极坐标与直角坐标方程

直角坐标系与极坐标系2021/5/91目标在哪？在以…为X轴以…为Y轴，坐标是...算的太慢了！2021/5/92以立新街为X轴以大桥东路为Y轴……请问：去融安二中怎么走？2021/5/93以立新街为X轴以大桥东路为Y轴……脑子进水了？2021/5/94以立新街为X轴以大桥东路为Y轴……精神病！2021/5/95从这向北向东南方向3000米。请问：去融安二中怎么走？2021/5/96请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东南走3000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。2021/5/97极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO2021/5/98极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。2021/5/99题组一:说出下图中各点的极坐标2021/5/910①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？2021/5/911点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式。思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角2021/5/912题组二:在极坐标系里描出下列各点:2021/5/913ABCDEFGOX2021/5/914极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)2021/5/915一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.2021/5/9162.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(ρ,θ)B.(ρ,－

θ)C.(ρ,θ＋π)D.(ρ,π－θ)AB题组三1.在极坐标系中，与点(3,)重合的点是()A.(3,)B.(3,－)C.(3,)D.(3,－)2021/5/917极坐标和直角坐标的互化2021/5/918平面内的一个点的直角坐标是(1,)思考:这个点如何用极坐标表示?2021/5/919Oxy在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位点M的直角坐标为θ设点M的极坐标为(ρ,θ)2021/5/920极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)

极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ

2021/5/921互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.2021/5/922例1.将点M的极坐标化成直角坐标.解:

所以,点M的直角坐标为2021/5/923已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。2021/5/924例2.将点M的直角坐标化成极坐标.解:

因为点在第三象限,所以因此,点M的极坐标为2021/5/925练习:已知点的直角坐标,求它们的极坐标.2021/5/926直线的极坐标方程2021/5/927思考：在平面直角坐标系中1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为x=3x=32、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。2021/5/928答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0

，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？2021/5/929例题1：求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。oMx﹚分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为2021/5/9301、求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。易得思考：2、求过极点，倾角为的直线的极坐标方程。2021/5/931和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或2021/5/932例题2:求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OMox﹚AM在中有即可以验证，点A的坐标也满足上式。2021/5/933求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程,并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。2021/5/934练习：设点A的极坐标为A,直线过点A且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。解：如图，设点为直线上异于的点连接OM，﹚oMxA在中有即显然A点也满足上方程。2021/5/935例题3设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。oxMP﹚﹚2021/5/936解：如图，设点点P外的任意一点，连接OM为直线上除则由点P的极坐标知由正弦定理得显然点P的坐标也是它的解。设直线

与极轴交于点A。则在2021/5/937直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定的角度2021/5/938圆的极坐标方程2021/5/939探究如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)OMA=2acos2021/5/940例1已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？C(r,0)xOM=r2021/5/941练习1求下列圆的极坐标方程（１）中心在极点，半径为２；

（２）中心在Ｃ（ａ，），半径为ａ；

（３）中心在（ａ，／2），半径为ａ；

＝2

＝-2acos

＝2asin2021/5/942

极坐标方程分别是ρ＝cosθ和

ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少

练习22021/5/943参数方程的概念：

如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o2021/5/944参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。2021/5/945

一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条直线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。③

③

③

2021/5/946圆的参数方程rxyop0po1oxyr2021/5/947练习:如图，已知点P是半径是2的圆O上的一个动点，点Q是x轴上的定点，坐标为（6，0）.当点P在圆上运动时,线段PQ的中点M的轨迹是什么?PxyOQM2021/5/948PxyOAM解:设点M的坐标是(x,y).因为圆O的参数方程为所以可设点P的坐标为(2cos,2sin

).由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为2021/5/9492021/5/950参数方程和普通方程的互化2021/5/951（1）普通方程化为参数方程需要引入参数如：①直线L的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程（t为参数）②在普通方程xy=1中，令x=tan,可以化为参数方程

（为参数）2021/5/952（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：①参数方程消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.②参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.2021/5/953例:把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？2021/5/954例:

2021/5/9552021/5/956椭圆的参数方程为：2021/5/957练习:1.把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程（口答）

。2021/5/958练习2021/5/959（1）当参数∈R时，化为普通方程是______________.（2）当参数∈[0，]时，化为普通方程是____________.（1）(x-1)2+(y+3)2=4；

4、在参数方程中，练习