eq\f(x－1＋1,x－1)dx＝eq\i\in(2,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋ln（x－1）))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3,2))＝(3＋ln2)－(2＋ln1)＝1＋ln2.5．若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A．－1 B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D．1解析：选B.∵eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\i\in(0,1,)f（x）dx))dx)＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(2\i\in(0,1,)f（x）dx))))xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,3)＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq\f(1,3).故选B.6．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，（x≤0）,ex，（x>0）))则eq\i\in(－1,2,)f(x)dx＝________．解析：∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，（x≤0）,ex，（x>0）)).∴eq\i\in(－1,2,)f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)xdx＋eq\i\in(0,2,)exdx＝eq\f(1,2)x2eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0,－1))＋exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝－eq\f(1,2)＋e2－1＝e2－eq\f(3,2).答案：e2－eq\f(3,2)7．设f(x)＝kx＋b，若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝2，eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝3.则f(x)的解析式为________．解析：由eq\i\in(0,1,)(kx＋b)dx＝2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2，即eq\f(1,2)k＋b＝2，①由eq\i\in(1,2,)(kx＋b)dx＝3，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝3，即(2k＋2b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k＋b))＝3.∴eq\f(3,2)k＋b＝3，②由①②联立得，k＝1，b＝eq\f(3,2)，∴f(x)＝x＋eq\f(3,2).答案：f(x)＝x＋eq\f(3,2)8.eq\i\in(0,3,)eq\r(x2－4x＋4)dx＝________．解析：eq\i\in(0,3,)eq\r(x2－4x＋4)dx＝eq\i\in(0,3,)eq\r(（x－2）2)dx＝eq\i\in(0,3,)|x－2|dx＝eq\i\in(0,2,)|x－2|dx＋eq\i\in(2,3,)|x－2|dx＝eq\i\in(0,2,)(2－x)dx＋eq\i\in(2,3,)(x－2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋2x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3,2))＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)9．计算eq\i\in(0,2,)eq\f(x,\r(1＋x2))dx.解：∵f(x)＝eq\r(1＋x2)的导函数为f′(x)＝eq\f(x,\r(1＋x2)).∴eq\i\in(0,2,)eq\f(x,\r(1＋x2))dx＝eq\r(1＋x2)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\r(5)－1.10．若f(x)是一次函数，且eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝5，eq\i\in(0,1,)xf(x)dx＝eq\f(17,6).求eq\i\in(1,2,)eq\f(f（x）,x)dx的值．解：设f(x)＝kx＋b，k≠0，则eq\i\in(0,1,)(kx＋b)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)x2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(k,2)＋b＝5.①eq\i\in(0,1,)xf(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(kx2＋bx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kx3,3)＋\f(bx2,2)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(k,3)＋eq\f(b,2)＝eq\f(17,6)，②联立①②可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4.,b＝3.))∴f(x)＝4x＋3.则eq\i\in(1,2,)eq\f(f（x）,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\f(4x＋3,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(3,x)))dx＝(4x＋3lnx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝(8＋3ln2)－(4＋3ln1)＝4＋3ln2.[B.能力提升]1．若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1解析：选B.S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(7,3)，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝ln2，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝e2－e＝e(e－1)>e>eq\f(7,3)，所以S2<S1<S3，故选B.2．若函数f(x)，g(x)满足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.对于①，eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)x·coseq\f(1,2)xdx＝eq\i\in(－1,1,)eq\f(1,2)sinxdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝eq\f(1,2)(－cosx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\f(1,2)(－cos1＋cos1)＝0.故①为区间[－1，1]上的一组正交函数；对于②，eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\f(1,3)－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋1))＝eq\f(2,3)－2＝－eq\f(4,3)≠0，故②不是区间[－1，1]上的一组正交函数；对于③，eq\i\in(－1,1,)x·x2dx＝eq\i\in(－1,1,)x3dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x4))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝0.故③为区间[－1，1]上的一组正交函数，故选C.3．若eq\i\in(0,t,)cosθdθ＝eq\f(\r(3),2)，且t∈(0，2π)，则t的值为________．解析：∵eq\i\in(0,t,)cosθdθ＝sinθeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t,0))＝sint＝eq\f(\r(3),2)，∵t∈(0，2π)，∴t＝eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π.答案：eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π4．已知f(x)＝e