2023届解三角形热点50题训练（带解析）

第1页（共1页）2023解三角形热点50题训练1．（2023•漳州模拟）如图，平面四边形内接于圆，内角，对角线的长为7，圆的半径为．（1）若，，求四边形的面积；（2）求周长的最大值．2．（2023•贵州模拟）已知锐角的内角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．3．（2023•江宁区一模）在凸四边形中，，，，．（1）若，求；（2）若的角平分线交对角线于点，求的最大值．4．（2023•大庆模拟）已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．（1）求；（2）若，点是边的中点，求线段长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2023•泉州模拟）在梯形中，，，，．（1）若的面积为，求；（2）若，求．6．（2023•吉林模拟）已知的三个角，，的对边分别为，，，且．（1）求边；（2）若是锐角三角形，且_____，求的面积的取值范围．要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．（2023•山东模拟）在中，，是边上一点，．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．8．（2023•五华区校级模拟）如图，在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）求的长．三．解三角形（共42小题）9．（2023•江苏模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）若，求的值；（2）若，，求的面积．10．（2023•涟源市模拟）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．11．（2023•湖南模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．12．（2023•红山区模拟）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若角的平分线与交于点，，，求线段的长．13．（2023•全国一模）在中，内角，，的对边分别为，，．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．14．（2023•桃城区校级模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知，是边上的一点，且．（1）证明：；（2）若，求．15．（2023•渝中区校级模拟）在中，，，的对边分别为，，，已知．（1）求证：；（2）若，求边的最小值．16．（2023•南宁模拟）在中，角、、的对边分别为、、，已知，（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．17．（2023•南通二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，证明：；（2）若，证明：．18．（2023•广东模拟）已知中，内角，，的对边分别为，，，且，，．（1）求；（2）若与在同一个平面内，且，求的最大值．19．（2023•邢台模拟）如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求的面积；（2）若，求．20．（2023•张家界模拟）记的三个内角，，所对的边分别为，，，．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．21．（2022秋•安顺期末）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，，，分别是角，，的对边，若选．（1）求角的大小；（2）若点在边上，满足，且，，求边的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（2022秋•杭州期末）设的内角，，的对边分别为，，．若．（1）求；（2）当为锐角三角形，时，求的周长的取值范围．23．（2023•湖北模拟）在中，记角，，的对边分别为，，，已知，且，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若的面积为，求的值．24．（2023•沙坪坝区校级模拟）在中，，，分别是的内角，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）记的面积为，若，求的最小值．25．（2023•盐亭县校级模拟）在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若，．（1）求的面积；（2）若，求的长．26．（2023•湖北模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）设，若点是边上一点，，且，求的面积．27．（2023•南平模拟）某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角，为锐角，假设墙，的可利用长度（单位：米）足够长．（1）在中，若边上的高等于，求；（2）当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．28．（2023•桃城区校级模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若为线段延长线上的一点，且，，求．29．（2023春•海珠区月考）在①，②，③向量，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在中，内角、、的对边分别为、、，且____．（1）求角的大小；（2）是线段上的点，且，，求的面积．30．（2023•汕头一模）如图，在中，是边上的一点，，．（1）证明：；（2）若为靠近的三等分点，，，，为钝角，求．31．（2023•邵阳一模）如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为，，，，．（1）求；（2）若，，，记，求线段的长和面积的最大值．32．（2023•广州二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若角的平分线交于且，求的最小值．33．（2023•忻州模拟）在中，内角，，所对的边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积是，求的最小值．34．（2023•叶县模拟）如图，为半圆为直径）上一动点，，，记．（1）当时，求的长；（2）当面积最大时，求．35．（2023•福州模拟）记的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求的值：（2）求的最大值．36．（2023•湖北模拟）在中，，点在边上，．（1）若，求的值，（2）若，且点是边的中点，求的值．37．（2023•浙江模拟）如图，在中，为边上一点，，，，．（1）求的大小；（2）求的面积．38．（2023•河曲县校级开学）已知．（1）求的值；（2）在中，，为锐角，且，，求的值．39．（2023•黑龙江一模）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，角的内角平分线与边交于点，（1）求角的大小；（2）记，的面积分别为，，在①，②这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．40．（2023•湖南模拟）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求边上的中线长．41．（2023•新安县校级开学）设的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，边上的中线，求的面积．42．（2023•玉溪模拟）在中，角，，的对边长依次是，，，，．（1）求角的大小；（2）当面积最大时，求的平分线的长．43．（2022秋•金华期末）在，角，，所对应的边是，，，满足，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为钝角，为边上的点，满足，求的取值范围．44．（2022秋•道里区校级期末）在中，，，分别为角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．45．（2023•合肥模拟）已知的内角，，所对边的长分别为，，，且．（1）若，求的大小；（2）当取得最大值时，试判断的形状．46．（2023•顺庆区校级模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足_____，．（1）若，求的面积；（2）求周长的取值范围．47．（2022秋•深圳期末）如图，有一个小矩形公园，其中，，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，，现将小矩形公园扩建为三角形公园．（1）当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积．（2）当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示．若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值．（小数点后保留三位小数）参考数据：．参考公式：．48．（2022秋•长沙期末）如图，中，角，，的对边分别为，，，．（1）求的大小；（2）若内点满足，求的大小．49．（2023•红河州一模）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．记的内角，，的对边分别为，，，且_____．（1）求；（2）若，，求的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．50．（2022秋•恩施州期末）请在这三个条件：①；②；③，中任选一个条件补充在下面的横线上，并加以解答．如图，锐角中，，_____，，在边上，且，点在边上，且，交于点．（1）求的长；（2）求及的长．

2023解三角形热点分类训练参考答案与试题解析一．正弦定理（共2小题）1．（2023•漳州模拟）如图，平面四边形内接于圆，内角，对角线的长为7，圆的半径为．（1）若，，求四边形的面积；（2）求周长的最大值．【分析】（1）在中利用余弦定理求得，从而证得为等边三角形，求得其面积，再在中利用余弦定理求得，从而利用三角形面积公式求得的面积，由此得解；（2）利用余弦定理得到，从而利用基本不等式推得，由此得解．【解答】解：（1）如图所示，连结，，在中，，，所以，因为，所以，则，因为，所以为等边三角形，所以，因为，所以，在中，，即，又因为，所以，所以，所以．（2）设，，则在中，，，则，即，故，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则，因为，故，当且仅当时，等号成立，所以，即周长的最大值为．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．2．（2023•贵州模拟）已知锐角的内角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再用余弦定理可求出角；（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化边为角，再利用辅助角公式及正弦三角函数的性质可解．【解答】解：（1）由已知及正弦定理，得，即，．又，；（2）由（1）及正弦定理得，，，．，，，，．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．二．三角形中的几何计算（共6小题）3．（2023•江宁区一模）在凸四边形中，，，，．（1）若，求；（2）若的角平分线交对角线于点，求的最大值．【分析】（1）先求出，再利用正弦定理求解即可；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得到，利用三角形的面积公式求出，再得到，然后利用函数的单调性求解即可．【解答】解：如图，（1），，，，在中，，，，，在中，由正弦定理得，，；（2）设，，在中，由余弦定理得，，，，，，为的角平分线，，，，，，在，上为增函数，当时，取得最大值为．【点评】本题考查的面积公式，正弦定理，余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，函数的单调性，属于中档题．4．（2023•大庆模拟）已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．（1）求；（2）若，点是边的中点，求线段长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）若选①，由题意利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求，结合，即可求解的值；若选②，利用二倍角公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得，结合，可得，即可求解的值；若选③，利用正弦定理，两角差的正弦公式化简已知等式，可求，，进而即可求解的值．（2）由题意可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求，根据，利用二次函数的性质即可求解的范围．【解答】解：（1）若选①，因为，所以，可得，又因为，所以．若选②，因为，所以，整理可得，解得或，又因为，可得，所以，所以．若选③，因为，所以由正弦定理可得，又因为为三角形内角，，所以，可得，又因为，，，所以，可得．（2）因为，所以，因为是的中点，所以，平方得，所以，因为，所以时，，可得，所以，可得，故线段长的取值范田为，．【点评】本题考查了三角形的面积公式、平面向量数量积的运算、正弦定理、三角函数恒等变换以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．5．（2023•泉州模拟）在梯形中，，，，．（1）若的面积为，求；（2）若，求．【分析】（1）在直角三角形中可得，，代入整理可得，由三角形的面积公式可求得的值，进而应用勾股定理可求得的值；（2）由及勾股定理可解得、的值，在中运用余弦定理解得，由同角三角函数的平方关系及商式关系可求得的值．【解答】解：（1）过点作交于点，如图所示，，，则，因为，，所以，即，又因为，，所以，所以，所以，所以在中，．（2）由（1）知，，又因为，所以，所以，所以，所以，在中，，所以，所以．【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．6．（2023•吉林模拟）已知的三个角，，的对边分别为，，，且．（1）求边；（2）若是锐角三角形，且_____，求的面积的取值范围．要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）解法一，利用余弦定理将角化边；解法二，利用正弦定理将边化角；（2）若选择①，利用正弦定理得到，，则，将其转化为关于的三角函数，结合是锐角三角形，求出范围，再结合正弦函数的性质求出的面积的取值范围；若选择②，依题意可得，由为锐角三角形利用余弦定理求出的取值范围，利用余弦定理表示出，即可得到，将转化为关于的函数，结合二次函数的性质计算可得．【解答】解：（1）解法一：因为，由余弦定理，得；解法二：因为，由正弦定理，得，，，即．（2）选择①：因为，所以，，所以，因为是锐角三角形，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，即的面积的取值范围是，．选择②，因为，则，因为是是锐角三角形，所以，即，解得，因为，所以，所以，，设，由二次函数的性质可得当时，取最大值为（5），当时，，又，所以，，即，，所以，，所以，即的面积的取值范围是，．【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．7．（2023•山东模拟）在中，，是边上一点，．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．【分析】（1）首先求出、，再在、、中分别利用正弦定理计算可得；（2）设，则，，由面积公式表示出、、，即可得到，从而得到，令，则，设利用导数说明函数的单调性，即可求出的值域，即可得解．【解答】（1）解：由，，可得，．在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得，所以．（2）由，得．设，则，，所以，，，则，故．设，则．因为，所以，则．设，，则．因为当时，，所以函数在区间上单调递增．因为，，所以，故的取值范围为．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．8．（2023•五华区校级模拟）如图，在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）求的长．【分析】（1）记，根据题意用表示相关未知量，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；（2）法一：利用两角和公式求，在中，利用正弦定理运算求解；法二：先求，在中，利用余弦定理运算求解．【解答】解：（1），，，，记，则，，，，，，在中，由正弦定理得：，则，可得，化简得，解得，，则，故．（2）解法一：由（1）知：，由正弦定理得：，，解法二：在中，，在中，由余弦定理得：，即，则，解得或（舍去），故．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三．解三角形（共42小题）9．（2023•江苏模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）若，求的值；（2）若，，求的面积．【分析】（1）根据三角恒等变换可得，结合条件可得关于的方程，进而即得；（2）根据条件可得，进而可得，然后根据三角形面积的公式即得．【解答】解：（1）若，则，，，，，解得或，又，；（2）若，由，可得，，，又，，，，是以为顶角的等腰三角形，，的面积为．【点评】本题考查解三角形，三角函数公式的应用，三角方程的求解，三角形面积的求解，属中档题．10．（2023•涟源市模拟）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行的性质，结合正弦定理，即可求解；（2）先求出角的取值范围，再结合正弦定理，即可求解．【解答】解：（1），，且，则，由正弦定理可得，，，，，，即，，；（2）由（1）可得，，，，为锐角，，解得，，，，即，，综上所述，的取值范围为．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．11．（2023•湖南模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用诱导公式、和差公式和辅助角公式化简得到，即可得到；（2）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式和二倍角公式得到，最后求范围即可．【解答】解：（1），，又，，，又，，，又，；（2），为锐角三角形，，，，，，，的取值范围是．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角函数的性质，方程思想，函数思想，化归转化思想，属中档题．12．（2023•红山区模拟）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若角的平分线与交于点，，，求线段的长．【分析】（1）利用余弦定理角化边即可求解；（2）在和中用两次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得，的长度，进而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解．【解答】解：（1）由余弦定理可得，即，整理可得，所以，因为，所以；（2）如图所示：由题意可得是角的平分线，，，在中，由正弦定理可得，即，解得，在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，由正弦定理边角互化得，在中由余弦定理，解得，，所以，在由余弦定理得，解得．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．13．（2023•全国一模）在中，内角，，的对边分别为，，．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【分析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可．【解答】证明：选①②当条件，③当结论由②得，因为，所以，即，，所以，则，由①知，，代入可得，，所以，即；选①③作条件，②当结论，由③得：，因为，所以，则，所以，，所以，由③知，，所以，所以，所以，所以，；选②③作条件，①当结论，由②得：，而，所以，即，根据辅助角公式可得，，所以，，由③，，所以，得：，所以，所以，，则，，即：．【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式在三角化简证明中的应用，属于中档题．14．（2023•桃城区校级模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知，是边上的一点，且．（1）证明：；（2）若，求．【分析】（1）由题意利用正弦定理得，，代入等式即可证明．（2）由，得，，由余弦定理及，得，又，在中，由余弦定理得，联立即可求解．【解答】解：（1）证明：因为的内角，，的对边分别为，，，是边上的一点，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，所以，所以，得证．（2）由，可得，，又因为，所以在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由于，可得，可得，整理可得，又因为，所以在中，由余弦定理得，联立解得故．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15．（2023•渝中区校级模拟）在中，，，的对边分别为，，，已知．（1）求证：；（2）若，求边的最小值．【分析】（1）根据已知条件，推得，再对两边同时平方，求出，再结合三角函数的同角公式，即可求解；（2）由（1）可得，，再结合余弦定理，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】证明：（1），即，，即，，解得，，；（2）解：，则由（1）可得，，故为锐角，，故，解得，当且仅当，故的最小值为．【点评】本题主要考查三角形，考查转化能力，属于中档题．16．（2023•南宁模拟）在中，角、、的对边分别为、、，已知，（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；（2）根据已知条件，结合余弦定理，推得，再结合正弦定理，以及三角恒等变换，即可求解．【解答】解：（1），由正弦定理可得，，即，由余弦定理可得，，，；（2）由（1）可知，，，则，故，，，，即，，为锐角三角形，，解得，，，，，即，故的取值范围为，．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．17．（2023•南通二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，证明：；（2）若，证明：．【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；（2）根据正弦定理推得，即可得到．通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在，上单调递减．进而得到．【解答】证明：（1）由正弦定理可得，，所以，，，，则，即，因为，所以；（2）证明：由已知得，，又由正弦定理可得，，因为，所以，由（1）知，，则，又由正弦定理可得，，又，则，将以及代入可得，，整理可得，因为，，所以，则，令，则，，则，所以当，恒成立，所以在上单调递减，所以，即，综上所述，．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18．（2023•广东模拟）已知中，内角，，的对边分别为，，，且，，．（1）求；（2）若与在同一个平面内，且，求的最大值．【分析】（1）过作边上的高，其中为垂足，显然，进而求得，可求；（2）当取得最大值时，与分别位于两侧，在中，由正弦定理有，在中，由余弦定理可得，计算可求的最大值．【解答】解：（1）过作边上的高，其中为垂足，显然，又因为，所以从可知，；（2）当取得最大值时，与分别位于两侧，此时设，则，因此在中，由正弦定理有，所以，在中，由余弦定理可得，当时，取最大值，由此可得，所以的最大值为．【点评】本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．19．（2023•邢台模拟）如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求的面积；（2）若，求．【分析】（1）根据余弦定理求出，利用诱导公式求出，结合三角形的面积公式计算即可求解；（2）设，根据正弦定理和诱导公式可得、，解得，同角的三角函数关系求出即可求解．【解答】解：（1）在中，由余弦定理可得，，所以；（2）设，则，，在中，由正弦定理可得，即，所以，，于是，解得或（舍，所以，故．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．20．（2023•张家界模拟）记的三个内角，，所对的边分别为，，，．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；（2）根据已知条件，结合余弦定理，基本不等式的公式，以及三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1），又，，，由正弦定理可得，，即，由余弦定理可得，，，；（2），，，，解得，当且仅当时，等号成立，三角形的面积，故的面积的最大值为．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．21．（2022秋•安顺期末）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，，，分别是角，，的对边，若选．（1）求角的大小；（2）若点在边上，满足，且，，求边的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）①：先利用正弦定理进行边化角，再结合三角恒等变换化简求值；②先利用正弦定理进行角化边，再结合余弦定理化简求值；③利用二倍角公式的余弦公式运算求解；（2）根据向量的线性运算可得，再结合数量积的运算律运算求解．【解答】解：（1）若选①：，由正弦定理可得，则，，，，，又，；若选②：，由正弦定理可得：，即，，又，；若选③：，则，解得或，又，，，，；（2）由题意可得：，，，解得或（舍去），故边的长12．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，解三角形，正弦定理与余弦定理的应用，向量数量积的性质，属中档题．22．（2022秋•杭州期末）设的内角，，的对边分别为，，．若．（1）求；（2）当为锐角三角形，时，求的周长的取值范围．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值；（2）利用三角函数的关系式的变换和函数的性质的应用求出三角形周长的取值范围．【解答】解：（1），由正弦定理可得，，，，又，；（2）为锐角三角形，且，由正弦定理得，，又，，，为锐角三角形，，，，，，，，周长的取值范围为，．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23．（2023•湖北模拟）在中，记角，，的对边分别为，，，已知，且，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若的面积为，求的值．【分析】（1）由正弦定理可得，计算可求；进而由正弦定理可求；（2）设，则，由已知可求，进而由余弦定理可求，进而在，中，分别利用正弦定理可求结果．【解答】解：（1）由，得，，，又，，，，，在中，由正弦定理得，，解得；（2）设，则，又，，解得，，又，在中，由正弦定理可得，，在中，由正弦定理可得，，，．【点评】本题考查正余弦定理应用，考查运算求解能力，属中档题．24．（2023•沙坪坝区校级模拟）在中，，，分别是的内角，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）记的面积为，若，求的最小值．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；（2）根据已知条件，先求出，再对两边同时平方，并结合基本不等式的公式，三角形面积公式，即可求解．【解答】解：（1），，由正弦定理可得，，即，由余弦定理可得，，，，；（2），，，，当且仅当，即时，等号成立，，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．25．（2023•盐亭县校级模拟）在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若，．（1）求的面积；（2）若，求的长．【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理，求出，再结合三角形的面积公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合三角形中角之间的关系，以及正弦定理，推出，再结合三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1）在中，，，，，即，解得（负值舍去），故；（2），平分，，又，，在中，①，在中，②，①②，得，，又由三角函数的同角公式可知，，且，，将代入②，得，．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．26．（2023•湖北模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）设，若点是边上一点，，且，求的面积．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换，即可求解；（2）根据已知条件，推得，再结合余弦定理，以及向量的数量积运算，推得，再结合勾股定理，即可求解．【解答】解：（1），由正弦定理可得，，，，，，，，，；（2），，，又，，在中，由余弦定理可得，，即①，，，两边同时平方可得，，则，即②，②①可得，，解得，代入①得，在中，，则是以为直角的三角形，故的面积为．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．27．（2023•南平模拟）某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角，为锐角，假设墙，的可利用长度（单位：米）足够长．（1）在中，若边上的高等于，求；（2）当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．【分析】（1）过点作交于．设，则，，在中，求得，，由计算即可得解；（2）设，则，，从而得出，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．【解答】解：（1）过点作交于，设米，，则米，米，在中，，故；（2）设，则米，米，，因为，所以，所以当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．28．（2023•桃城区校级模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若为线段延长线上的一点，且，，求．【分析】（1）由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得，可得，利用三角形内角和定理即可求解的值．（2）设，在，中，由正弦定理，得，利用三角函数恒等变换的应用可求的值，进而可求的值．【解答】解：（1）由已知得，由正弦定理，得，则，即，所以（舍去）或，故，所以．（2）设，在中，由正弦定理，得①，在中，由正弦定理，得②，所以，所以，解得，又，所以，即．【点评】本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．29．（2023春•海珠区月考）在①，②，③向量，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在中，内角、、的对边分别为、、，且____．（1）求角的大小；（2）是线段上的点，且，，求的面积．【分析】（1）选条件①，利用三角恒等变换化简可得的值，结合角的取值范围可得角的值；选条件②，利用正弦定理和余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得角的值；选条件③，分析可得，利用平面向量数量积的坐标运算、正弦定理以及三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可得角的值；（2）设，可得出，，，，在中，由正弦定理可求得的值，利用二倍角的正弦公式结合弦化切可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积．【解答】解：（1）选条件①，因为，所以，所以，整理得，因为、，所以，则，故，因此．选②，因为，由正弦定理可得，所以，因为，则；选③，因为，，，所以，则，即，因为、，则，所以，因此．（2）设，因为，则，因为，所以，，，，在中，由正弦定理可知，即，即，化简可得，即，所以，所以．【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．30．（2023•汕头一模）如图，在中，是边上的一点，，．（1）证明：；（2）若为靠近的三等分点，，，，为钝角，求．【分析】（1）在和中，均利用正弦定理，分别可得，，再根据，得证；（2）结合（1）中所得，求出，进而知，再求得，然后由，得解．【解答】（1）证明：在中，由正弦定理知，，所以，在中，由正弦定理知，，所以，因为，所以，所以，整理得，，得证．（2）解：由（1）知，，因为为靠近的三等分点，所以，所以，又，，，所以，即，因为为钝角，，所以为锐角，所以，所以，所以的面积，因为为靠近的三等分点，所以．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角形面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．31．（2023•邵阳一模）如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为，，，，．（1）求；（2）若，，，记，求线段的长和面积的最大值．【分析】（1）由已知可推出，整理得到．根据，的范围可得，进而即可得出；（2）由已知可得，进而根据即可得出，根据，即可得出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）已知，由正弦定理可得，由，所以，即，所以，因为，，，所以，则，所以；（2）在中，由余弦定理得知：，即，因为，所以，因为，所以，，，因为，所以当，即时，面积有最大值．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．32．（2023•广州二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若角的平分线交于且，求的最小值．【分析】（1）化简得到，根据正弦定理计算得到，得到角度；（2）设，，确定，计算，再利用均值不等式计算得到答案．【解答】解：（1），即，即，由正弦定理得，，，故，，，故，又，故，故；（2），设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．33．（2023•忻州模拟）在中，内角，，所对的边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积是，求的最小值．【分析】（1）根据已知条件，结合二倍角公式，以及三角函数的诱导公式，求出或，再结合角的取值范围，即可求解；（2）根据已知条件，先求出，再结合向量的线性运算，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：（1）内角，，所对的边分别是，，，且，，，，，解得或，，；（2）的面积是，，，解得，，，，两边平方可得，，，内角，，所对的边分别是，，，，，，，，当且仅当，即时，等号成立，，即当时，故取得最小值．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．34．（2023•叶县模拟）如图，为半圆为直径）上一动点，，，记．（1）当时，求的长；（2）当面积最大时，求．【分析】（1）求出的值，由正弦定理能求出的长；（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值．【解答】解：（1）由题意在中，，，，是等腰直角三角形，，在以为直径的圆上，取的中点，连接，，，在中，，，由正弦定理得，解得．（2）由题意及（1）知，，在中，，，由余弦定理，，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，的面积最大，此时，．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理及基本不等式求等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．35．（2023•福州模拟）记的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求的值：（2）求的最大值．【分析】（1）根据，，得到，再结合正弦定理，余弦定理，，化简，求解即可；（2）根据余弦定理，，再结合基本不等式得到的最小值，进而求解为，的最大值即可．【解答】解：（1）因为，，所以，根据正弦定理，余弦定理，可知，；（2）因为，则，根据余弦定理，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，，则的最大值为．【点评】本题考查解三角形的应用，考查计算能力，属于中档题．36．（2023•湖北模拟）在中，，点在边上，．（1）若，求的值，（2）若，且点是边的中点，求的值．【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；（2）作出辅助线，得到，由余弦定理求出，从而求得答案．【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，所以，解得或，经检验均符合要求；（2）在中，过作的平行线交于，因为点是边的中点，所以点为的中点，在中，，又，所以，由余弦定理得，所以，所以或（舍去），故．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．37．（2023•浙江模拟）如图，在中，为边上一点，，，，．（1）求的大小；（2）求的面积．【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案．【解答】解：（1）在中，，又，所以；（2）在中，，则，因为，所以，在中，，则，，在中，因为，所以，则，故．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．38．（2023•河曲县校级开学）已知．（1）求的值；（2）在中，，为锐角，且，，求的值．【分析】（1）根据已知条件，求出，再结合三角函数的同角公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合三角函数的同角公式，求出，，再结合余弦函数的两角和公式，即可求解．【解答】解：（1），，即，；（2），为锐角，又，，，即，，，，，，，．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．39．（2023•黑龙江一模）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，角的内角平分线与边交于点，（1）求角的大小；（2）记，的面积分别为，，在①，②这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）由，结合正弦定理及化简得到，即可求解；（2）选①：由余弦定理列出方程求得，令，结合三角形的面积公式，求得则，，即可求得的值；选②：由，求得，利用余弦定理列出方程求得，联立方程组求得，，结合面积公式求得，，即可求得的值．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，即又由，可得，因为，可得，所以，又因为，可得．（2）选①：因为，，由余弦定理可得，整理得，解得，因为为的平分线，令，则，，所以，故的值为．选②：，，，由，解得，又由，由余弦定理可得，即，可得，又因为，可得，所以，即，联立方程组，解得，，由为的平分线，令，所以，，所以，故的值为．【点评】本题主要考查解三角形，考查正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．40．（2023•湖南模拟）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求边上的中线长．【分析】（1）由得，代入得到，，三边关系，由余弦定理求得后得到大小，从而求得大小；（2）由条件可求得的各边与各角，在中由余弦定理求边上的中线长．【解答】解：（1），，由正弦定理得，由，得，又由，得，，，由余弦定理得，又，，由，，，得，，；（2）由（1）得，，，，，，，所以，设的中点为，则，在中，由余弦定理得，所以边上的中线长为．【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．41．（2023•新安县校级开学）设的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，边上的中线，求的面积．【分析】（1）由正弦定理边化角可得，则，进而可得角的大小；（2）正弦定理角化边得，结合可解出，进而可求的面积．【解答】解：（1）由题意利用正弦定理可得，，，，，即；（2），，由中线，得，，．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．42．（2023•玉溪模拟）在中，角，，的对边长依次是，，，，．（1）求角的大小；（2）当面积最大时，求的平分线的长．【分析】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角；（2）由余弦定理与重要不等式可得面积最大时、的值，在中应用正弦定理可解得的值．【解答】解：（1），由正弦定理可得，由余弦定理得，又，；（2）在中，由余弦定理得，即，，，，当且仅当时取等号，，当且仅当时，，又面积为，当且仅当时面积最大，当时，，又为的角平分线，，在中，，在中，由正弦定理得．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．43．（2022秋•金华期末）在，角，，所对应的边是，，，满足，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为钝角，为边上的点，满足，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得，运算可得，可得结论；（Ⅱ）为的角平分线．进而可得，换元后利用导数可求的取值范围．【解答】解（Ⅰ）证明：，，结合正弦定理可得，所以，所以，所以，则或．若，则，此时，与题意矛盾，故．（Ⅱ）若，则为的角平分线．则，由于为钝角，则，，令，．．由，可知在，单调递增，，．故的取值范围为．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查利用导数求函数的取值范围，属中档题．44．（2022秋•道里区校级期末）在中，，，分别为角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求范围，，进而可求的值．（2）由（1）及已知可得，，联立方程可求得，结合，，可求，可得为等边三角形，进而利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为，由余弦定理可得，所以，由正弦定理可得，可得，即，可得，因为，可得，可得，因为，，，可得，所以．（2）由（1）及已知可得，因为，所以，解得，因为，，所以，可得为等边三角形，又，所以的面积．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．45．（2023•合肥模拟）已知的内角，，所对边的长分别为，，，且．（1）若，求的大小；（2）当取得最大值时，试判断的形状．【分析】（1）根据题意利用正弦定理、余弦定理进行边化角结合三角恒等变换化简整理可得，运算求解即可得结果；（2）根据题意结合化简整理得，再利用基本不等式运算求解．【解答】解：（1），，根据余弦定理可得：，，根据正弦定理可得：，，，当时，则，又，；（2）由（1）知，，，当且仅当，即当，时，等号成立，的最大值为，又，的最大值为，此时，，为直角三角形．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数公式的应用，基本不等式的应用，属中档题．46．（2023•顺庆区校级模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足_____，．（1）若，求的面积；（2）求周长的取值范围．【分析】（1）对三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和公式化简，都能得到，再由余弦定理求得，即可计算的面积；（2）由，根据正弦定理边化角，再化简得，再由求得的取值范围，即可得周长的取值范围．【解答】解：（1）若选条件①，由及正弦定理，可得，，又，，，又，；若选条件②，由及正弦定理，可得，即，化简得，又，，，又，；若选条件③，由，化简得，由余弦定理得，即，又，，故三个条件，都能得到，由余弦定理得，即，解得，的面积；（2），由正弦定理得，，，又，，，又，，周长的取值范围为．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数公式的应用，三角函数的性质，函数