激光器的输出特性

激光器的输出特性1第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期日引言前两章由发光的物理基础出发,讨论了激光产生的工作原理、在激光谐振腔中受激辐射大于自发辐射而导致光的受激辐射放大的过程和条件；为研究激光的输出特性（从激光谐振腔中传播到腔外的光束的强度与相位的大小与分布）建立了基础。激光器作为光源与普通光源的主要区别：激光器有一个谐振腔。谐振腔作用：倍增激光增益介质的受激放大作用长度以形成光的高亮度；提高了光源发光的方向性；由于激光器谐振腔中分立的振荡模式的存在，大大提高了输出激光的单色性，实现了高度的相干性，改变了输出激光的光束结构及其传输特性。本章从谐振腔的衍射理论开始研究激光输出的高斯光束传播特性，激光器的输出功率以及激光器输出的线宽极限。2第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.1光学谐振腔的衍射理论3.1.1惠更斯-基尔霍夫衍射公式惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加的结果。

惠更斯－菲涅耳原理设波阵面上任一源点的光场复振幅为，则空间任一观察点P的光场复振幅由下列积分式计算：

图3-1惠更斯-菲涅耳原理式中为源点与观察点之间的距离；为源点处的波面法线与的夹角；

为光波矢的大小，为光波长；为源点处的面元。

3第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.1.2光学谐振腔的自再现模积分方程自再现模概念起因：由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用的同时，还会引起光波的衍射效应，引起反射回来的光束的强度减弱.特点1：当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。特点2：场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。4第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期日图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面和上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标和。利用上式由镜面上的光场分布可以计算出镜面M上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。自再现模积分方程图3-2镜面上场分布的计算示意图

假设为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布，表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则

与之间应满足如下的迭代关系：

考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，应能够将再现出来，两者之间应有关系：

5第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期日其中，称为积分方程的核。综合上两式可得自再现模积分方程(续)

简化：对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射镜的线度a，而a又远大于光波长。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分方程：和的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。

6第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期日积分方程解的物理意义本征函数和激光横模本征函数的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3横模光斑示意图

用TEMmnq来表示激光模式，TEM代表横电磁波(transverseelectro-magneticwave)的简写，m、n分别代表在截面的x、y轴方向出现的节线数，为横模序数；q代表在z轴上出现的节线数，为纵模序数7第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期日损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用表示。定义为本征值和单程衍射损耗、单程相移本征值的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗.本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。

自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移，它们的关系为8第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.1.3光学谐振腔谐振频率和激光纵模谐振条件、驻波和激光纵模光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数。9第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期日纵模频率间隔腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔举例1：10cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（一种，单纵模）举例2：30cm腔长的He-Ne

激光器可能出现的纵模数

（三种，多纵模）图(3-4)腔中允许的纵模数10第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.2.1共焦腔镜面上的场分布方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解

(1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解本征值近似解Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：11第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期日镜面上自再现模场的特征

振幅分布:令,则有图(3-5)画出了m=0，1，2和n=0，1的的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布图(3-5)的变化曲线及相应的光强分布激光模式的符号：TEMmnq，TEM00是基横模。m、n的数值正好分别等于光强在x，y方向上的节线(光强为零的线)数目，而且m、n的数值越大，光场也越向外扩展。

12第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期日振幅分布:基横模TEM00场分布为：镜面上基模的“光斑有效截面半径”镜面上自再现模场的特征(续)相位分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。

单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗13第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期日镜面上自再现模场的特征(续)单程相移与谐振频率：共焦腔的频率间隔：共焦腔谐振频率的简并性：只要保证（2q+m+n+1）

不变,对应的谐振频率是

可以相同的.圆形镜共焦腔：图(3-6)方形镜共焦腔的振荡频谱14第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.2.2共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布

腔内的光场:

可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得，行波被反射镜M2反射产生传播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内迭加成驻波。

腔外的光场:

则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率t。求空间场分布的关键是：求出镜面场分布生成的行波在任意空间点的表达式。15第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.2.2共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布

如图3-7所示，将镜面场分布[式(3-18)]代入基尔霍夫衍射公式[式(3-1)]可得：图3-7计算腔内外光场分布的示意图16第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期日当场振幅为轴上()的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，所对应的横向距离即z处截面内基模的有效截面半径为；3.3.1高斯光束的振幅和强度分布基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：在共焦腔中心(z＝0)的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半径17第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.3.1高斯光束的振幅和强度分布(续)用束腰半径表示的形式图(3-8)基模光斑半径随z按双曲线规律的变化基模光斑半径随z按双曲线规律变化：18第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.3.2高斯光束的相位分布

随坐标而变化，与腔的轴线相交于点的等相位面的方程为

忽略由于z变化引起的的微小变化，用代替，则在腔轴附近有19第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.3.2高斯光束的相位分布(续)令，则有：表明等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面20第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.3.2高斯光束的相位分布(续)由式子可知：当z0＞0时，z-z0＜0；而当z0＜0时,z-z0＞0

当当共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面共焦场中等相位面的分布如图(3-9)所示。

图(3-9)共焦腔中等位相面的分布21第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.3.3高斯光束的远场发散角远场发散角(全角)定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角[参见图(3-8)]

共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量缀，它的方向性相当好.

由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。22第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期日3.3.4高斯光束的高亮度

亮度B:

单位面积的发光面在其法线方向上单位立体角范围内输出去的辐射功率。一般的激光器是向着数量级