华师大版八年级下19.4.3角的平分线

驶向成功的彼岸19.4.3角平分线角平分线的性质是什么用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等回顾思考？

角平分线的这条性质是怎样得到的呢？开启智慧定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE开启智慧如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE证明:

因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），所以∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO（已证），∠1＝∠2（已知），PO＝PO（公共边），∴△PDO≌△PEO(A.A.S)∴PD=PE于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．四问答

：1、如图，在Rt△ABC

中，做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?

思考

角平分线的性质，为我们证明两线段相等又提供了新的方法与途径。ABCBD是∠B的平分线，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC

相等吗？D答：DE=DC。∵BD是∠ABC的平分线（D在∠ABC的平分线上）

又∵DE⊥BA，垂足为E，∴DE=DC。为什么？DC⊥BC，垂足为C，

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，在Rt

△PDO与Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=90°PD=PE（已知）｛OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌△RtPEO∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上思考分析命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).1、∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题（）∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

BD=DC，

()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×课时训练随练习堂1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点练习1如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．练习2如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于HFP⊥CB于P,作射线AF∵CF平分∠ECB∴FG=FP(角平分线上的点到角两边距离相等)同理可证:FH=FP∴FG=FH∴点F在∠EAD的平分线上(到角两边距离相等的点