有限元法课件

工程有限单元法

2021/5/91课程介绍一、课程内容：1、有限元法理论基础；2、有限元软件ANSYS应用。二、学习方法：理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实际问题来掌握有限元理论。三、学时数：36学时（理论学时+上机学时）四、考核方式：平时成绩+报告成绩工程有限单元法2021/5/92第一章概述1.1有限元法概述

有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。工程有限单元法2021/5/93一、什么是有限元法？

有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。工程有限单元法2021/5/94有限元方法是分析连续体的一种很有效的近似计算方法。是计算机问世以后迅速发展起来的一种广泛用于工程结构建模与分析的方法。说明工程实际问题与计算方法息息相关。自然现象的背后都对应有相关的物理本质与事物规律，用数学方法对物理本质与事物规律进行描述可以得到普适性定律和特定性定理，以及各种形式的（如代数、微分或积分）数学方程，即数学模型。工程有限单元法2021/5/95对于一个实际的工程问题，建立数学模型时，不仅需要根据实际物理背景采用有效的数学方法，还要考虑求解的效率、结果的精度以及方法的适用性等因素，即分析方法。常用的分析方法有：1.对线性的、边界规则的简单问题，一般可以利用解析法，得到精确解。2.对于许多实际工程问题，由于研究系统的庞大，使得微分方程、边界和初始条件的复杂性大大增加，一般难以得到它的精确解。对非线性的、边界不规则等问题，一般不存在精确的解析解，只能利用数值法（如，有限差分法FDM、有限元方法FEM等）得到近似解。工程有限单元法2021/5/96有限元方法的发展首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效1941年，Hrenikoff利用框架分析法（frameworkmethod）分析平面弹性体，将平面弹性体描述为杆和梁的组合体；1943年,Courant在采用三角形单元及最小势能原理研究扭转问题时，利用分片连续函数在子域中近似描述未知函数此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题，均有发展。

工程有限单元法2021/5/97

现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医学等设计过程中的结构与力学分析。

实例1(EMA-火箭发动机,卫星,雷达)工程有限单元法2021/5/98实例2(汽车,工程机械)工程有限单元法2021/5/99工程有限单元法2021/5/910工程有限单元法2021/5/911二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分与合”。

“分”是为了划分单元，进行单元分析；“合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析。结构离散-单元分析-整体求解工程有限单元法2021/5/9122.1有限元法的实现过程工程有限单元法2021/5/913(1)对象离散化当研究对象为连续介质问题时，首先需要将所研究的对象进行合理的离散化分割，即根据精度预期或经验将连续问题进行有限元分割。(2)单元分析有限元方法的核心工作是单元分析，通过分析各单元的结点力与结点位移之间的关系和边界条件，以便建立单元刚度矩阵。(3)构造总体方程将单元刚度矩阵组成总体方程刚度矩阵，且总体方程应满足相邻单元在公共结点上的位移协调条件，即整个结构的所有结点载荷与结点位移之间应存在相互的变量关系。工程有限单元法2021/5/9144.解总体方程在求解有限元模型时，应考虑总体刚度方程中引入的边界条件，以便得到符合实际情况的唯一解。5.输出结果有限元模型求解结束后，可通过数值解序列或由其构成的图形显示研究对象的物理结构变形情况以及各种物理量间的变化关系，如通过列表显示各种数据信息，用等值线分布图显示等受力点，或动画显示各种量的变化过程。工程有限单元法2021/5/9151)直接方法直接方法是指直接从结构力学引伸得到。直接方法具有简单、物理意义明确、易于理解等特点。2)变分方法变分方法是一种最常用的方法之一，主要用于线性问题的模型建立。3)加权残值法对于线性自共轭形式方程，加权残值法可得到和变分法相同的结果，如得到一个对称的刚度矩阵。对于那些“能量泛函”不存在的问题（主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的方法。2.2建立有限元方程的常用方法工程有限单元法2021/5/916通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界规则与不规则问题。有限元法其实是非线性问题，如图右所示。2.3有限元法与工程求解问题的关系工程有限单元法2021/5/917三、有限元法的基本步骤

无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。其基本步骤为：（1）研究分析结构的特点，包括结构形状与边界、载荷工况等；（2）将连续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；工程有限单元法2021/5/918（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关系。这一过程就是单元特性分析。工程有限单元法2021/5/919（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体的有限元方程，求解出节点位移。重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但各种单元的分析方法又是一致的。工程有限单元法2021/5/920四、有限元法的学习路线

从最简单的平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论及其相关应用。

工程有限单元法2021/5/921五、有限元法的发展与应用

有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。工程有限单元法2021/5/922（一）算法与有限元软件

从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法。工程有限单元法2021/5/923目前应用较多的通用有限元软件如下表：

软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件

另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。工程有限单元法2021/5/924（二）应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。工程有限单元法2021/5/925转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动，用MSC/Nastran完成）工程有限单元法2021/5/926基于ANSYS的齿轮啮合仿真

工程有限单元法2021/5/927第2章弹性力学基本方程及平面问题的有限元法工程有限单元法2021/5/9282.1弹性力学简介

本课程中的有限单元法理论要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。工程有限单元法2021/5/929弹性力学—区别与联系—

材料力学1、研究的内容：基本上没有什么区别。

弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。

材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。工程有限单元法2021/5/930弹性力学—区别与联系—

材料力学3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。工程有限单元法2021/5/931弹性力学—区别与联系—

材料力学例如，材料力学在研究有孔的拉伸构件通常就假定拉应力在净截断面均匀分布。工程有限单元法2021/5/932弹性力学—区别与联系—

材料力学

总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。工程有限单元法2021/5/933弹性力学基本方程

一、弹性力学中的几个基本概念：

1、体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。

2、面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。工程有限单元法2021/5/934

3、内力、平均应力和应力

（1）内力（Internalforces）：是物体本身不同部分之间相互作用的力；

（2）平均应力（theaveragestress）：设作用在包含P点某一个截面mn上的单元面积（elementaryarea）ΔA

上的力为ΔF

，则ΔF/ΔA

称为ΔA

上的平均应力；

（3）应力：如果假设内力分布连续，命ΔA无限减小并趋向P点,则ΔF/ΔA

将趋向一个极限p:

这个极限P就叫做物体在截面mn上，在P点的应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。工程有限单元法2021/5/935

内力、平均应力和应力的概念工程有限单元法2021/5/9364.正应力和切应力的概念

正应力：应力在作用截面法线方向的分量；

切应力：应力在作用截面切线方向的分量。

正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为dx,

dy,

dz.正平行六面体应力如图所示.工程有限单元法2021/5/937(1)应力的表示正应力用σ表示.它的下标表示作用方向.如σx表示正应力沿着x

方向;剪应力用τ表示,它有两个下标,例如τxy表示剪应力作用在垂直x轴的平面上,但沿着y方向.

(2)应力的符号如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向，这个面就称为正面，这个面上的应力就以沿着坐标轴的正方向为正；沿着坐标轴的负方向为负。工程有限单元法2021/5/938

这个应力符号的规定与材料力学的不同,在材料力学中:正应力的符号为拉为正,压为负;而剪应力为正面向下的为正;负面向上为正.或用右手法则确定:右手姆指沿面的外法线时,其余四个手指反时针为正,顺时针为负.材料力学中正的剪应力弹性力学中正的剪应力工程有限单元法2021/5/939剪应力互等定律

作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。工程有限单元法2021/5/940可以证明:如果这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：工程有限单元法2021/5/9415、形变和正应变、剪应变的概念

（1）形变:

形状的改变，它包含长度和角度的改变。（2）正应变：各线段单位长度的伸缩。以伸长为正；缩短为负。（3）剪应变：各线段之间的直角的改变。6、位移

是指位置的移动.它在

x,y和z

轴上的投影用u,v

和w,来表示。它的符号是沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。工程有限单元法2021/5/942二、弹性力学中关于材料性质的基本假定(1)连续性:假定物体是连续.即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留任何空隙.这样,物体内的物理量,例如应力形变和应变,才可能是连续的,才可以用连续函数来表示;(2)完全弹性:假定物体是完全弹性的.所谓弹性,是指物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的性质.而完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任何剩余变形.(3)均匀性:假定物体是均匀的,整个物体由同一材料组成.(4)各向同性:假定物体是各向同性的,即物体的弹性性质在所有各个方向都相同.

符合以上四个假定的物体,称为理想弹性体.工程有限单元法2021/5/943(5)小变形假定:假定物体的位移和形变是微小的.即物体的位移远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1.

因此,本课程所讨论的问题,都是理想弹性体的小变形问题.工程有限单元法2021/5/944三、弹性力学的研究方法

在弹性体内部,考虑静力学,几何学和物理学三方面条件,分别建立三套基本方程.

此外,在弹性体的边界上,建立边界条件.位移边界条件边界条件应力边界条件工程有限单元法2021/5/945弹性力学的基本变量工程有限单元法2021/5/946弹性力学的基本方程-平衡方程由物体的受力平衡条件建立的方程：工程有限单元法2021/5/947弹性力学的基本方程-几何方程由物体的受力变形后，各应变分量和位移分量的关系建立的方程：工程有限单元法2021/5/948弹性力学的基本方程-物理方程由物体材料本身的物理特性建立的方程，其中E-弹性模量；-泊松比；G-剪切弹性模量。且对各向同性材料，工程有限单元法2021/5/949在限元法中，物理方程可表示为：工程有限单元法2021/5/950弹性力学的基本方程-边界条件工程有限单元法2021/5/951四、弹性力学问题的解法空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量，共有15个未知函数，在给定边界条件时，问题是可解的。弹性力学问题的提法是，给定作用在物理全部边界或内部的作用，求解物理由此产生的应力场和位移场。工程有限单元法2021/5/952

按照三种不同的边界条件，弹性力学问题可分为应力边界条件问题、位移边界问题和混合边界。由于有限元模型是对实际结构的反映，对有限元模型施加合适的载荷条件和边界条件，是正确求解有限元解的关键。工程有限单元法2021/5/953根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题有三种方法：（1）应力法：以应力分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。求得应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求出位移分量。（2）位移法：以位移分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。求得位移分量后，用几何方程求应变分量，再由物理方程求应力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。（3）混合法：采用各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。工程有限单元法2021/5/954五、虚功原理及虚功方程图1-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：上式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。2021/5/955虚功原理

进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。

对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的和所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。工程有限单元法2021/5/956虚功原理

必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力，由于支点C没有位移，故所作的虚功对于零)。反之，如图1-8中的和是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。工程有限单元法2021/5/957虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：

这就是虚功方程，其中P和相应的代表力和虚位移。工程有限单元法2021/5/958虚功原理----用于弹性体的情况

虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即：W=T-U；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：T-U=0

外力虚功T=内力虚功U

弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。工程有限单元法2021/5/959六、两种平面问题

弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应变问题工程有限单元法2021/5/960平面应力问题

厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即，所以称为平面应力问题。工程有限单元法2021/5/961平面应力问题应力矩阵(1-2)

可以简化为：工程有限单元法2021/5/962物理方程(1-10)中后两式可见，这时的剪应变：由物理方程(1-10)中的第三式可见：一般，并不一定等于零，但可由及求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑三个应变分量即可，于是应变矩阵(1-3-2)简化为：工程有限单元法2021/5/963平面应力问题物理方程(1-10)简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：

工程有限单元法2021/5/964平面应力问题将(1-21)式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵[D]则简化为：

工程有限单元法2021/5/965平面应力问题只有三个应变分量需要考虑，所以几何方程(1-3)简化为：工程有限单元法2021/5/966平面应力问题弹性体的虚功方程(1-17)简化为工程有限单元法2021/5/967平面应变问题

一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即w=0

因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。工程有限单元法2021/5/968平面应变问题既然w=0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程(1-3-1)可见。于是只剩下三个应变分量，几何方程仍然简化为方程(1-24)。工程有限单元法2021/5/969平面应变问题因为由物理方程(1-11)中后两式可见又由物理方程(1-11)中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然，但一般并不等于零，不过它可以由及求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量需要考虑。工程有限单元法2021/5/970平面应变问题物理方程(1-11)简化为：

工程有限单元法2021/5/971平面应变问题将(1-25)式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵[D]则为：

工程有限单元法2021/5/972平面应变问题

平面应变问题，由于在Z方向没有外力，应力和应变也不沿Z方向变化，所以虚功方程(1-25)仍然适用，其中的t可以取为任意数值，但必须是这个t范围内的外力。需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。

工程有限单元法2021/5/973平面应力问题与平面应变问题

对于两种平面问题，几何方程都是(1-24)，虚功方程都是(1-25)，物理方程都是：

工程有限单元法2021/5/974平面应力问题与平面应变问题对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用(1-23)式，而对于平面应变则采用(1-28)式，还可注意，在(1-23)式中，若将E改换为，将改换为，就得出公式(1-28)。工程有限单元法2021/5/975平面应力问题与平面应变问题

在两种平面问题中，如果，则和1-3中(1-4)式相似，由几何方程的积分得出：其中及分别代表弹性体沿x及y方向的刚体移动，而代表弹性体绕Z轴的刚体转动。工程有限单元法2021/5/9762.2平面问题的有限元法工程有限单元法2021/5/977

有限单元法的基本思路：(1)把物体分成有限大小的单元，单元间用节点相连接。(2)把单元节点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。(3)将节点的位移与节点的力联系起来。(4)列出节点的平衡方程，得出以节点位移表达的平衡方程组。(5)求解代数方程组，得出各节点的位移，根据节点位移求出各单元中的应力。有限单元法的基本未知量是节点位移，用节点的平衡方程来求解。工程有限单元法2021/5/978弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：

1、离散化2、单元分析3、单元综合

1、离散化有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在节点处用铰相连，荷载也移置到节点上，成为节点荷载。在节点位移或其某一分量可以不计之处，就在节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。工程有限单元法2021/5/979车辆工程技术中心

2、单元分析对三角形单元，建立节点位移与节点力之间的转换关系.节点位移

节点力

2021/5/980

2、单元分析-----单元刚度矩阵取节点位移作基本未知量。由节点位移求节点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：工程有限单元法2021/5/981

3、单元综合将离散化了的各个单元合成整体结构，利用节点平衡方程求出节点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---节点位移。为此需要建立节点的平衡方程。工程有限单元法2021/5/982i点总的节点力应为：根据节点的平衡条件，得单元e的节点力，可按式(2-2)用节点位移表示，代入得到用节点位移表示的平衡方程。每个可动节点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的节点位移。单元综合的目的就是要求出节点位移。节点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。工程有限单元法2021/5/9832.2.1平面问题的离散化

对任何工程平面构件进行有限元分析，首先都是从简化其几何形状，绘出其平面简图入手。连续体的离散化就是单元网格划分。平面问题中最常用的单元是三角形和矩形单元。总之，通过单元划分，载荷移置以及约束简化，就形成了有限元模型。工程有限单元法2021/5/984在划分单元时，应注意以下几点：（1）单元类型的选择，主要取决于结构的几何形状、施加的载荷类型和要求的计算精度。（2）单元的大小（即网格的疏密），从有限元的理论上讲，单元划分越细，节点布置越多，计算结果精度越高。但相应要求计算机容量也增大，计算时间也增加。（3）单元有疏有密，对结构的不同部位可采用不同大小的单元。（4）不同厚度或不同材料处，应取作为单元的边界线，而且在该处附近的单元还应划分的小一些，以尽可能反映出边线两侧应力的突变情况。（5）预留载荷位置，在分布载荷集度变化处和集中力作用处，应布置节点，以利加载，并且其附近的单元也应划分的小些，以反映此处的应力变化。工程有限单元法2021/5/9852.2.2单元位移函数

如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。工程有限单元法2021/5/986

三节点三角形单元六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3结点三角形单元的位移函数如下，所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。位移函数写成矩阵形式为：工程有限单元法2021/5/987

最终确定六个待定系数工程有限单元法2021/5/988

令（下标i，j，m轮换）简写为[I]是单位矩阵，[N]称为形态矩阵，Ni称为位移的形态函数工程有限单元法2021/5/989

选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：(1)必须能反映单元的刚体位移和常量应变。

6个参数到反映了三个刚体位移和三个常量应变。(2)必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。

(线性函数的特性)工程有限单元法2021/5/990

例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。工程有限单元法2021/5/991

由三角形的面积工程有限单元法2021/5/992

本节利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变和单元的应力。用结点位移表示单元的应变的表达式为

，[B]矩阵称为几何矩阵。

2.2.3单元应变和应力工程有限单元法2021/5/993对于平面应力问题:工程有限单元法2021/5/9942.2.4单元刚度矩阵单元节点力与单元位移的关系式，称为单元刚度方程组。工程有限单元法2021/5/995单元刚度矩阵的性质：（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义；（2）刚度矩阵是对称矩阵；（3）刚度矩阵是奇异矩阵；另外，单元刚度矩阵取决于：（1）单元的位移函数；（