第一章空间向量与立体几何章末检测（能力篇）-2

第一章空间向量与立体几何章末检测（能力篇）考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（）A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直【答案】C【解析】【分析】由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.【详解】平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，，平面与平面的关系是平行或重合．故选：C．2．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（）．A． B．C．12a+【答案】B【解析】【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．【详解】连接ON，则由题可得故选：B.3．已知向量，则与共线的一个单位向量（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，根据求得实数的值，即可求得单位向量的坐标.【详解】设，由已知可得，解得.因此，或.故选：B.【点睛】结论点睛：与非零向量共线的单位向量为.4．对于任意空间向量a=(a1,a2,a3)b=(b1,bA． B． C． D．【答案】B【解析】由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项.【详解】由可以推出，反之不一定成立，例：、b=(0,0,0)，则，故①不正确；当时，a=a12当时，，即，反之也成立，故③正确.所以正确命题的个数为：1.故选：B.5．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）A．B．C．向量与的夹角是D．与所成角的余弦值为【答案】B【解析】选项，计算得，所以选项不正确；选项，，所以，所以选项正确；选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.【详解】选项，由题意可知，则，∴，所以选项不正确；选项，，又，∴，所以选项正确；选项，，，∴向量与的夹角是，所以选项不正确；选项，，，设与所成角的平面角为，∴，所以选项不正确.故选：B【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.6．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面与平面所成二面角的余弦值为求出的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，平面的一个法向量为，由题意得，解得或（舍去），延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形，由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示，则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为，则截面面积为故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为求出，属于中档题7．已知平面内的，射线与所成的角均为135°，则与平面所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作出图形，如图，通过分析，可得为与平面所成的角的补角，利用余弦定理可以计算.【详解】作出如下图形，令，则，，取中点，连接，则即为与平面所成的角的补角，在中，，在中，，，，与平面所成的角的余弦值是.故选：B.【点睛】本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键.8．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出.【详解】如图：由,,故选：C【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．在正方体中，下列各式中运算结果为的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】A中，；B中，；C中，；D中，,即得解.【详解】根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：A中，；B中，；C中，；D中，．故选：BD．10．若，，与的夹角为120°，则的值为（）A． B．17 C．1 D．【答案】BD【解析】【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解【详解】由题意得解得或故选：BD11．正三棱柱中，，则（）A．与底面的成角的正弦值为B．与底面的成角的正弦值为C．与侧面的成角的正弦值为D．与侧面的成角的正弦值为【答案】BC【解析】【分析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求出与底面的成角的正弦值为，与侧面的成角的正弦值为，即得解.【详解】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设，则..．底面的其中一个法向量为，与底面的成角的正弦值为，错对．的中点的坐标为,∴侧面的其中一个法向量为，与侧面的成角的正弦值为：，故对错；故选：BC．【点睛】本题主要考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（）A．B．的最小值为C．平面D．异面直线与，所成角的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则＝______．【答案】【解析】【分析】利用空间向量的运算的坐标表示求解即可【详解】解：因为所以，所以故答案为：．14．如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.【答案】【解析】【分析】分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得的值.【详解】由题意可知，平面的一个法向量为，所以，.故答案为：.15．在三棱锥O-ABC中，OA､OB､OC两两垂直，，，，D是AB的中点，则CD与平面OAB所成的角的正切值为___________.【答案】2【解析】【分析】由已知建立空间直角坐标系，求出的坐标和平面的法向量，由数量积公式可得与平面所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.【详解】因为两两垂直，所以以为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接，所以，，，，，由于底面，所以是底面的法向量，且，设与平面所成的角为，所以，所以，所以.即与平面所成的角正切值为.故答案为：2.【点睛】本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.16．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由，求得，得到，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以为z轴，建立空间直角坐标系.则点，所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，.因为BC⊥BP,所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题：本题共6小题，共70分．其中17题10分，18-22每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.由于＝(0，1，－1)，则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，则，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．19．如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE．图一图二(1)设F为的中点，在AB上是否存在一点M，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)存在，理由见详解.(2)【解析】【分析】（1）先分析确定点M位置，再取D1E的中点L，根据平面几何知识得AMFL为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果.（2）取的中点，的中点，连接，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解.(1)存在，且AM＝AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FLEC，ECAB，∴FLAB且FL＝AB，∴FLAM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MFAL，因为MFAD1E上，AL⊂平面AD1E，所以MF平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且＝.(2)取的中点，的中点，连接，，，因为平面平面ABCE，则平面ABCE，故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，,,设平面的一个法向量为，由，即，令，解得，所以，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为20．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）在中，满足，可得，再由已知根据线面垂直的判定定理可证得面，再由面面垂直的判定定理可得证；（2）建立空间直角坐标系，设，，由向量垂直的坐标表示，可求得的值，可得结论.【详解】（1）在中，，，，满足，所以，又，，所以面，又面，所以，又四边形是边长为的正方形，所以，又，所以面，又平面，所以平面平面；（2）在线段上存在点，使得，且，理由如下：由（1）得，以点C为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设，，所以，解得，，，所以，，要使，则需，即，解得，故.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定定理，向量垂直的坐标条件，属于中档题.21．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可