2022-2023学年苏教版高一数学新教材同步讲义6.2 指数函数

文档来源网络侵权删除6.2指数函数【题型归纳目录】题型一：指数函数定义的判断题型二：利用指数函数的定义求参数题型三：求指数函数的表达式题型四：指数型函数过定点问题题型五：指数函数的图象问题题型六：指数函数的定义域、值域题型七：指数函数的单调性及其应用题型八：比较指数幂的大小题型九：解指数型不等式题型十：判断函数的奇偶性【知识点梳理】知识点一、指数函数的概念：函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．知识点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．③如果，则是个常量，就没研究的必要了．知识点二、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．（2）当时，，；当时，．当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．（3）指数函数与的图象关于轴对称．知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：【方法技巧与总结】1、指数式大小比较方法（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．2、简单指数不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．【典型例题】题型一：指数函数定义的判断例1．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，是指数函数的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0例2．（2022·全国·高一专题练习）下列是指数函数的是（

）A． B．C． D．例3．（2022·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式1．（多选题）（2022·重庆·西南大学附中高一期中）下列函数是指数函数的有（

）A． B． C． D．变式2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【方法技巧与总结】一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．题型二：利用指数函数的定义求参数例4．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数为指数函数，则a的取值范围是________例5．（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则的值为________．例6．（2022·湖南·长沙市南雅中学高一阶段练习）函数是指数函数，则有__________.变式3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数和都是指数函数，则______.变式4．（2022·宁夏·平罗中学高一期中）函数是指数函数，则a的取值范围是________．变式5．（2022·全国·高一专题练习）已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：①；②；③；④.上述结论中正确结论的序号是___________.【方法技巧与总结】系数为1．题型三：求指数函数的表达式例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是指数函数，且，则______．例8．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数是指数函数，且，则________.例9．（2022·重庆市璧山中学校高一期中）写一个函数，满足函数值域为_______________．（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）变式6．（2022·福建省福州外国语学校高一期中）已知函数满足：（1）对于任意的，有；（2）对于任意的，且，都有.请写出一个满足这些条件的函数____________________________.(写出一个即可)变式7．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象与函数的图象关于y轴对称，则的表达式为______．【方法技巧与总结】待定系数法题型四：指数型函数过定点问题例10．（2022·上海·高一单元测试）函数恒过定点___________．例11．（2022·全国·高一单元测试）若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______．例12．（2022·全国·高一单元测试）函数的图象恒过定点_____________.变式8．（2022·安徽省定远中学高一阶段练习）不论为何值时，函数且恒过定点__________．变式9．（2022·全国·高一单元测试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________．【方法技巧与总结】令指数为0求解题型五：指数函数的图象问题例13．（2022·浙江宁波·高一期中）函数的图像（

）A． B．C． D．例14．（2022·山东·青岛二中高一期中）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（

）A．2 B． C． D．例15．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．变式10．（2022·全国·高一单元测试）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，变式11．（2022·浙江省淳安中学高一期中）若函数的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．变式12．（2022·全国·高一期末）若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（

）A．， B．，C．， D．，变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”．题型六：指数函数的定义域、值域例16．（2022·全国·高一单元测试）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（

）A． B． C． D．或例17．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为___________例18．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）函数的定义域为______．变式14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______变式15．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为______________．变式16．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.变式17．（2022·山东烟台·高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.变式18．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．变式19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则_________．变式20．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数的图象经过点其中且则函数的值域是________．变式21．（2022·全国·高一单元测试）函数在的值域为______．变式22．（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．变式23．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.变式24．（2022·河北武强中学高一期中）函数的最大值为_________．变式25．（2022·陕西渭南·高一期末）方程的解在内，则的取值范围是___________.变式26．（2022·全国·高一单元测试）函数且的值域是，则实数____.【方法技巧与总结】求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义．题型七：指数函数的单调性及其应用例19．（2022·广西南宁·高一期末）设函数，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减例20．（2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例21．（2022·浙江·玉环市坎门中学高一开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式27．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）设，，则是（

）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减变式28．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．变式29．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反．题型八：比较指数幂的大小例22．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数在上是增函数，，，，则（

）．A． B． C． D．例23．（2022·陕西·安康市教学研究室高一期末）若，则下列各选项正确的是（

）A． B． C． D．例24．（2022·四川德阳·高一期末）已知，则以下关系不正确的是（

）A． B． C． D．变式30．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）设，，，则（

）A． B．C． D．变式31．（2022·浙江·高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断．题型九：解指数型不等式例25．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.例26．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________．例27．（2022·内蒙古·呼和浩特市第一中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为______．变式32．（2022·浙江省杭州学军中学高一期末）已知函数，则不等式的解集为___________.变式33．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是___________.变式34．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）函数，则不等式的解集为___________.变式35．（2022·全国·高一专题练习）若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为___________．【方法技巧与总结】利用指数函数的单调性求解．题型十：判断函数的奇偶性例28．（2022·北京五十五中高一期中）如果函数是奇函数，则的值是__________.例29．（2022·浙江省临安中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求在上的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围．例30．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，(1)求函数的解析式(2)若，求实数的值.变式36．（2022·浙江宁波·高一期中）已知函数(1)若是奇函数，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范围．变式37．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求的解析式；(2)用定义证明的单调性．变式38．（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)当取何值时，方程在上有实数解.变式39．（2022·云南昆明·高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，函数.(1)求实数的值；(2)若时，函数的最小值为.求实数的值.变式40．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，.(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)设函数，若，对任意的，总存在，使得，求的取值范围.【方法技巧与总结】利用奇偶性的性质求解．【同步练习】一、单选题1．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知函数，则的图象大致是（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数为奇函数，且当时，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设，，那么是（

）A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数4．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数（，且），若，则（

）A． B． C． D．5．（2022·天津市建华中学高三阶段练习）若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）设函数（且），且，则下列结论正确的是（

）A． B．在定义域上的增区间为C．函数图象经过点 D．函数解析式为7．（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或二、多选题9．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数（且）的图像过定点，则（

）．A． B．C．为R上的增函数 D．的解集为10．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不