专题06 利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略含解析

专题06利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略专题06利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用目录类型一：求函数的极值或极值点 1类型二：利用极值或极值点求参数的值 3类型三：利用导数求最值的应用 4类型一：求函数的极值或极值点典型例题（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数f(x)=ln【答案】x=1试题分析：先求导数，利用导数值为零可得答案.详细解答：因为f(x)=lnx+1当x∈1,+∞时，f'当x∈0,1时，f'(x)<0所以x=1是函数的极小值点.故答案为：x=1.题型专练：1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数fx=-xexA． B． C． D．2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）已知fx=x-3exA．在-∞,+∞上单调递增 C．有极大值-e2，无极小值 D．有极小值3．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知函数fx的定义域为0,+∞，其导函数为f'x，fx=lnA．无极值 B．有极大值，也有极小值C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值4．（2023·广西南宁·统考二模）已知函数fx=alnx-bx的极值点为1，且A．-1 B．-a C．b D．45．（2023春·贵州铜仁·高二校考阶段练习）已知函数fxx∈-3,5的导函数为f'xA．fx在-2,1上单调递增 B．fx在C．fx在x=-2处取得极小值 D．fx在6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数fx=axex，A．fx有极小值 B．gC．若fx≥gx，则a=1 7．（2023春·四川成都·高二成都七中校考期中）已知函数fx=x+sinx，x∈R，有以下四个命题：①曲线y=fx在π,π处的切线方程为y=π；②x=π是函数f其中正确的命题有______.（将正确的序号都写上，多写漏写均不得分）8．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数f(x)=ln类型二：利用极值或极值点求参数的值典型例题：（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数fx=19x3+【答案】7试题分析：根据导数与极值的关系求解即可.详细解答：因为fx=1f'x=所以函数f'x=则函数f'x=因为函数f(x)在(1,2)上有极值，所以f'x=0根据零点的存在性定理可知f'1<0解得76故答案为：76题型专练：9．（2023·贵州铜仁·统考二模）已知函数fx=xex和gA．0 B．2 C．-1 D．-310．（2022·河南·模拟预测）当x=1时，函数f(x)=alnx+b+1x取得极小值4，则A．7 B．8 C．9 D．1011．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数fx=asinax，a>0，fx向右平移π3个单位长度后的图像与原函数图像重合，A．6 B．12 C．7 D．1412．（2023·山西·统考二模）已知f(x)=ax3+3bx+b2A．ab=-1 B．ab=-9 C．f(1)=-3 D．f(0)=113．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数fx=19x3+14．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数f(x)=3sinx+4cosx，且对任意实数x都有15．（2023·吉林延边·统考二模）若函数fx=xx-c2在16．（2023·四川成都·统考模拟预测）函数fx=sinωx+π17．（2022·云南玉溪·玉溪市民族中学校考模拟预测）若函数f(x)=(x+2)2(x-a)18．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)令gx=fx+lnx2-ln19．（2023·全国·校联考二模）已知函数fx(1)当a=0时，求函数fx(2)若fx在-∞,0上只有一个极值，且该极值小于-20．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数fx=ax(1)求a，b的值；(2)求曲线y=fx在点-1,f类型三：利用导数求最值的应用典型例题：（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）某圆锥的母线长为10cm，当其体积最大时，圆锥的高为________cm．【答案】10试题分析：设圆锥的高为h，则底面圆的半径r=100-h2详细解答：设圆锥的高为h，则底面圆的半径r=100-所以圆锥的体积为Vh=π当0<h<1033时V'h>0，Vh所以当h=1033cm时故答案为：10题型专练：21．（2023·安徽宣城·统考二模）已知圆锥的底面半径为3cm，高为33cm，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位：cmA．19π B．21π C．35π22．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知圆台O1O2的母线长为23，O1，O2分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为r1A．180π B．208π C．220π23．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=2π3，点E，F分别在AD，CD上，且EF//AC，将△DEF沿EF折到△D'A．4π B．409π C．1424．（2023·安徽黄山·统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△PEE1，△PFF1,△PGG1,△PHH1，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥P-EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1A．32103 B．64103 C．25．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）某圆锥的母线长为10cm，当其体积最大时，圆锥的高为________cm．26．（2023·广东茂名·统考二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.27．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为__________．28．（2023·北京海淀·统考一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将△BEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥如图所示．给出下列四个结论：①AC//平面PEF；②△PEC③存在点E，P，使得PD⊥AE；④当四棱锥P-ACFE的体积最大时，AE=2其中所有正确结论的序号是_________．29．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为23，则当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时，原子A30．（2023·河南安阳·统考二模）2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型ABCDEF-A1B31．（2023·全国·校联考模拟预测）在直角坐标系xOy中，矩形的四个顶点都在椭圆C:y2432．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______．33．（2023·河北张家口·统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？单位：箱是否有不合格品设备无不合格品有不合格品合计新旧合计(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为p0<p<1，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为fp，求fp最大时p(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的p0作为p附表：α0.1000.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=n专题06利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用目录类型一：求函数的极值或极值点 1类型二：利用极值或极值点求参数的值 3类型三：利用导数求最值的应用 4类型一：求函数的极值或极值点典型例题（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数f(x)=ln【答案】x=1试题分析：先求导数，利用导数值为零可得答案.详细解答：因为f(x)=lnx+1当x∈1,+∞时，f'当x∈0,1时，f'(x)<0所以x=1是函数的极小值点.故答案为：x=1.题型专练：1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数fx=-xexA． B． C． D．【答案】B【分析】令y=0，可排除AC，求导，再根据函数的单调性和极值点可排除D，即可得解.【详解】y=x-2f-x=xx-2ex故函数y=xx-2又因为y'当x<-2或x>2时，y'=x所以函数y=xx-2ex在-∞,-2和2,+∞上单调递增，在故选：B．2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）已知fx=x-3exA．在-∞,+∞上单调递增 C．有极大值-e2，无极小值 D．有极小值【答案】D【分析】求导，利用导数判断原函数单调性和极值.【详解】∵fx=x令f'x>0，解得x>2；令则fx在-∞,2上单调递减，在2,+∞故A、B错误；由单调性可得：fx有极小值f故C错误，D正确.故选：D.3．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知函数fx的定义域为0,+∞，其导函数为f'x，fx=lnA．无极值 B．有极大值，也有极小值C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值【答案】D【分析】根据题意赋值可求得f1=f'1=0，根据fx【详解】由已知fx=lnx又f1=2f令gx=e又f'令hx所以h'所以hx在0,+∞上单调递增，又h所以当x∈0,1时，hx<0，当x∈1,+∞时，hx>0，所以fx的极小值为f故选：D.4．（2023·广西南宁·统考二模）已知函数fx=alnx-bx的极值点为1，且A．-1 B．-a C．b D．4【答案】D【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解a,【详解】f'x=ax所以a+b=02af所以f'x=4x-4x2，得x=1所以x=1是函数的极小值点，f故选：D5．（2023春·贵州铜仁·高二校考阶段练习）已知函数fxx∈-3,5的导函数为f'xA．fx在-2,1上单调递增 B．fx在C．fx在x=-2处取得极小值 D．fx在【答案】ACD【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.【详解】当f'x>0由图可知x∈-2,1时，f'当x∈-12,1当x∈1,83时，当x∈-3,-2时，f'当x∈-2,1时，f'所以fx在x当x∈-2,1时，f'当x∈1,133时，所以fx在x故选：ACD.6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数fx=axex，A．fx有极小值 B．gC．若fx≥gx，则a=1 【答案】BCD【分析】利用导数有无变号零点可得AB的正误，通过构造函数结合切线可得C的正误，通过对a的讨论分析可得D的正误.【详解】对于A，∵当a=0时，fx=0对于B，g'x=2-a-2lnx当x∈e2-a2,+∞时，g对于C，由fx≥gx，得设t=x2e设G(t)=at当a≤0时，G'(t)<0，G(t当a>0时，G'(t)=at-1t∈1a,+∞时，∴G(设φa=lna当a>1时，φ'a<0，φa为减函数；当0<∴φa≤φ1=0，∴只有当a=1对于D，由C知，t=x2ex，x>0，当a>1时，φa=G1a<0，当t无限趋近于0时，G∵t=x2exx>0为增函数，同理可得，当0<a<1时，当a=1时，φa=G1a=0当a≤0时，G(t)为减函数，G(1)=0，此时G故选:BCD.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是极值问题通过导数有无变号零点来判断；二是对fx7．（2023春·四川成都·高二成都七中校考期中）已知函数fx=x+sinx，x∈R，有以下四个命题：①曲线y=fx在π,π处的切线方程为y=π；②x=其中正确的命题有______.（将正确的序号都写上，多写漏写均不得分）【答案】①③④【分析】求得曲线y=fx在π,π处的切线方程判断①；利用极值点定义判断②；构造函数h(x【详解】函数fx=x①由f'π=1+cosπ=0，可得曲线y=②由f'x=1+cosx≥0③令h(x则h(x)=fx则h(x)=则对∀x>0，不等式④由f'x=1+cos则f6π7则sinπ故答案为：①③④8．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数f(x)=ln【答案】x=1【分析】先求导数，利用导数值为零可得答案.【详解】因为f(x)=ln当x∈1,+∞时，f'当x∈0,1时，f'所以x=1故答案为：x=1类型二：利用极值或极值点求参数的值典型例题：（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数fx=19x3+【答案】7试题分析：根据导数与极值的关系求解即可.详细解答：因为fx=1f'x=所以函数f'x=则函数f'x=因为函数f(x)在(1,2)上有极值，所以f'x=0根据零点的存在性定理可知f'1<0解得76故答案为：76题型专练：9．（2023·贵州铜仁·统考二模）已知函数fx=xex和gA．0 B．2 C．-1 D．-3【答案】A【分析】利用导数，先求得fx的极大值，然后根据fx与gx【详解】求导f'x=1-xex，令f∴fx在-∞,1上单调递增，在1,+∞∴fx在x=1处取得极大值g'x=1-lnxx2，令g∴gx在0,e上单调递增，在∴gx在x=e依据题意，fx和gx有相同的极大值，故f1故选：A10．（2022·河南·模拟预测）当x=1时，函数f(x)=alnx+b+1x取得极小值4，则A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】求导得到f'(x)=a【详解】f(x)=根据题意有f'(1)=a-b+1=0，且f此时f'(x当x∈0,1时，f'(x函数在x=1故选：A11．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数fx=asinax，a>0，fx向右平移π3个单位长度后的图像与原函数图像重合，A．6 B．12 C．7 D．14【答案】B【分析】利用正弦函数平移要想重合，则平移的单位为其周期的正整数倍，结合极值相差大于15，则得到关于限制条件，最终得到a的最值.【详解】∵函数f(f(x)y=故π3正好是周期的正整数倍,∴n×2πaf(x)的极大值与极小值的差为2则当n=2时，a故选：B.12．（2023·山西·统考二模）已知f(x)=ax3+3bx+b2A．ab=-1 B．ab=-9 C．f(1)=-3 D．f(0)=1【答案】AD【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得f'(-1)=0，即可知a=-b，再根据极大值为3可解得b=-1或b=3；易知当b=3时，f(x)在x=-1【详解】由题意可得f'且x=-1是函数f(x又极大值为3，所以f(-1)=-a-3b+当b=3时，a=-3，此时x∈-1,1时，f'(所以函数f(x)在-∞,-1此时函数f(x)在x当b=-1时，a=1，此时x∈-1,1时，f'(x所以函数f(x)在-∞,-1此时函数f(x)所以a=1，b=-1，即此时f(x)=x3故选：AD13．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数fx=19x3+【答案】7【分析】根据导数与极值的关系求解即可.【详解】因为fx=1f'x=所以函数f'x=则函数f'x=因为函数f(x)所以f'x=0根据零点的存在性定理可知f'1<0解得76故答案为：7614．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数f(x)=3sinx+4cosx，且对任意实数x都有【答案】2425【分析】由f(x)=f(2α-x)(【详解】因为对任意实数x都有f(x)=f(2而f(x)=3sinx+4cos因此当x=α时，函数f(x)取得最值，即α于是f'(α)=0，即所以sin2α故答案为：2415．（2023·吉林延边·统考二模）若函数fx=xx-c2在【答案】3【分析】利用导数在x=x0处取到极值的必要不充分条件f'(【详解】因为fx=x又因为函数fx=xx-c2在x当c=3时，f'x=x-33x-3，所以x>3时，当c=9时，f'x=x-93x-9，所以3<x<9故答案为：3.16．（2023·四川成都·统考模拟预测）函数fx=sinωx+π【答案】π【分析】由题知函数y=sint在π3【详解】解：当x∈0,1时，因为函数fx=sinωx所以函数y=sint在所以，ω+π3故答案为：π617．（2022·云南玉溪·玉溪市民族中学校考模拟预测）若函数f(x)=(x+2)2(x-a)【答案】(-2,+∞)【分析】根据导数的性质，结合函数的导函数的零点的大小关系、极小值的定义分类讨论进行求解即可.【详解】由f(当2a-23=-2时，即所以函数f(当2a-23当x∈(-∞,-2)时，f当x∈(-2,2a当x∈(2a所以-2是极大值点，2a由题意可知：f(而a>-2，所以a当2a-23当x∈(-∞,2a当x∈(2a当x∈(-2,+∞)时，f所以2-2a3是极大值点，f(-2)=综上所述：实数a的取值范围为(-2,+∞)，故答案为：(-2,+∞)【点睛】关键点睛：根据导函数零点的大小分类讨论是解题的关键.18．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)令gx=fx+lnx2-ln【答案】(1)答案见解析(2)-1【分析】(1)对fx求导,讨论a≤0和a>0(2)由题意可得lnx02+2lnx0-2x0+2=0③,令tx【详解】（1）函数fx的定义域为(0,+∞)f'①当a≤0时,f'x②当a>0时,令f'x>0,可得x>此时函数fx的增区间为(a,+∞)（2）由题意可得g'则g'x0由gx0=-2联立①②,消去a,可得lnx令tx=lnh(x)=lnx+1-x(0,1)1(1,+∞)h＋0－h(x)递增极大值递减∴h(x∴tx在区间(0,+∞)注意到t1=0,所以方程③有唯一解可得a=-1,∴19．（2023·全国·校联考二模）已知函数fx(1)当a=0时，求函数fx(2)若fx在-∞,0上只有一个极值，且该极值小于-【答案】(1)单调递增区间为0,+∞；单调递减区间为-∞,0(2)-∞,-【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性讨论.【详解】（1）a=0时，fx=令f'x>0，得x>0；令∴函数fx的单调递增区间为0,+∞；单调递减区间为-∞,0（2）fxf'当a=0时，fx在当a<0时，fx在a,0∴fx在x=a处取得极小值，∴fa当a>0时，令f'x=0，得当0<afx在-∞,lna上单调递增，在∴fx在x设nan'∵0<a<1，∴lna∴na在0,1上单调递减，∴na>n当a≥1时，lna≥0，fx在-∞,0上单调递增，此时综上，a的取值范围为-∞,-3【点睛】考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难度题目.20．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数fx=ax(1)求a，b的值；(2)求曲线y=fx在点-1,f【答案】(1)a(2)36【分析】（1）解方程组f(1)=（2）只需求出f'-1，【详解】（1）f'由题意可得f(1)=a+检验：f'x=-18x2+18x当x∈-∞,0∪1,+∞时，当x∈0,1时，f'（2）由（1）得fx=-6x所以f-1=15，所以所求切线方程为y-15=-36x+1类型三：利用导数求最值的应用典型例题：（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）某圆锥的母线长为10cm，当其体积最大时，圆锥的高为________cm．【答案】10试题分析：设圆锥的高为h，则底面圆的半径r=100-h2详细解答：设圆锥的高为h，则底面圆的半径r=100-所以圆锥的体积为Vh=π当0<h<1033时V'h>0，Vh所以当h=1033cm时故答案为：10题型专练：21．（2023·安徽宣城·统考二模）已知圆锥的底面半径为3cm，高为33cm，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位：cmA．19π B．21π C．35π【答案】A【分析】设正四棱柱底面边长为a，高为h，运用相似三角形可得a与h的关系，运用导数研究正四棱柱体积的最大值，计算此时正四棱柱的外接球半径，进而可得结果.【详解】圆锥的轴截面如图所示，O1为正四棱柱上底面的正中心，O2为圆锥底面的圆心，正四棱柱外接球的球心O，半径为R，则设正四棱柱底面边长为a，高为h，则O1C=O2B=∵△M∴MO1M∴h=3又∵a>0∴正四棱柱的体积为V=sh=∴V'V'(a∴V(a)在(0,2∴当a=22时，V(∴O2B=∴R2∴正四棱柱的外接球的表面积为S=4故选：A.22．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知圆台O1O2的母线长为23，O1，O2分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为r1A．180π B．208π C．220π【答案】D【分析】设r2=2r【详解】如图1，设r2=2r1=2a，A1A2是圆台的母线，连结O1O2,A1因为O1所以圆台O1O2设f(a)=f'当0<a<22时，f当22<a<23所以当a=22时，f(此时O1O2设圆台O1O2的外接球半径为R，球心为O如图1所示，当圆台两底面在球心异侧时，即球心O在线段O1设OO2=显然OA1=OA解得x=-5<0如图2，当圆台两底面在球心同侧时，即球心O在线段O1设OO2=显然OA1=OA解得x=5，所有R2=32+25=57故选：D.23．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=2π3，点E，F分别在AD，CD上，且EF//AC，将△DEF沿EF折到△D'A．4π B．409π C．14【答案】B【分析】设DE=x，求得五棱锥D'【详解】如图，设DE=x，则当五棱锥D'-ABCFE设H是EF的中点，则D'H⊥EF．因为平面所以D'H⊥平面ABCD．因为D'H所以VD设Vx则V'x=18令V'x<0所以Vx在0,26所以当x=26设△D'EF外接圆的圆心为O1，如图，过点O1，O2分别作平面则点O即为三棱锥D'因为O1D'所以OD所以球O的表面积为S=4故选：B【点睛】求解几何体外接球有关的问题，首先要找到球心的位置，可利用几何体各面的外心来确定球心的位置，然后利用勾股定理等知识求得球的半径.24．（2023·安徽黄山·统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△PEE1，△PFF1,△PGG1,△PHH1，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥P-EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1A．32103 B．64103 C．【答案】D【分析】先确定原图中哪一条线段是侧棱，哪条线段是底边，再设立变量，求出体积关于变量的函数解析式，求导，根据函数的单调性求解.【详解】根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，设GC=x，则有PG四棱锥的高h2底正方形EFGH的面积S=4×∴四棱锥P-EFGH的体积V=令t=200-20x，则x则V=当t2>40时，V'∴当t2∴Vmax=故选：D.25．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）某圆锥的母线长为10cm，当其体积最大时，圆锥的高为________cm．【答案】10【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径r=100-h【详解】设圆锥的高为h，则底面圆的半径r=所以圆锥的体积为Vh=π当0<h<1033时V'h>0，所以当h=1033cm故答案为：1026．（2023·广东茂名·统考二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.【答案】2【分析】连接CD，CE，设∠CBE【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：CD=由对称性，设∠CBE=∠CBD=θ所以BE=BD=易知∠MCE=∠NCD=θ又AC=3，故AB=AC令sinθ0=13且θ所以f'θθππf-0+f单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值fθ故答案为：2π27．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为__________．【答案】33/【分析】作出对应的图形，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，利用题意得出三棱柱的高h=3-3r，【详解】如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，三棱柱的高为h,根据题意作出圆锥的轴截面，由△SAB∼△SDE可得r1=则该三棱柱的体积V=34当0<r<23时，V'所以r=23故答案为：3328．（2023·北京海淀·统考一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将△BEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥如图所示．给出下列四个结论：①AC//平面PEF；②△PEC③存在点E，P，使得PD⊥AE；④当四棱锥P-ACFE的体积最大时，AE=2其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①③【分析】根据线面平行的判断定理，判断①；证明△PFC【详解】①因为AC//EF，EF⊂平面PEF，AC所以AC//平面PEF②因为△ABC是等腰直角三角形，所以△PEF也是等腰直角三角形，则因为AC⊥BC，EF//AC当∠PFC=90∘时，此时△PEC③因为EF⊥BC，且EF⊥且BC⊂平面PCF，PF⊂平面PCF，所以EF⊥平面PCF，EF所以平面ABC⊥平面PCF，且平面ABC∩平面如图，过点P作PM⊥BC，连结则PM⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以若PD⊥AE，PD∩PM=P，PD⊂所以AE⊥平面PDM,DM⊂平面所以AE⊥如图，AC=2，延长MD，交AB于点N则△DCM和△则CM=1，点N到直线AC的距离等于1这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则BF>设FC=x，则2-x则存在点E，P，使得PD⊥④当底面ACFE的面积一定时，平面平面ABC⊥平面PEF时，即PF⊥平面ABC时，四棱锥设FC=x，EFV=V得x=2+23当x∈0,2-2当x∈2-2所以当x=2-23故答案为：①③【点睛】思路点睛：本题考查几何体的线线，线面位置关系，以及动点问题，和导数相联系的最值问题，本题的关键是第三问，需在变化过程中找到位置关系，建立不等式，即可判断.29．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为23，则当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时，原子A【答案】6【分析】根据给定的几何体，用原子A的半径r表示8个A原子与1个B原子的体积之和，再借助导数求解作答.【详解】因为正方体的棱长为23，则该正方体的体对角线长为2设A原子的半径为r，B原子的半径为R，依题意，2r+2R于是8个A原子与1个B原子的体积之和V=8⋅令f(r)=7由f'(r)=0得r=62-37因此函数f(r)在(0,62-37所以8个A原子与1个B原子的体积之和最小时，原子A的半径为62故答案为：6【点睛】思路点睛：涉及几何体的体积最值问题，可以引入一个变量，把体积建立为该变量的函数，再借助导数探讨求解.30．（2023·河南安阳·统考二模）2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型ABCDEF-A1B【答案】4【分析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，计算得到V=33816-h2h，设新函数，求导得到单调区间，计算最值得到【详解】设正六棱柱ABCDEF-若要使该正六棱柱的体积最大，正六棱柱应为球的内接正六棱柱中体积最大者，所以h24+a2=2正六棱柱的体积为V=设fh=16-h2h，0<h当h∈0,4当h∈43故fhmax=f4过E1作PQ∥A1C设PQ交C1D1PQ∥A1C1，确定平面ACPQ则五边形ACHE1G根据相似可得F1GGF=1所以AG=GF同理可得CH=21029，故当削去的雪最少时，平面ACE1截该正六棱柱所得的截面周长为故答案为：4【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求体积的最值，截面问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中将体积的最值转化为函数的最值，并确定截面是解题的关键.31．（2023·全国·校联考模拟预测）在直角坐标系xOy中，矩形的四个顶点都在椭圆C:y24【答案】86π【分析】设椭圆与长