专题11分式方程的解法（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台专题11分式方程的解法知识引入在曹冲称象的故事中，聪明的曹冲运用了这样一种方法：要知道大象的体重但不能直接去称，便把问题变为容易办到的去称石头的重量，最后由石头的重量还原为大象的体重。这里曹冲运用了一个极为普遍的思想一—转化思想.即把有待解决的问题，通过适当的方法，转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题.类似的故事还有“七桥问题”：在18世纪，东普鲁士哥尼斯堡（今属立陶宛共和国）内有一条大河，河中有两个小岛。全城被大河分成四块陆地。河上架有七座桥，把四块陆地联系起来.当时许多市民都在思索如下后回到原来的出发地.这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题.大数学家欧拉用“一笔画决了这个问题，就是巧妙地运用了转化的思想.解分式方程一般利用转化思想，先转化为整式方程，然后通过解整式方程求出分式方程的解.的问题：一个人能否从某一陆地出发，不重复地经过每座桥一次，最”的方法解知识解读1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程.2.解分式方程的一般步骤：（1）方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代人最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。3.较为复杂的分式方程可以采用换元法、约分来简化.21世纪教育网培优学案典例示范一、解可化为一元一次方程的分式方程，体现的是转化思想例1解方程：（1）3x2；x（2）121.x1x2【提示】按照解一元一次方程的步骤解题即可；当分式是多项式时，应先将分母的多项式因式分解，再求最简公分母；解分式方程必须验根.【解答】【技巧点评】利用转化思想解分式方程的基本思路：转化思想两边同时乘分转化为求整解分式方程求得分式方程的解母的最简公分母式方程的解分式方程最后一定要验根跟踪训练11.解方程：2x3x.x1x11x11（1）(x1)(x2)；（2）二、化简后，再解方程6y12y24y20.y24y4y24y4y24例2解方程【提示】先考虑将方程中各项约分，然后按照解方程的一般步骤解题.【解答】21世纪教育网【技巧点评】对于一些形式比较繁琐的方程，可先化简，然后再解方程，可以大大简化计算过程。跟踪训练2x22.解方程3x31.x23x22x22三、裂项化简1111例3解方程：x10(x1)(x2)(x2)(x3)(x9)(x10)2.【提示】111.(x1)(x2)x1x2【解答】跟踪训练33.解方程：111(x2010)(x2011)11.x(x1)(x1)(x2)x四、拓展公式的应用例4解方程：1111；x4x7x5x6（2）12x1032x3424x2316x194x38x98x74x5【提示】（1）很显然（1）决这个问题需要观察方程特征.思路1：x4与x5直接通分比较麻烦，解1111放一边，两边通分解决问x6x4x5相差1，与x7相差1，可考虑把放一边，把x6x7题；思路2：x4与x7的和为2x11，与的和也是x5x62x11，所以考虑分别左边通分，右边通分；（2）先化简，再利用第（1）题的思路解题。【解答】【技巧点评】这两种方法的相似之处是，通过通分使得方程左右两边化为分式的分子相同、分母不相同的特殊21世纪教育网方程.跟踪训练4x4x8x7x5x5x9x8x6．4.解方程：五、整体换元例5解方程（组）：661,xy2111x211x8x22x8x213x80；（2）（1）833.xy10【提示】（1）若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法；（2）把1，1看作一个整体，当作二元一次方程组解.xy【解答】【技巧点评】当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之化简。跟踪训练5xy3xy22,5.35.解方程组：xy5xy拓展延伸六、可化为一元二次方程的分式方程21世纪教育网例6解下列分式方程：312（2）x222x（1）3；x2.xx【提示】可先去分母，将方程化成ax2+bx+c=0的形式，然后将方程左边因式分解，可化成(xp)(xq)的形式xp0，xq0.，接着得到两个一元一次方程【解答】【技巧点评】解可化为一元二次方程的分式方程，它的解题思路与可化为一元一次方程的解题思路相同，都是通过去分母，将分式方程转化为整式方程（一元二次方程），然后解方程.跟踪训练66.解下列分式方程：xx232（1）（2）x12+14x24x1x竞赛链接例7（山东省竞赛试题）形如x+1a1结构的分式方程的解法：形如x+1a1的分式方xaxaxx+1x2535x+11012xax程的解是=,利用上面的结论解方程+12a【提示】方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解.【解答】跟踪训练71x113的一个根是3，则另一个根是.27.（初中数学竞赛试题）方程+x21世纪教育网培优训练直击中考1.★解下列分式方程：216（2）14x783x0（1）5+x1x3x82x1x322xx（3）12（4）2x13xx22.★解下列分式方程：x2161（2）4x224（1）1x+2x24x+24x2x23.★解下列分式方程：13xx21x2631（1）1（2）（x1)(x1)x11xx+13x3222（4）（3）1x1x1x+2x1挑战竞赛3x+9“希望杯”全国数学邀请赛试题）若a是有理数，使得分式方程1没有解，则另xa1.★