《数学建模课程》练习题二

《数学建模课程》练习题二一、填空题1.若yXZzXX,则y与X的函数关系是_y=kx,k是比例常数.有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T(次/秒)、鱼身的长度L和它的速度V的关系式为—V=kTL..已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d倍，且它的平均密度是地球的S倍，则此行星质量是地球的—Sd3倍..马尔萨斯与逻辑斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了增长率是常数还是人口的递减函数.设S表示挣的钱数，x表示花的钱数，则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为_S=kx,k>0是比例常数.在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有m个顾客，每人都买了n件商品，队211有m个顾客，每人都买了n件商品，假设每个人付款需P秒，而扫描每件商品需t秒秒，22则加入较快队1的条件是m(P+nt)<m(P+nt) .-1 1 2 2.在建立人口增长问题的逻辑斯蒂克模型时，假设人口增长率厂是人口数量x(t)的递减函数，若最大人口数量记作X,为简化模型，采用的递减函数是_NX)=r-sx_其生r,S均m为正常数.一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉40%，饮料起码要花30元，用f和d列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是d+f<100,f/(f+d)≥0.4,d≥30.设某种商品的需求量函数是Q(t)=-25p(t)+1200(万件)，其中p(t)为该商品的价格函数，那么该商品的社会最大需求量是—1200(万件)..设某种商品的供给量函数是G(t)=36p(t-1)-3600，其中P(t)为该商品的价格函数，那麽该商品下一时段的价格达到—100，才能迫使供给商停止供给。二、分析判断题1．地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示.撤离时人员的分布状态S、人员总数N、撤离速度V、人们之间相对拥挤程度r、人员所在地与安全地点的距离L、人员撤离完毕所需要的总时间t等.假设某个数学模型建成为如下形式：\o"CurrentDocument"M x21P(x)=——[1—(1———)2]eχ2.x a2试在适当的假设下将这个模型进行简化.x ,一当_较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为(1-

-aX2、1 4 X2一)2≈1---,从而有

a2 2a2一M.. ，P(X)=诋XeX2整IX也很小，则可以利用eX≈1+X将其进一步化简为MP(X)= X(1+X2).2a2要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个：(1)教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的限制等；(2)学生：是否连续上课，专业课课时与共同课是否冲突，选修人数等；(3)教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件；一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是56/100(mg/ml),又过两个小时，含量降为40/100(mg/ml),试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定(不超过80/100(mg/ml).设C(t)为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为Cl=-kC,其通解是C(t)=C(。)e-kt,而C(0)就是所求量.由题设可知C(3)=56,C(5)=40,故有C(0)e-3k=56和C(0)e-5k=40,由此解得e2k=56/40nk≈0.17nC(0)=56e3k≈94.可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.5、为了节约用水，业内人士提出水费应按照阶梯式进行收费。譬如对于居民用水收费，在一般月用水量的平均值之内按照原价格收取，超出部分要加大收费力度。对此问题建立模型应该考虑那些问题和因素？至少列举三个。从问题角度说，应该考虑低收入家庭的承受能力，必须进行调查研究；从制定何种收费模型角度看，需要研究模型的结构，譬如分几段收费等；用水的平均值数据怎样获得，分段力度达到多大；既要考虑平民百姓，也不能不考虑高收入人群，怎样兼顾等。三、应用题1.某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有2.2(m)和1.5(m)长度的料各两根，总计要加工20套，所用原料的长度均为4.6(m),试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？尺寸1232.2米0121.5米310料头长0.10.90.2由此假设，按照方案1、2、3分别需原料X,X,X根，以Z表示总料头长，则有123minZ=0.1x+0.9X+0.2X123\o"CurrentDocument"^ X + 2X = 40,\o"CurrentDocument"2 3\o"CurrentDocument"<3X +X + = 40,12X,X,X∈N123由两个约束条件得X3=(40-X2)/2,X1=(40-X2)/3,起代入目标函数得1623Z=—+—X,3 30240可见应令X=0,nX=—,X=20.但X非整数，于是可将原问题添加条件构成两个2 133 1新的整数规划问题：minZ=0.1x+0.9x+0.2x⑴彳3Xxɪx1其中问题1x2+x2≤13,2++x1,（2）无解，而3minz=0.1x1+0.9X+0.2X2x3x2,（1）x∈340,40,

N⑵<3x1x≥14,

1+x2,2x2x2x,3++x1可同上求解得x3=20-旦,X="

2 1 32,但x≤13nx12≥1,代入目标函数可知X2=1nx=13,x=19-!-.ι3 2依此再进行分支和求解，最后获得解为x1=12,x=4,x=18n23zmin=8.4.32x3∈N40,40,即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即为最优方案.（两条）及其路长分别为故得V1到V9的最短路线第一条：v1→V4→V3→V→V→V;l=18.

5 7 9min第二条：VTV→V→V→V→V;l=18.1 4 6 5 7 9min一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由.原材料的利用情况.设X1,X2表示甲、乙两种产品的产量，则有原材料限制条件：3X+2X≤90,2X+3X≤30,8X+5X≤8012 12 12目标函数满足mxZ=580X1+680X2,合在一起便是所求线性规划模型，其中XJ≥0,J=1,2.（1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地.计算知最优解为：4540 53300X*=(^τ~,-7)T,目标值为maχZ=-7—（万元）.（2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知2羊毛有59］单位的剩余量.4.三个砖厂仆仆A向三个工地B1，B2,B3供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案，使总费用最小？∖ι⅛■单价/百元、、砖厂 7J∖B1B2B3供应量/万块A11064170A2756200A3839150需求量/万块160180180本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解，即可获得总运费用最低的调运方案为(求解过程从略)：A-≡→B,A-≡→B,A—30→B,A—10→B,A—⅛50→B1 32 12 22 33 2总费用为4X170+7X160+5X30+6X10+3X150=2460(百元).5、求解以下线性规划模型，并回答所给两个问题：maxZ=12x+8x122X+X≥4,1 23x+2x≤12,< 1 2x+x≤5,12X≥0,j=1,2.j(1)该模型的最优解是否唯一？为什么？若有两个以上最优解，请至少给出两个。(1)该模型的最优解不唯一，因为目标函数直线的斜率与第二个约束条件直线的相同。其两个顶点解及其目标值分别为X1=(2,3)Γ,X2=(4,0)7,Z=48.max(2)若其中的X,X代表两种商品的产量，且