2023学年完整公开课版数列的概念2

第二章

数列§2.1数列的概念与简单表示法（2）(3)求an＋1并说明an＋1与an有什么关系.(3)求an＋1并说明an＋1与an有什么关系.

数列的递推公式

如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第

项(或某一项)开始的任一项

与它的前一项

(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.二anan－1思考以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？数列的表示方法答案①通项公式法：an＝2n.③列表法：n123…k…an246…2k…④图象法：通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.例1

图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.解答解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*，个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).练习1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N*)个三角形数多____个石子.n解析a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.答案解析解答∴{an}是周期为4的数列，∴a2018＝a4×504＋2＝a2＝－3.解答例3

(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；解当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n－1)＋1＝2n－1.a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.(n－1)个2解答a1＝1也符合上式，解答…，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式.答案解析12343.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_________________.an＝2n＋1，n∈N*解析a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N*.1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，2.数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系