求圆锥曲线离心率的几种方法

有这么一个故事离心率关于椭圆离心率一二一X2V2/ 入、 、--、__.一设椭圆—十菅=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P,使/F1PF2=90。，求离心率e的取值范围。解法1：利用曲线范围设P(x，y)，又知0Jc,0),F2(c,0)，则F^P=(x+c,y),FP=(x一c,v)由/F1PF2=90°，知华1晨P,则『P•kP=0,1 2即(x+c)(x一c)+y2=0得x2+y2=c2将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得a2c2—a2b2x2= a2一b2但由椭圆范围及/FPF2=90°知0<X2<a2a2c2一a2b2TOC\o"1-5"\h\z即0< <a2a2一b2可得c2>b2，即c2>a2一c2,且c2<a2从而得e=c>2，且e=c<1a2 a所以eep22，1)解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知IPF1+1PFI=2anlPF|2+1PFI2+21PFIIPFI=4a21 2 1 2 1 2经典的，不会那么容易过时-

有这么一个故事离心率有这么一个故事离心率又由/FPF2=90。，知IPFI2+IPFI2=IFFI2=4c212则可得IPFIIPFI=2(a2-c2)因此这样，IPFI与PFI是方程u2-2au+2(a2-c2)=0的两个实根，因此A=4a2一8(a2一c2)>0c2 1ne2=——>—a2 2ne>一2解法3：利用三角函数有界性记/PFF2=a,/PF2F]=P记/PFF2=a,/PF2F]=P，由正弦定理有IPFI 1-IPFI IFFI―1~2-sinP sina sin90°IPF1+1PFIn 1 sina+sin=IFFI又IPFI+IPFI=2a,21

sina+sinPIFFI=2c，则有121c.a+p~~a-p2sin cos 1a-pv2cos 2而0<Ia-pI<90。知0<Ia-PI<45。立<立<cos

2OzP<12从而可得・J2V1从而可得~2~<e<1经典的，不会那么容易过时-有这么一个故事离心率解法4：利用焦半径由焦半径公式得IPFI=a+ex,IPFI=a一ex又由IPF1I2+IPF2I2=IF1F2|2，所以有a2+2cx+e2x2+a2-2cx+e2x2=4c22c2-a2x2= e2又点P(x,y)在椭圆上，且xw±a,八 2c2-a20< <a2e2得e£[三!，1)2解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有2愕巧用”平方后得4a2=IPFJ+IPF212+2IPF1IIPFI<2(IPFJ+IPF212)=2I勺F\2=8c2得三>1所以有ee[=，1)a2 2 2解法6：巧用图形的几何特性由/FPF=90。，知点P在以IFFI=2c为直径的圆上。1 2 12又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有c>bnc2>b2=a2-c2由此可得ee[，1)2经典的，不会那么容易过时-

有这么一个故事离心率有这么一个故事离心率演练一.直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e。在椭圆中,.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为.若椭圆经过原点，目焦点为F1(1,0),勺3,0)，则椭圆的离心率为.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为5.若楠=L(a>b>0)短轴端点为P满足尸F11PF2则椭5.若楠的离心率为e=一12..已知一+—=1(m>0.n>0)则当mn取得最小值时，楠mn二十二=1的的离心率为m2n2经典的，不会那么容易过时-

有这么一个故事离心率有这么一个故事离心率.椭圆竺+y2=2b>0）的焦点为F,F，两条准线与x轴的交a2b2 1 2点分别为M,N，若|MN|W2|F1FJ,则该椭圆离心率的取值范围.已知F为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭I上的点，当PF^FA,PO〃AB（O为椭圆中心）时1,椭圆的离心率为9.P是椭9.P是椭Ix2+y2=1(a>b>0)上一点，是楠画的左右焦点，已知1 2ZPFF=jNPFF1 2ZPFF=jNPFF=2o,

12 21e= /FPF=3a,1 2.已知勺、「是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若/PFF=15。,/PFF=75。,则椭圆的离心率为.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为二、构造a,c的齐次式，解出e.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是.以椭圆的右焦点F为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交2于M、N两点，椭圆的左焦点为F，直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是经典的，不会那么容易过时-有这么一个故事离心率有这么一个故事离心率.以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M,N两点如果|MF|=|M0|则椭圆的离心率是4.设椭圆的两个焦点分别为F、14.设椭圆的两个焦点分别为F、1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是125.已知0F2是椭圆的两个焦点，过1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF是正三角形,则这个椭圆的离心率是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。uuuruumr.已知F、F是椭圆的两个焦点，满足MF.MF=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是.已知F1、F2是椭圆的两个焦点『是椭圆上一点，目/F1PF2-90。，椭圆离心率e的取值范围为.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点息/F1PF2-60。，椭圆离心率e的取值范围为4.设椭X24.设椭X2——+a2-1(a>b>0)的两焦点为々F2,若椭圆上存在一点Q，使NFQF=120°,椭圆离心率e的取值范围为12一.一一 一 7 一一5.在△ABC中，AB-BC,cosB=