玻色统计和费米统计热力学统计物理

玻色统计和费米统计热力学统计物理1第一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日非简并气体满足当系统不满足经典极限条件时，玻色系统的统计行为和费米系统的统计行为是不一样的，这样的气体称为简并气体，需要分别用玻色统计理论和费米统计理论来处理。第二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日玻色统计玻色系统所遵循的统计规律简称为玻色统计。费米统计费米系统所遵循的统计规律简称为费米统计。不满足经典极限条件的玻色和费米气体系统称为简并气体，分别满足费米分布和玻色分布守恒条件第三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日气体简并性分类强简并气体

可以预期，由于玻耳兹曼系统与玻色系统和费米系统具有粒子可否分辨的差异，微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响；玻色系统和费米系统的差别也将使玻色气体和费米气体的各种统计性质产生差异。弱简并气体非简并气体第四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日(1)玻色系统是α、β和y的函数。8.1热力学量的统计表达式巨配分函数第五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日系统的平均粒子数由第六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日内能广义力物态方程第七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日熵和α、β的确定注意到

考查多项式

利用

第八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

利用

表明β是积分因子.第九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

得根据开系的基本热力学方程(3.2.9)比较下式第十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日积分上式得利用玻色分布及其变形玻耳兹曼关系（习题8.1）第十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日系统的熵（8.1.10）可以重新表示为第十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日（8.1.9）将（8.1.9）与（6.7.4P185）比较，可得玻耳兹曼关系第十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日巨热力学势lnΞ是以α、β、y为自变量的特性函数（对简单系统是μ,T,V）。由(3.2.10)第十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日通过和玻色系统相似的运算，得到的热力学量的统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相同。(2)费米系统引入费米系统的配分函数第十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日平均总分子数

总内能

广义力熵玻耳兹曼关系巨热力学势第十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

首先通过量子力学的理论计算，或者分析有关实验的光谱数据，获取热力学系统的能级表达式和简并度，由此计算配分函数，最后用热力学量的统计表达式通过配分函数计算热力学量，从而确定系统的全部平衡性质。从热力学的特性函数理论看，巨配分函数是以α、β和y为自然变量的特性函数。（3）统计物理学处理热力学系统的一般方法第十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日§8.2弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并气体e-α或nλ3虽小，但不可忽略的玻色和费米气体。以下推导过程的公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。只考虑分子的平动自由度，分子的能量为第十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

g是由于粒子可能具有的自旋而引进的简并度。考虑到平动自由度的能级是准连续的，简并度用D(ε)dε

来近似，求和用积分来近似，于是系统的总分子为由(6.2.17),在V=L3内，能量在ε到ε

+Δε的能量范围，分子可能的微观状态数为第十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日引入变量x=βε，将上两式改写为

（8.2.3'）（8.2.4'）系统的内能为第二十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日利用级数

则上两式一部分被积函数可作近似将近似代回（8.2.3）（8.2.4）完成积分，得第二十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

（8.2.6）（8.2.7）第二十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

两式相除，再取近似其中第二十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日将玻耳兹曼分布所得的结果

作为零级近似代入上式，表示为经典极限条件的形式（8.2.8）第二十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

习题8.3试根据弱简并理想玻色(费米)气体的内能，求定容热容量、物态方程和熵。解：由（8.2.8）第二十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日由非相对论粒子的性质（习题7.1）

得弱简并气体的物态方程由热力学方法计算熵第二十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日两式比较可确定熵常数

在非简并条件下该熵应转化为（7.6.2)从而得弱简并费米(玻色)气体的熵第二十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

公式一级近似是根据玻耳兹曼分布得到的内能、热容量和理想气体状态方程，二级近似为由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加修正。费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。可以认为，量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。

第二十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日上节讨论了弱简并理想玻色（费米）)气体的性质，初步看到由微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响，在弱简并的情形下nλ3<18.3玻色－爱因斯坦凝聚（BEC）

（2014.12.11）第二十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日由于玻色子的特性，当理想玻色气体满足且温度低于临界温度Tc时，玻色子将向基态能级转移，出现独特的玻色－爱因斯坦凝聚现象。爱因斯坦和玻色于1925年从理论上预言了这一现象，但直到1995年才实现了碱金属87Rb，23Na，7Li蒸气的玻色－爱因斯坦凝聚。这一成果荣获了2001年诺贝尔物理学奖。思考题：简述玻色－爱因斯坦凝聚体的性质；玻色－爱因斯坦凝聚与气-液相变的差异是什么？第三十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日（1）玻色－爱因斯坦凝聚现象及凝聚温度Tc的确定考虑由N个全同近独立玻色子组成的系统，假设粒子的自旋为0，温度为T，宏观容器体积为V。据玻色分布，处在能级εl的粒子数为

（8.3.1）由于粒子数不能取负值，这就要求所有能级εl

均有（8.3.2）以ε0

表示粒子的最低能级，则等价于要求第三十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日即理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。若取最低能级为能量的零点，即

（8.3.3）化学势μ由粒子数守恒公式确定（8.3.4）则上式可表示为：第三十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日化学势μ确定为温度T及粒子数密度n的函数。注意εl

和ωl

都与T无关，在n给定时，T越小则要求-μ越小时，μ将趋于－0。这时趋于1。

如果将式(8.3.4)的求和用积分代替，并注意则（8.3.5）化学势随温度的降低而升高，当温度降至某一临界温度Tc第三十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日临界温度Tc由下式给出（8.3.6）令（8.3.7）第三十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

利用因此，对于给定的粒子数密度n，临界温度Tc为（8.3.8）第三十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日对第三十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日温度低于Tc时有何现象出现？前面的讨论指出，温度愈低时μ值愈高，但在任何温度下μ必取负值。由此可知，在T<Tc

时，μ仍趋于－0，但这时与n＝N/V为给定的守恒条件矛盾。产生这个矛盾的原因是，用式(8.3.5)积分代替式(8.3.4)的求和时，由于状态密度中含有ε1/2，在将求和改写为积分时,ε=0的项被丢掉，高温时粒子都处在激发态，ε=0的粒子数是一个小量，丢失后不至于影响n的守恒，但低温时基态能级开始出现粒子，丢失基态粒子将影响n的守恒。第三十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日在T<Tc时，应关注基态上的粒子数密度n0(T)第三十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日第一项是温度为T时处在能级ε=0的粒子数密度n0(T)，第二项是处在激发态能级ε>0的粒子数密度。nε>0(T)在第二项中已取极限μ→－0。粒子数密度为（8.3.9）补充基态粒子的贡献后，粒子数密度守恒得到了保证第三十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日（8.3.10）（8.3.9）第二项的计算令利用得（8.3.7）第四十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日温度为T时处在最低能级ε=0的粒子数密度为在绝对零度下粒子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻色子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下玻色粒子将全部处在ε=0的最低能级。（8.3.11）第四十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日上式表明，在T<Tc时就开始有宏观量级的粒子在能级ε=0聚集。这一现象称为玻色－爱因斯坦凝聚，简BEC。Tc为凝聚温度。凝聚在ε=0的粒子集合体称为玻色凝聚体。凝聚体的能量、动量、压强和熵均为零，因为凝聚体的微观状态完全确定（Ω=1），这时系统的能量、动量、压强和熵均由处于激发态的粒子贡献。（8.3.11）第四十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日第四十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日（2）玻色－爱因斯坦凝聚发生后玻色气体的性质内能

完成积分，将临界温度代入第四十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日上式指出，在T<Tc时理想玻色气体的CV与T2/3成正比，到T=Tc时,CV达到极值详细计算结果如右图，高温时应趋于经典值3Nk/2。在T=Tc的尖峰处,

CV连续，但CV对T的偏导数存在突变。热容量第四十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日（3）4He的λ相变T>2.17k时为正常液态，称为4HeⅠT<2.17时发生超流动性，称为4HeⅡ4He在1大气压下的沸点是4.2K，在2.17K发生一个相变T=2.17k时发生相变，称为λ相变

代入4He的相关数据，算得临界温度为3.13K，接近发生λ相变的温度2.17K。1938年伦敦提出4He的λ相变可能是一种玻色凝聚。第四十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

（8.3.14）满足临界条件时，原子的热波长大于原子的平均距离，量子统计关联起决定作用。可通过降低温度和增加气体粒子数密度的方法来实现玻色凝聚。（8.3.15）（4）理想玻色气体出现玻色凝聚体的临界条件当T<Tc，出现凝聚体的条件为由临界条件第四十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日（1）玻色－爱因斯坦凝聚是量子效应的结果，它是在动量空间发生的凝结，而气体凝结成液体是在坐标空间发生的凝结。

（2）发生气-液相变必须存在分子之间的相互作用力，没有相互作用相变是不可能发生的。玻色－爱因斯坦凝聚是对理想玻色气体而言的，粒子之间已忽略相互作用，由于微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能为负，玻色粒子间出现等效的吸引作用从而使得“相变”成为可能。玻色－爱因斯坦凝聚与气-液相变的差异第四十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日80年代以来，激光冷却、磁光陷阱和蒸发冷却技术有了突破性的进展，终于在1995年实现了碱金属87Rb，23Na，7Li蒸气的玻色－爱因斯坦凝聚。碱金属蒸汽的玻色－爱因斯坦凝聚

物质临界温度

Tc原子数目（个）原子密度(cm)-1nλ387Rb170nk1032.6×101223Na2μk5×1051014

7Li400nk1031012第四十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

瑞典皇家科学院2001年10月9日宣布，将2001年诺贝尔物理学奖联合授予美国科学家埃里克·康奈尔、卡尔·维曼和德国科学家沃尔夫冈·克特勒。他们根据玻色－爱因斯坦理论发现了一种新的物质状态——“碱金属原子稀薄气体的玻色－爱因斯坦凝聚（ＢＥＣ）”。

2001年度诺贝尔物理学奖第五十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

瑞典皇家科学院发表的新闻公报说，长期以来，让物质处于可控制的状态一直是研究人员面临的一个挑战。1924年，印度物理学家玻色曾对光粒子进行了这方面的理论研究，并把重要的研究结果告诉了爱因斯坦。爱因斯坦又把玻色的理论推广到了对特定原子的研究领域。爱因斯坦预言，如果将这类原子气体冷却到非常低的温度，那么所有原子会突然以可能的最低能态凝聚，其过程就像在气体中形成液滴。第五十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日新闻公报说，70年后，也就是到了1995年，科内尔和维曼终于通过实践证实了玻色－爱因斯坦理论，在比绝对零度高出千万分之二度的超低温度下，使约2000个铷原子形成了“玻色－爱因斯坦凝聚”。同时，克特勒也独立地用钠原子进行了同样成功的实验，而且他所获得的凝聚态还包括了更多的原子。瑞典皇家科学院认为，分享今年诺贝尔物理学奖的三名科学家的成功发现，犹如是找到了让原子“齐声歌唱”的途径，这种控制物质的新途径必将给精密测量和纳米技术等领域带来“革命性的”变化。第五十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日埃里克·康奈尔1961年出生于美国加利福尼亚州，1990年获得美国麻省理工学院物理博士头衔，现就职于美国国家标准与技术研究所。第五十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日沃尔夫冈·克特勒1957年出生于德国的海德堡，1986年获德国慕尼黑路德维希－马克西米利安大学物理博士头衔，现为美国麻省理工学院物理教授。第五十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

卡尔·维曼1951年出生于美国俄勒冈州，1977年获美国斯坦福大学物理博士头衔，现为美国科罗拉多大学教授。第五十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日第五十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日上图为从囚禁阱中排出的原子云形成玻色爱因斯坦冷凝态的过程俯视图，下图为侧视图。图形为吸收图，通过共振激光照射原子云而用CCD摄取原子云的阴影。第一个图为玻色爱因斯坦冷凝态形成之前，第二个图为玻色爱因斯坦冷凝态形成之中，背景为热运动，第三个图为几乎所有的原子都形成了玻色爱因斯坦冷凝态。右边的图形显示随着温度的降低，更多的原子蒸发了。第五十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日2012年10月18日，973计划首席科学家、国家杰出青年基金获得者、中国科学院物理研究所博士生导师刘伍明研究员在学术厅作了题为“玻色-爱因斯坦凝聚：超流、超导、超固体”的学术报告。第五十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日刘伍明，男，1960年出生，云南个旧人1994年至1996年在中国科学院物理所做博士后1996年至1998年在中国科学院理论物理所任副研究员1998年至2000年在美国Texas大学Austin分校物理系任研究员2000年至2002年在美国Delaware大学

Bartol研究所任研究员

曾在美国LosAlamos国家实验室、OakRidge

国家实验室、加州大学Berkeley数学所、加州大学SantaBarbara理论物理所、Pennsylvania大学数学系、Duke大学数学系、Utah大学物理系，加拿大Toronto大学物理系，法国Laue-Langevin研究所，西班牙CSIC物理所，香港大学物理系访问并开展合作研究。

现任中国科学院物理所研究员，博士生导师，并任物理所凝聚态理论与材料计算实验室副主任。国家重点基础研究发展计划（亦称973计划）首席科学家。第五十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日磁光阱第六十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日（5）磁光陷阱中的玻色－爱因斯坦凝聚(习题8-5)能量约束在磁光陷阱中的理想玻色子气体，处在三维谐振势中量子力学得到非简并能级为第六十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日温度为T时处在量子态(nx，ny，nz)的粒子数化学势由粒子数守恒决定粒子数非负,要求基态能级满足第六十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日化学势随温度降低而升高，在T→Tc时，μ→ε0临界温度由粒子数守恒决定其中第六十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日可以将看作连续变量而将上式求和用积分替代。两边微分当在范围内粒子可能的量子态数为第六十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日即有式中由变量替换产生了等效简并度第六十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日积分等于被积函数第六十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日基态的粒子数N0与总粒子数之比在满足N→∞,ω→0，Nω3有限

时给出在T<Tc时，凝聚在激发态的粒子数Nε>0由下式确定由粒子数守恒第六十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日在ωz>>ωx，ωy，时，kT<<ħωz，原子在z方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维电子气体，在T<Tc时将有宏观量级的原子凝聚在能量的基态习题8-6由其中第六十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日积分等于被积函数第六十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日在T<Tc时，凝聚在激发态的粒子数Nε>0由下式确定由粒子数守恒在满足N→∞,ω→0，Nω2有限时给出基态的粒子数N0与总粒子数之比第七十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日思考题简述能量均分定理；用能均分定理求得辐射场的内能U和定容热容量CV与实验结果有何差异；量子统计的结果如何解释这些差异。思考题写出普朗克公式和维恩位移公式；用维恩位移公式解释可以通过人眼的色觉判断辐射体温度的相对高低的原理。8．4光子气体（2014.12.15）第七十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日一、辐射场的热力学性质(P64.)受热物体会辐射电磁波。辐射强度（能量密度）和强度随频率的依赖关系与辐射体的温度和性质有关。2如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，热辐射的特性只取决于温度，与辐射体的其它性质无关，称为平衡辐射。平衡辐射能量密度是各向同性的、均匀的和非偏振的。平衡辐射能量密度斯特藩-玻尔兹曼定律第七十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日3基尔霍夫定律

物体在任何频率处的面辐射强度与吸收因数之比对所有物体都相同，是频率和温度的普适函数。绝对黑体（aω=1）黑体面辐射强度与平衡辐射通量密度完全相同吸收因数αω辐射强度eω平衡辐射要求第七十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日带有小孔的空窖接近于黑体,空窖内的辐射叫做黑体辐射。平衡辐射=空窖辐射=黑体辐射第七十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日辐射能量密度

辐射压强

辐射场的熵

（斯特藩—玻耳兹曼定律）辐射通量密度4平衡辐射场的热力学性质辐射场的吉布斯函数第七十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日经典量子波动瑞利金斯普朗克粒子维恩爱因斯坦方法观念历史上处理平衡辐射的两种观念和两种方法历史上关于平衡辐射的六次诺贝尔奖190419111918192119782006姓名瑞利维恩普朗克爱因斯坦彭齐亚斯约翰马瑟国籍英德德德美美第七十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。具有一定圆频率ω

、波矢量k和偏振的单色平面波可以看作辐射场的一个振动自由度，根据能均分定律，一个自由度具有平均能量kT。在体积V内，在dω的圆频率范围内，辐射场的振动自由度数为

二、辐射场的统计物理理论1用经典统计从波动观点处理辐射场(P204.)瑞利-金斯公式

第七十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日结论瑞利-金斯公式在低频范围与实验结果符合，但在高频范围与实验结果不符；维恩公式则在高频范围与实验结果符合，但在低频范围与实验结果不符。说明在经典统计范畴，无论是波的观点还是粒子的观点都不可能得到正确的结果。维恩公式

2用经典统计从粒子观点处理辐射场ωUω瑞利-金斯曲线实验曲线维恩曲线第七十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日3用量子统计理论从粒子观点处理辐射场（1）光子气体模型具有一定波矢量k、圆频率ω和偏振的单色平面波与具有一定动量p、一定能量ε和自旋为1的光子相对应。它们之间满足德布罗意关系光子的能量动量关系第七十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日在体积为V的辐射场内，在p到p+dp的动量范围内，光子可能的量子状态数为（参考6.2.16）在体积为V的辐射场内，在ω到ω+dω的频率范围内，光子可能的量子状态数为（2）普朗克公式第八十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日在体积为V的辐射场内，在ω到ω+dω的频率范围内，可能的光子数为在体积为V的辐射场内，在ω到ω+dω的频率范围内，辐射场的内能为用态密度表示简并度第八十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日普朗克公式表示辐射场内能按频率的分布，与实验结果完全一致。ωU(ω,T)实验曲线普朗克曲线第八十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日低频近似：有近似得瑞利-金斯公式当第八十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日高频近似：当得维恩公式考虑近似第八十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日引入变量辐射场的内能由普朗克公式辐射场内能第八十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日代入平衡辐射通量密度并与斯特藩—玻耳兹曼定律比较确定斯特藩常量为其中第八十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日有一个极大值，与该极大值相对应的频率用ωm来表示（3）维恩位移定律从普朗克公式看出，内能密度随频率的分布ωU(ω,T)ωm第八十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日令普朗克公式变为作变量替换第八十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日解超越方程33xy得2.822Y=xY=3-3e-x第八十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日维恩位移定律使辐射场的内能密度取极大值的条件为这时ωm与温度成正比，称为维恩位移定律。第九十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日首先计算光子气体的巨配分函数引入变量（4）通过配分函数求光子气体的热力学函数上式表示为第九十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日应用分步积分的方法于是配分函数为其中利用了积分第九十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日光子气体的内能光子气体的压强(物态方程）比较这两个式子可以得斯特藩-玻耳兹曼定律第九十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日光子气体的熵光子气体的热容量光子气体的巨热力学势光子气体的吉布斯函数与化学势第九十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日光子气体的熵光子气体热容量将巨热力学势看作特性函数光子气体的压强第九十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日由于具有一定圆频率、波矢和偏振的平面波与具有一定能量、动量和自旋投影的光子状态相应。当辐射场某一平面波处在量子数为n的状态时，相当于存在相应的n个光子。谐振子的能量在量子理论下放大了n倍。n大小由n的平均值代替4用量子统计方法从波动观点处理辐射场从粒子观点看，n是平均光子数；从波动观点看n是量子数的平均值。这样波动和粒子的图像便统一起来了。第九十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日对于ћω<<kT的低频自由度，其能量可看作是准连续的，经典统计关于一个振动自由度具有平均能量kT

的结论是适用的。反之，满足ћω>>kT的高频自由度则被冻结在n=0的基态。这样经典统计研究平衡辐射问题出现的困难便得到解决。根据量子理论，一个谐振子的能量为nћω，于是在体积V内，ω处dω范围内的辐射场内能与量子态有关第九十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日1、维恩位移定律的应用三应用人眼观测辐射体时，只能感受可见光范围内辐射能量密度最强的频段（极值点附近），根据维恩位移定律，辐射体温度与峰值频率成正比，因此，辐射体温度越高，峰值频率值越大，表观上程蓝或紫色。反之，辐射体温度越低，峰值频率越小，表观上程红色。因此，可由辐射体的颜色定性判断辐射体温度的相对高低。第九十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日斯特藩-玻耳兹曼定律根据斯特藩-玻耳兹曼定律或维恩位移定律可制造出辐射温度计、夜视仪和红外成像仪等。第九十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日夜视仪及成像效果第一百页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日光谱型恒星表温度恒星颜色O40000～25000K蓝色星B25000～12000K蓝白色星A11500～7700K白色星F7600～6100K黄白色星G6000～5000K黄色星K4900～3700K红橙色星M3600～2600K红色星恒星光谱分类第一百零一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日大爆炸宇宙学1929年，美国天文学家哈勃通过观测发现了哈勃红移—遥远恒星发出的光谱线普遍存在红移现象。3、宇宙微波背景辐射1948年，俄裔美国物理学家伽莫夫提出，宇宙诞生于一次大爆炸,从高温、高密度状态开始膨胀，温度和密度不断下降，最终演化为今天的宇宙。第一百零二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日第一百零三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日大爆炸宇宙学的三个观测证据：（1）一切化学元素的年龄都是有限的，都不大于150亿年；（2）氦平均丰度：观测发现在不同天体上，氢含量和氦含量之比近似相同，质量之比为3：1。根据宇宙膨胀速度和热辐射温度的测量，计算出宇宙早期产生的氦丰度恰好是30%。第一百零四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日光子、正反中微子、正反电子—正反核子—氢核、氘核、氚核、氦核—中性原子复合—光子脱偶，温度4000K(0.3eV)，取此刻宇宙年龄3×105

年。早期宇宙是由高温辐射（高能光子）、夸克与基本粒子（质子、中子、电子、中微子）组成的“羹汤”。（3）宇宙微波背景辐射大爆炸后的宇宙逐渐冷却，到现在应留存下可观测的遗迹，即大爆炸留下“余温”，宇宙微波背景辐射就是大爆炸的“余温”。

第一百零五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日A高度各向同性。这是早期宇宙高度均匀性的反映。B它的频谱应符合普朗克公式(黑体谱)。C温度应在3K左右，这是它从形成至今长期降温的结果。计算表明，自从大规模中性原子复合以来，宇宙尺度增加了3个数量级，相应的光子辐射温度下降了3个数量级，约为3K左右的黑体辐射。该辐射应具有三个观测特征：第一百零六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日1934年，Tolman是第一个研究有关宇宙背景辐射的人。他发现在宇宙中辐射温度的演化里温度会随着时间演化而改变；而光子的频率随时间演化(即宇宙学红移)也会有所不同。但是当两者一起考虑时，也就是讨论光谱时(是频率与温度的函数)两者的变化会抵销掉，也就是黑体辐射的形式会保留下来。第一百零七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日1964年，苏联的泽尔多维奇、英国的霍伊尔、泰勒(Tayler)、美国的皮伯斯(Peebles)等人的研究预言，宇宙应当残留有温度为几开的背景辐射，并且在厘米波段上应该是可以观测到的，从而重新引起了学术界对背景辐射的重视。美国的狄克(Dicke)、劳尔(Roll)、威尔金森(Wilkinson)等人也开始着手制造一种低噪声的天线来探测这种辐射，然而另外两个美国人无意中先于他们发现了背景辐射。1948年，美国物理学家伽莫夫、拉尔夫·阿尔菲和罗伯特·赫尔曼估算出，如果宇宙最初的温度约为十亿度，则会残留有约5~10k的黑体辐射。然而这个工作并没有引起重视。第一百零八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日第一百零九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日第一百一十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日1964年，新泽西州，贝尔电话实验室，A.APenzias和R.W.Wilson，发现7.35cm波长上与方向无关的微波噪声。电告麻省伯克，伯克想起一次学术报告上普林斯顿的皮伯斯(P.E.Peebles)提到早期宇宙应留下10K的背景噪声，伯克(B.Burke)告诉A.APenzias，使之与普林斯顿的迪克、罗尔和威金森取得联系。在AstrophysicalJournal各发表一篇通讯。A.APenzias和R.W.Wilson于1978年获奖。1978年度诺贝尔物理学奖第一百一十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日通过维恩位移定律，利用A.APenzias和R.W.Wilson测得的最大波长λ=7.35cm，计算宇宙微波背景辐射温度第一百一十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日彭齐亚斯，犹太人，1933年4月26日出生于德国的慕尼黑，7岁时随父亲转移到了美国，1954年在美国纽约市立学院毕业，主修的是物理学。后来在军队服役两年进入哥伦比亚大学当了著名物理学家拉比的助手，后随汤斯作论文，题目就是为射电天文实验建造微波激射放大器。1961年到贝尔实验室工作，从此开始了他对射电天文学的追求。第一百一十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日威尔逊1936年出生于美国得克萨斯州的休斯敦，父亲是一位化学工程师。威尔逊1957年以优秀的成绩毕业于赖斯大学，而后进入加州理工学院攻读研究生。在那里，他受到著名天文学家弗雷德·霍伊尔的影响，支持稳恒态宇宙学。1962年获博士学位。1963年威尔逊转往贝尔实验室设在新泽西州霍姆代尔的研究中心，与彭齐亚斯进行合作，于1964年使用一具为早期通讯卫星设计的天线发现了宇宙微波背景辐射。1976年威尔逊成为贝尔实验室无线电物理研究部的主任，1978年与彭齐亚斯一起获得诺贝尔物理学奖。

第一百一十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日第一百一十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日COBE的成果根据1989年11月升空的微波背景探测卫星(COBE）测量到的结果，宇宙微波背景辐射谱非常精确地符合温度为2.726±0.010K的黑体辐射谱，证实了银河系相对于背景辐射有一个相对的运动速度，并且还验证，扣除掉这个速度对测量结果带来的影响，以及银河系内物质辐射的干扰，宇宙背景辐射具有高度各向同性，温度涨落的幅度只有大约百万分之五。目前公认的理论认为，这个温度涨落起源于宇宙在形成初期极小尺度上的量子涨落，它随着宇宙的暴涨而放大到宇宙学的尺度上，并且正是由于温度的涨落，造成物质分布的不均匀性，最终得以形成诸如星系团等的一类大尺度结构。第一百一十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日世界上第一张关于微波辐射的高分辨率图像为宇宙微波背景辐射理论（CMB）提供了依据。第一百一十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日Figure2.TheCOBEsatelliteenabledmeasurementofthecosmicmicrowavebackgroundinalldirections.第一百一十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日宇宙微波背景辐射的双极现象第一百一十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日Figure4.Asky-mapofthetemperaturevariationsmeasuredbyCOBE.Redcorrespondstohighertemperatureandbluetolower.Thevariationsareminuscule–intherangeofahundred-thousandthofadegree.第一百二十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日2006年度诺贝尔物理学奖

瑞典皇家科学院诺贝尔奖委员会宣布将2006年度诺贝尔物理学奖授予两名美国科学家约翰-马瑟和乔治-斯莫特，以表彰他们发现了黑体形态和宇宙微波背景辐射的扰动现象。今年的诺贝尔物理学奖将我们带回了宇宙形成的婴儿时代。第一百二十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

马瑟说：

“宇宙背景探测卫星(COBE)项目从提议到发射升空共用了15年的时间，卫星的运作用了4年多的时间，之后，分析数据又用了几年的时间。”

“刚开始我们持怀疑态度，但并不清楚究竟是什么，因此极端地小心，对这类事情尤其要小心，因为根本就没有其他方法告诉我们这台设备是否会给出正确的答案。”

第一百二十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日斯穆特说：

“我们看见了大爆炸后30万至40万年时宇宙的形象，这看似很长，但大爆炸距今已经有150亿年或140亿年了。如果将宇宙比作人类，这一时刻相当于一个胚胎形成后几个小时，我们回望到了如此遥远的时刻。”

第一百二十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日2006年度诺贝尔物理学奖得主约翰·马瑟

第一百二十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

美国航空宇宙局（NASA）戈达德宇宙飞行中心的约翰-马瑟（60）博士。在90年，利用宇宙背景辐射探测船发现，辐射的强度随着充满宇宙的微波变动而变化的规律，使科技向宇宙起源更迈进了一步。2006年度诺贝尔物理学奖得主约翰·马瑟

第一百二十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日2006年度诺贝尔物理学奖得主乔治·斯穆特伯克利加利福尼亚大学的乔治-斯莫特（61）教授。斯莫特教授用COBE卫星观测了代替大爆炸理论的暴涨假说，并确认了假说。因此不仅解决了大爆炸理论中出现的等方性问题，还可以说明宇宙中很小的变动。

第一百二十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日2006年度诺贝尔物理学奖得主乔治·斯穆特第一百二十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日WMAP的最新发现发现

2003年，美国发射的威尔金森微波各向异性探测器对宇宙微波背景辐射在不同方向上的涨落的测量表明，宇宙的年龄是137±1亿年，在宇宙的组成成分中，4%是一般物质，23%是暗物质，73%是暗能量。宇宙目前的膨胀速度是71公里每秒每百万秒差距，宇宙空间是近乎于平直的，它经历过暴涨的过程，并且会一直膨胀下去。第一百二十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日8．5金属中的自由电子气体（2014.12.18）在金属中，原子结合成金属，一些活泼元素最外层价电子摆脱了原子核的束缚在金属中运动，称为公有化电子。这些公有化电子受到离子和其它电子的库仑作用，在初步近似下可以认为这些相互作用相互抵消，只有在金属表面由于没有外界离子的引力来抵消内部离子的作用，所以电子在金属内部离子的吸引下而被束缚在里面。因此可以把这些公有化电子看作是封闭在金属内部的自由粒子，称之为自由电子气体。金属的高导电率和高热导率证明了金属中自由电子的存在。自由电子气体模型第一百二十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日思考题简述能量均分定理；用能均分定理求自由电子的内能和定容热容量；结果与实验结果有何差异？量子统计的结果如何解释这些差异？思考题谈谈自由电子气体的费米简并压强的来源和特点；简述恒星、中子星和白矮星内部的力学平衡机制。思考题简述弱简并下理想费米气体和玻色气体的等效附加内能和相互作用的性质；比较绝对零度下理想费米气体和理想玻色气体性质的异同。思考题写出费米简并压与费米能量的关系、热运动压强与温度的关系；简述费米简并压强与热运动压强的特点。第一百三十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日将电子质量m=9.1×10-31kg和其它物理常数带入nλ3一金属中自由电子气体是强简并的费米气体第一百三十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日在常温下(T=300k)，对铜来讲铜的密度为原子量为63，如果一个铜原子贡献一个电子，则

说明在常温下金属中的自由电子形成强简并的费米气体，其它金属情况也相似。第一百三十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日元素电子密度简并条件费米压强费米能量费米温度Li4.6×1028Na2.5×1028K1.34×1028Rb1.08×1028Cs0.86×1028Cu8.5×102834003.8×1010Pa1.12×10-18J8.2×104KAg5.76×1028Au5.9×1028第一百三十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日二温度T=0情况下费米系统的性质考虑到电子自旋不为零，故在体积V内，能量在ε~ε+dε的范围内，电子可能的微观状态数（简并度）为1、T=0情况下的费米分布及费米能级第一百三十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日根据费米分布(6.7.10)上式表明，在给定电子数N、温度Ｔ和体积时，化学势μ是温度和电子密度的函数。第一百三十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日T=0K时费米气体的分布Of1εμ(0)当温度T→0时，令化学势μ=μ(0)，这时费米分布为第一百三十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日这分布可解释为，当T=0k时，在ε<μ(0)的每一个量子态上平均电子数为1，在ε>μ(0)的每一个量子态上平均电子数为零。这是由于在0k时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一个量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从ε=0的状态起依次填充到μ(0)止。O1εμ(0)第一百三十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日μ(0)

是绝对零度时电子的最大能量，称作费米能级（量）解出费米能级定义费米动量定义费米速度此时粒子数守恒条件变为第一百三十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日定义费米温度电子气体的内能电子气体的平均内能为电子气体的压强（物态方程）为

第一百三十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日费米简并压强是量子力学泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果。它产生的机制为，微观粒子全同性原理引起的量子统计关联使费米系统产生了正的附加内能，导致费米子间出现等效的排斥作用，从而产生了费米简并压强。它是一种与热运动无关的压强，热运动压强在绝对零度时为零，但费米简并压强在绝对零度时不为零。铜内的电子费米能量和简并压强为费米简并压强与热运动压强第一百四十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日由微观粒子热运动产生的压强称为热运动压强（辐射压强），它与温度有关，在绝对零度下该压强为零。金属中自由电子巨大的简并压被电子与离子的静电吸力所补偿；在白矮星和中子星中则被强大的引力所补偿。第一百四十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日中子星：热运动压力和中子简并压力与万有引力平衡。（满足1.4M⊙<M<3M⊙）行星和不同质量恒星演化结局的平衡机制主序星：原子和离子热运动压力与万有引力平衡。白矮星：热运动压力和电子简并压力与万有引力平衡。（满足钱德拉塞卡极限M<1.4M⊙）黑洞：热运动压力和中子简并压力无法抵抗万有引力时，平衡被破坏，恒星无限坍缩为一点。（大于奥本海默极限M>3M⊙）行星：电子云间静电排斥力与万有引力平衡。第一百四十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日理想玻色气体在临界温度以下开始向基态能级聚集，出现玻色－爱因斯坦凝聚现象。由于玻色气体能级上量子态不受泡利不相容原理的限制以及玻色气体间出现的等效吸引作用，绝对零度下玻色子可以全部聚集到基态成为玻色凝聚体。玻色凝聚体的能量、动量、速度、压强和熵均为零。在绝对零度时理想费米气体根据泡利不相容原理从低到高占据能级，这时理想费米气体的费米能量、费米动量、费米速度和费米压强均不为零，只有熵为零，符合热力学第三定律。

2、绝对零度下理想费米气体和玻色气体性质的比较第一百四十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日绝对零度下理想玻色气体和费米气体性质的比较(7个粒子的系统)第一百四十四页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日三温度T>0情况下费米系统的性质1、T>0情况下费米分布及热容量估算T=0T>0εμ(T)f1/20μ(0)第一百四十五页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日在绝对零度时电子占据了从０到μ(0)的每一个量子态，温度升高时由于热激发，电子可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去。但是处在低能态的电子要跃迁到没有被占据的状态，必须吸收很大的热运动能量，这是极小可能的。所以绝大多数状态的占据情况实际上并不改变，只是在μ附近数量级kT的能量范围内占据情况发生改变。分布性质的解释在kT<<μ(0)时

，eα=e-μ/kT=e-TF/T<<1，所以费米气体的强简并条件也往往表达为T<<TF。第一百四十六页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日在低温下电子气体的分布与绝对零度时的分布差异不大，μ(T)与μ(0)非常接近，第一百四十七页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日习题8-20由以及修正为εμ(T)f1/20T>T0μ(0)第一百四十八页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日因为费米气体的强简并条件等价于T<<TF

，由此可见，只有能量在μ附近，数量级为kT范围内的电子对热熔量有贡献。由此可以粗略估计电子气体的热熔量。以N有效表示能量在μ附近kT范围内电子对热熔量有贡献的有效电子数T=0T>0εμ(T)f1/20kT第一百四十九页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日将能均分定理用于有效电子，每一个有效电子对热熔量的贡献为在室温范围铜的热容量包含离子和电子的贡献与离子振动的热容量CV=3Nk相比，电子的热容量可以忽略不计。那么金属中自由电子对热熔量的贡献为第一百五十页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日2自由电子气体的热容量定量计算总电子数总内能

由第一百五十一页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日

严格计算得电子气体内能在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热熔量，但在低温范围，离子振动的热熔量按T3随温度而减少；电子热熔量与T成正比，减少比较缓慢。所以，在足够低的温度下电子热熔量将大于离子振动的热熔量而成为对金属热熔量的主要贡献。电子气体的定容热熔量为(8.5.18)第一百五十二页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日计及电子和离子振动的热熔量（9.7节），低温下金属的热熔量可以表示为3、计及电子和离子振动的金属热熔量实验值落在一条直线上,与理论结果一致,但截距有差异.第一百五十三页，共一百八十二页，编辑于2023年，星期日初级理论将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。更深入的描述金属中电子的运动相当复杂，高级理论必须考虑以下因素的影响。由于离子在空间排列的周期