动态圆问题的解法

（三十二）动态圆问题的解法常考题型面面观1.（多选）空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是（）A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B.

入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大答案：BD2.（多选））如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形，A、B、C为三角形的三个顶点.若一质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力），以速度从AB边上的某点P垂直于AB边竖直向上射入磁场，然后能从BC边上某点Q射出.关于P点入射的范围和从Q点射出的范围，下列判断正确的是A.

B.

C.

D.

答案：C3.如图所示，在0≤x≤a，0≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0~90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

(1)速度的大小；

(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。解：(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得

①

由①式得

②

当a/2＜R＜a时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，如图所示。设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意t=T/4，得

③

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得

④

Rsinα=a-Rcosα⑤

又sin2α+cos2α=1⑥

由④⑤⑥式得

⑦

由②⑦式得

⑧

(2)由④⑦式得

⑨（2）当粒子从AB段射出，粒子对应的圆心角相等，为60度，则运动的时间相等．

根据几何关系知，r=a，

根据知，最大速度．

所以．

（3）电子从A沿x轴负方向出发，电子经磁场偏转后能再次回到x轴，临界情况是与BC边相切，

根据几何关系得，最大半径，

根据得，最大速度，

则．

粒子从E点射出，根据几何关系得，

因为圆心角为60度，则粒子在x轴上A到A点右侧34a范围内能接收到返回的电子．

答：（1）在磁场中的运动时间之比为2：1．

（2）电子的速率应满足．

（3）若使电子从A沿x轴负方向出发，电子经磁场偏转后能再次回到x轴，速率应满足，且在x轴上从A到A点右侧范围内能接收到返回的电子．解题技法点点金“动态圆”问题的四种起因入射粒子不同入射粒子不同，入射粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期和半径往往不同，因此对应不同的轨迹。入射方向不同相同的粒子以相同的速率沿不同方向射入匀强磁场中，做匀速圆周运动，其运动的周期T和轨道半径R相同，但运动的轨迹圆在空间的位置不同，这些轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径为R的一个圆上，粒子离入射点最远不超过2R。入射速率不同相同的粒子从同一点沿同一方向以不同的速率进入匀强磁场中，虽然不同速率的粒子运动半径不同，但圆心却在同一直线上，各轨迹圆都相切于入射点。在有界磁场中会形成相切、过定点等临界状态，运动时间、空间能到达的范围等级值问题。入射位置不同相同的粒子以相同的速度从不同的位置射入同一匀强磁场中，粒子在磁场中运