不定积分与定积分期末复习

欢迎阅读欢迎阅读页脚内容页脚内容不定积分与定积分数学分析第四版上册一、重中之重：⑴原函数一＞加上C(2)最后的结果一定要将变量带回去⑶去根号时，注意变量的取值范围(是否要分类讨论)例：Jd、J|x—1dx(连续点x=1处，原函数须相等)x-^x2一1详情见P181(4)记得验算几遍二、基本思路三、常见的不定积分四、方法总结1、三角换元=＞去根号2、分部积分法的递推3、分母变为一项或多因式，从而进行列项成多个项来求一J1例：JT+sinxdx=＞上下同时乘以1-sinx4、巧妙运用sin2x+cos2x=1J1例：J dx=＞带入分子后，拆分即可snxcosx5、巧妙运用sec2x=1+tan2x=＞sec2xdx=d(tanx)sec2xtan4x tan4x一1+1例1：Jtan4xdx=Jdx=Jd(tanx)・ sec2x 1+tan2x页脚内容页脚内容欢迎阅读1-tanx tanxd,J dx—,J dxr_▲I ».ra..CPC?V还有1+tanx和tan2x+tanx+1 (上下同时乘以 )例注1：方法可能不是最简单的，但提供了一种常用的思路注2：其他的题目可以尽量往secx和tanx方面去化简例：Jd =＞上下同时乘以sec2x2+sin2x五、解题技巧1、换元法x2n-1dx⑴xnTT解：淡定〜〜〜，然后令t=*¥〃,带入即可(2)In2x7Jdx

xIn4x解：1 In2xInx+In2xdx二再让旃=而心即可(3)J机£dx=＞令t6=1+wx(使分子，分母均为有理数)x2、分部积分法解：(1)Jsec3x=Jsecxd(tanx)=secxtanx-Jtanxd(secx)(2)Jtanxd(secx)=J(1-cos2)sec3xdx=Jsec3xdx-Jsecxdx(3)再将左边的式子相同的部分移到右边计算即可In(1+x)⑵J万 ——＞分部积分过程中，一般可以抵消掉不可计算的部分1十x23、万能公式欢迎阅读欢迎阅读(1)dx和J11+cosxdx解答：可以用万能公式，也可以将分母变为一项(从而便于列项出来)(3)J 1+sinx dxJ、dsinx(1+cosx) 5一3cosx4、欧拉变换(1)出现如，匕x,J+x+x2之类的11一xdx. . …、一例：J, =＞令t=x；x2+x带入即可'x2+x⑵依然可以配方后，用三角代换 详情请参见P1985、典型例题解：1=〉1[(1+x2)+(1-x2)]，再上下同时处以x2，分母进行配方，将分子的原函数”看出来”即可J1注意：JE?dx=＞可以分母直接因式分解，再列项即可x3思路1：配凑拆分一＞降次思路2：三角换元一＞t=tanx解1：解1：解2：八一1分子1二〉-[(1+x2)+(1-x2)],带入可得Jcos2tdt再同时上下处以x2即可(1)当n为奇数时，提出一个-sinx—＞令-sinxdx=d(cosx),再根据sin2x=1-cos2x艮口可1⑵当n为偶数时，令sin2x=2(1-cos2x)，带入展开，再列项分开来求(1)运用分部积分法进行递推(显然只需两次递推)页脚内容欢迎阅读(2)详情见P188(1)思路：配凑降次—＞分开来算已知(2x+2)dx=d(x2+2x+2)和J dx =Jd(x+D(x2+2x+2)2 ((x+1)2+1)6、其他难题(1)见P201最上面的两道题定积分一、定义辨析1、定积分和不定积分的区别(1)f的不定积分是一个函数族{F(x)+C},而定积分是一个确切的数，与面积有关(2)不定积分做变量代换时，结果要进行还原，而定积分不需要，直接得出结果2、三、基本公式1、平面图形的面积(1)一般方程：人=Jaf(x)dx=Jaydxb b(2)参数方程：A=1Jayf(t)d(x(t))I=1Jay(t)x'(t)dtIbb⑶极坐标方程：A=1Jar2(e)de2b注：求多条曲线所围成的面积，先作图，再求交点，再进行复合运算2、由平行截面面积求体积页脚内容页脚内容页脚内容欢迎阅读⑴截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，则立体体积V=兀10[f(x)]2dx 详情见P248b(2)旋转体的体积可知：A(x)=兀[f(x)]2所以体积公式为V=kJ[f(x)]2dx例：由圆x2+(y—R)2<j2(0<丫<R)绕x轴旋转一周所得环状立体的体积。解：详情见P250的例43、平面曲线的弧长与曲率(曲率略)(1)C为一条光滑曲线，即连续可微⑵参数方程:⑶一般方程:c」J[xJt)]2+[y'(t)]2dt⑵参数方程:⑶一般方程:C=J11+f'(x)2dx(4)极坐标方程：c=J：尸)”wdo4、旋转曲面的面积⑴设平面光滑