第6讲预备知识二：1.2集合间的基本关系精讲（解析版）2022年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练

第6讲预备知识二：1.2集合间的基本关系(精讲）目录一、知识衔接二、典型例题题型一：判断集合子集（真子集）个数题型二：求集合子集（真子集）题型三：判断集合的包含关系题型四：根据集合的包含关系求参数题型五：判断两个集合是否相等题型六：根据两个集合相等求参数题型七：空集一、知识衔接1、子集、空集与Venn图1.1子集的定义：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。1.2Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示：要点说明：①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法；②规定：空集是任何集合的子集；③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合．⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．2、集合的相等如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作。要点说明：①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可；②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；⑤集合中的关系与实数中的结论类比实数集合包含两层含义：，或AB包含两层含义：，或若，且，则若AB，且AB，则A＝B若，，则若AB，BC，则AC3、真子集真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.要点说明：理解真子集的定义要注意一下几点：①空集是任何非空集合的真子集；②对于集合A，B，C，如果，，那么；③若，则与有两种可能的关系：即或；4、空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；要点说明：空集的性质：①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；题型一：判断集合子集（真子集）个数典型例题例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设集合，则集合的真子集个数为（

）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】D由题意，因此其真子集个数为．故选：D．例题2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知集合，则的子集共有（

）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个【答案】C由，得集合所以集合A的子集有个，故选：C例题3．（2022·全国·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B，即集合含有个元素，则的非空子集有（个）.故选：B.例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的真子集个数为________．【答案】31，则的正的公约数有：1，2，3，4，6，12，故相应的，所以的值为0，2，3，4，5，故A中的元素个数为5个，则集合A的真子集个数为故答案为：31题型归类练1．（2022·河南洛阳·高一期末）集合的真子集的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B.2．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知集合，则的真子集共有（

）个A．3 B．4 C．6 D．7【答案】A由题设，，∴的真子集共有个.故选：A.3．（2022·广东·深圳外国语学校高一期末）集合的真子集的个数是（）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】C解：∵，的真子集为：共7个．故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的真子集有A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A集合集合A共有3个元素，真子集有个，故选A.5．（2022·河南南阳·高一期末）集合的子集个数为______．【答案】32解：由题意得，则A的子集个数为．故答案为：32.题型二：求集合子集（真子集）典型例题例题1．（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数＝（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，又因为，所以，所以．即a＝1．故选：B.例题2．（2022·四川·高三阶段练习（理））集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．【答案】C解：由，即，解得，所以，所以的一个真子集可以为．故选：C例题3．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）满足的所有集合是______.【答案】或或或∵，∴为的子集，∴或或，∴或或或，故答案为：或或或.例题4．（2022·湖南·高一课时练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集.【答案】答案见解析解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个；题型归类练1．（多选）（2021·湖南·怀化五中高一期中）若，则(

)A． B． C． D．【答案】ABC∵，∴B＝{1，2}或B＝{1，2，3}或B＝{1，2，4}.故选：ABC.2．（多选）（2021·重庆·高一期中）已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合可以为（

）A． B． C． D．【答案】ABD集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合可以为，，，．故选：ABD．3．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3}因为{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}4．（2022·北京大兴·高一期末）集合的非空子集是________________．【答案】集合的所有非空子集是.故答案为：.5．（2021·天津市滨海新区大港第八中学高一期中）写出集合的所有子集______.【答案】，，，由子集的定义，得集合的所有子集有：，，，.故答案为：，，，.6．（2021·新疆·吐鲁番市高昌区第二中学高一期中）写出集合全部子集：①____②____③___④____⑤____⑥____⑦____⑧______【答案】

解：根据集合，则集合子集为，，，，，，，.故答案为：；；；；；；；.7．（2021·全国·高一课时练习）设集合，则集合所有子集的元素之和为_______.【答案】32集合的子集有：，，，，，，，，所以集合的所有子集的元素之和为：.故答案为：328．（2021·江苏·高一课时练习）写出下列集合的所有子集：；

；

．【答案】，；，，，；，，，，，，，.【解析】解：，.，，，.，，，，，，，.题型三：判断集合的包含关系典型例题例题1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知，，则集合、之间的关系为（

）A． B．C． D．【答案】C由，由等价于，可得，所以.故选：C例题2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A由且，即，而，所以为的子集，则.故选：A例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，则下列式子表示正确的有()①；②；③；④．A．1个

B．2个

C．3个

D．4个【答案】C由所以①③④正确，②错误故选：C例题4．（2022·湖南·高一课时练习）用适当的符号填空：（1）______；

（2）______；（3)______；（4）______．【答案】

=

由集合的子集、集合的相等可知（1），（2）=，（3），（4）故答案为：，=，，题型归类练1．（2022·广西桂林·二模（文））已知集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．∅【答案】C解：因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：C.2．（2022·宁夏·银川一中三模（理））下面五个式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正确的有（

）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【答案】A中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误；任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A.3．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C由题设，，而为自然数集，则，且，所以，，故A、B、D错误，C正确.故选：C4．（2022·广东珠海·高一期末）已知集合，下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，且，所以B正确，A、C、D错误.故选：B5．（2022·全国·高一期末）若集合，，则A与B之间最适合的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D依题意，集合的元素是的倍数，集合的元素是的倍数，所以集合是集合的真子集.故选：D6．（多选）（2022·甘肃张掖·高一期末）下列关系式错误的是（

）A． B． C． D．【答案】ACA选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；B选项根据子集的定义可知正确；C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；D选项是整数集，所以正确.故选：AC.7．（2022·上海金山·高一期末）若集合，，则A______B．（用符号“”“=”或“”连接）【答案】，，则故答案为：题型四：根据集合的包含关系求参数典型例题例题1．（2022·福建南平·三模）设集合，集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D由可得.故选：D.例题2．（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C由于，所以，所以实数m的取值集合为.故选：C例题3．（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】A因为，又，所以任取，则，所以可能为，A对，又，，∴

不可能为，，，B，C，D错，故选：A.例题4．（2022·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A因为，所以，解得.故选：A.例题5．（2022·广西钦州·高一期末）若，，若，则的取值集合为（

）A． B．C． D．【答案】B或，，，或或，解得或，综上，．故选：．例题6．（2022·上海·高三专题练习）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为（1）若，求（2）若，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．解：（1）当时，原不等式等价于解集为（2）由，解得：解不等式，得：由条件，得所以的取值范围题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合，，，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C因为集合化简可得又，，所以或，故实数a的取值集合为，故选：C.2．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C∵集合，且，∴.故选：C．3．（2022·重庆·高一期末）已知集合，且，则等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【答案】B因为，所以，经验证，满足题意.故选：B.4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知集合，．若，则m等于（

）A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2【答案】C因为，，且，所以或.故选：C.5．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）设集合，，若，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A集合，，因，于是得，因此有，所以的取值范围是.故选：A6．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（理））设集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B，由于，，所以.故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）设，，，若，则（

）A． B． C．2 D．0【答案】D由知：，即，得，∴.故选：D.8．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设集合，若，则的值为__________．【答案】由集合M知，，则且，因，，于是得，解得，所以的值为.故答案为：9．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）设集合，.若，则_______.【答案】由知集合是集合的子集，所以，故答案为：.10．（2022·上海市控江中学高三开学考试）已知集合，，且，则实数的值是___________．【答案】1因为，所以，，当时，无意义，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意.综上，实数的值1.故答案为：111．（2022·重庆·高二阶段练习）已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围【答案】(1)；(2).(1)当时，，；(2)由，则有：，解得：，即，实数的取值范围为．题型五：判断两个集合是否相等典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）．A．，B．，C．，D．，【答案】B选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．故选：B例题2．（2022·江西新余·高一期末）下列集合与集合相等的是()A．(1,2022) B．C． D．{(2022,1)}【答案】C(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符；集合的元素是点，与集合A不相等，B不符；，故C符合题意；集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符题意.故选：C.例题3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室二模（文））已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A∵集合，，

∴．故选:A．例题4．（2021·湖南·怀化五中高一期中）①，②，③，④，其中正确的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B正确；正确；不正确，左边是数集，右边是点集；不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.故正确的有①②，共2个.故选：B.题型归类练1．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.2．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）下列各式中，正确的个数是：（

）①；②；③；④；⑤；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②为相同集合，有，故正确；③空集是任何集合的子集，故正确；④空集没有任何元素，而含0元素，故错误；⑤两个集合研究的对象不同，故错误.故选：B3．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（

）A． B．C．， D．【答案】C解：对于A：集合表示含有点的集合，表示含有点的集合，显然不是同一集合，故A错误；对于B：集合表示的是直线上的点组成的集合，集合为数集，故B错误；对于C：集合、均表示含有两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；对于D：集合表示的是数集，集合为点集，故D错误；故选：C4．（多选）（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）若集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】AB由题设可得，，对于A，成立，故A正确，对于B，成立，故B正确，对于C，，故C错误，对于D，不成立，故D错误.故选：AB.5．（2021·贵州·威宁四中高一阶段练习）下列各组中的两个集合相等的有____________（1）P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n+1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1，n∈N+}，Q={x|x=2n+1，n∈N+}；（3）P={x|x2-x=0}，Q={x|x=，n∈Z}.（4）P={x|y=x+1}，Q={(x，y)|y=x+1}【答案】（1）（3）（1）中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，有P=Q；（2）中P是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q，所以P≠Q.（3）中P={0，1}，当n为奇数时，x==0，当n为偶数时，x==1，所以Q={0，1}，P=Q.（4）中集合的研究对象不相同，所以P≠Q.故答案为：（1）（3）.6．（2021·全国·高一课时练习）判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由.(1)，；(2)，；(3)，；(4)，.【答案】(1)是；(2)否，理由：和是两个不同元素；(3)是；(4)否，理由：是数集，是点集.【解析】(1)，元素一样，是同一集合；(2)表示不同的点，故，集合不同(3)，表示的范围相同，是同一集合(4)不是同一集合，是数集，是点集.题型六：根据两个集合相等求参数典型例题例题1．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）设集合，．若，则实数的值组成的集合为（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C例题2．（2022·青海西宁·高一期末）设，，，若，则（

）.A． B． C．.0 D．1【答案】A由题意得：，所以故选：A例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则=（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】D由于，所以（1），结合集合元素的互异性可知此方程组无解.（2）解得.故选：D例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．或0【答案】A由且，则，∴，于是，解得或．根据集合中元素的互异性可知应舍去，因此，故．故选：A.例题5．（2022·山西·高一期末）已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.【答案】(1)(2)(1)解：若，则有，解得；(2)解：，因为，所以，解得.例题6．（2022·广东佛山·高一期末）已知集合，.(1)若，求实数的值；【答案】(1)(2)或(1)由已知得，解得；题型归类练1．（2022·上海交大附中高一期中）已知复数a、b满足，集合，则的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】D由题意，或，因为，解得或，所以，故选：D.2．（2022·全国·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于___________．【答案】2或－1##－1或2，且，，解得，或故答案为：－1或23．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，且，则的值_________．【答案】2，，，或，解得或，．故答案为：2．4．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数_______【答案】解：因为，所以方程有且只有一个实数根，所以，解得.所以故答案为：5．（2022·湖南张家界·高一期末）已知集合，（）．是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，(2)假设存在实数满足条件，∵，由，有由，则解得：故存在，使得集合．6．（2022·全国·高一课时练习）设，若集合，则___________．【答案】由，所以故答案为：题型七：空集典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误（1）空集没有子集．()（2）空集是任何集合的真子集．()（3）．()【答案】

×

×

×（1）空集是任何集合的子集，所以空集可以是本身的子集，故错误；（2）空集是任何非空集合的真子集，故错误；（3）根据集合与集合的关系故符号使用错误.例题2．（2022·全国·高三专题练习）下列集合中，结果是空集的是(

)A． B．C． D．【答案】DA选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=.故选：D例题3．（2022·全国·高一课时练习）下