2023学年完整公开课版三角形

三角形（1）

----三角形的基本概念观察

观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能举出一些实例吗？定义：由不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的封闭图形叫作三角形.三角形可用符号“△”来表示，如图中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.其中，点A，B，C叫作△ABC的顶点；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB，BC，CA叫作△ABC的边.通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示.ABCabc

三角形中，有的三边各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.

两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，

另外一边叫作底边，

两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.腰腰底边顶角底角底角

三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）。

等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形。

在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么？动脑筋

在△ABC中，BC是连接B，C两点的一条线段，由基本事实“两点之间线段最短”可得

AB+AC>BC。同理可得AB+BC>AC，AC+BC>AB

。结论1三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边。三角形的三边关系：做一做

有三根木棒，其长度分别为2cm，3cm，6cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？

判断方法：把较小的两个数加起来，如果大于最大的数就能围成三角形；如果等于或小于最大的数就不能围成三角形。例1如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小。解：在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意两边之和大于第三边）.又AD=BD，则BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.课堂练习1、（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来.答：五个三角形.（2）如图，在△DBC中，写出∠D的对边，BD边的对角.答：∠D的对边是BC，

BD边的对角是∠BCD.2、三根长分别为2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接构成一个三角形吗？答：能。随堂练习：参见练习册。三角形（2）

-----三角形的三线

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。

如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是△ABC的BC边上的高。如图，试画出图中△ABC的BC边上的高。做一做D

在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。

如图，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线。

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线。

如图，BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线。

任意画一个三角形，画出三边上的中线。你发现了什么？做一做EFDEFD

事实上，三角形的三条中线相交于一点。

我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心。

如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的重心。G例2如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高。

（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来。解（1）图中有6个三角形，它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面积相等？解：因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC。因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又等底等高的两个三角形的面积相等。例3如图，AB∥DC，CB⊥AB，若AB=6，△ABC的面积为12，求△ABD中AB边上的高。练习1、利用三角尺（或直尺）、量角器任意画出一个三角形，并画出其中一条边上的中线、高以及这条边所对的角的平分线。2、如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：ADC90AEABEBFDBE三角形（3）

---三角形的内角和与外角性质动脑筋

在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作，知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？

上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角。由此受到启发：因为直线在平移下的像是与它平行的直线，如图，将△ABC的边BC所在的直线平移，使其像经过点A，得到直线.所以

.则

，所以∠B+∠BAC+∠C=180°。又结论2三角形的内角定理：三角形的内角和等于180°。例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数。解

设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x+15)°，从而有3x+x+(x+15)=180。解得x=33。所以3x=99，x+15=48。答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°。议一议

一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？由于三角形的内角和等于180°，因此任意三角形中最多有一个直角或一个钝角。三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。锐角三角形直角三角形钝角三角形

直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”。

在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边。

两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD。像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.

对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角。D

探究

在图中，外角∠ACD和与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？

我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论。因为∠ACD+∠ACB=180°，

∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD

-∠A

-∠B=0（等量减等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B。结论3

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。例4如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4,∠BAC=63°，求∠DAC的度数。课堂练习1、填空：（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，则∠B=

；（2）在△ABC中，∠A-∠B=50°，

∠C-∠B