新人教A参数方程

第二节参数方程几种常见曲线的参数方程1.直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为φ的直线的参数方程是

其中t是参数，|t|表示直线上的动点P(x，y)与点P0(x0，y0)之间的距离.t表示有向线段P0P的数量.以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中φ是参数.当圆心在(0,0)时，方程为2.圆3.椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两

种情况：(1)椭圆(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.(2)椭圆(a>b>0)的参数方程是

其中φ是参数.1．直线(t为参数)的倾斜角为(

)A．40°

B．50°C．140°D．110°解析：将参数方程化为得直线的倾斜角为50°.答案：B

2．曲线(θ为参数)中两焦点间的距离是(

)解析：曲线化为普通方程为1，故c＝答案：C

3．直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截得的弦长为(

)A．1B．2C．3D．4解析：直线方程可化为曲线方程可化为由∴x＝0或x＝1.可得交点为A(0，)，B(1,0)．答案：B4．参数方程(t为参数)的普通方程_______．解析：由y＝t－1得t＝y＋1代入x＝3t＋2.得x＝3y＋5，即x－3y－5＝0.答案：x－3y－5＝05．实数x、y满足3x2＋2y2＝6x，则x2＋y2的最大值是________．解析：令x＝1＋cosθ，y＝代入x2＋y2得x2＋y2＝当cosθ＝1时，(x2＋y2)max＝4.答案：46．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)．求曲线C的普通方程．

解：因为所以x2＋2＝t+故曲线C的普通方程为：3x2－y＋6＝0.1．化参数方程为普通方程消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，

消去参数的常用方法有：①；②；③；④．代入消去法加减消去法乘除消去法三角恒等式消去法2．化普通方程为参数方程只要适当选取参数t，确定x＝φ(t)，再代入普通方程，

求得y＝

φ(t)，即可化为参数方程将下列参数方程化成普通方程．选择恰当方法消去参数即可.（1）由x表达式反解t代入y式中.（2）先计算x-2y代入化简可得.解：(1)由得代入化简得(2)由x－2y＝t－1得t＝x－2y＋1，代入y＝t2－t－1化简得x2－4xy＋4y2＋x－2y－1＝0.1．分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：(1)θ为参数，t为常数；(2)t为参数，θ为常数．解：(1)当t＝0时，y＝0，x＝cosθ，即|x|≤1，且y＝0；当t≠0时，而cos2θ＋sin2θ＝1，即(2)当θ＝kπ，k∈Z时，y＝0，x＝(et＋e－t)，即|x|≥1，且y＝0；当，k∈Z时，x＝0，y＝(et－e－t)，即x＝0；当θ≠，k∈Z时，得即得2et·2e－t＝即利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便．方法是：把代入圆锥曲线C：F(x，y)＝0，即可消去x，y；而得到关于t的一元二次方程：at2＋bt＋c＝0(a≠0)．则①当Δ＜0时，l与C无交点；②当Δ＝0时，l与C有一个公共点；③当Δ＞0时，l与C有两个公共点，此时方程at2＋bt＋c＝0有两个不同的实根t1，t2，把参数t1，t2代入l的参数方程，即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐标；另外，由参数t的几何意义，可知弦长|M1M2|＝|t1－t2|＝已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为(1)求直线l的参数方程；(2)求直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．根据直线参数方程中参数t的几何意义，运用一元二次方程根与系数的关系求解.解：(1)直线l的参数方程为(2)将得：t2＋(1＋2)t－4＝0，∴t1t2＝－4.由参数t的几何意义得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.2．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，求此两点到点C(4,3)的距离之积以及线段

AB的长．

解：∵cos2θ＋sin2θ＝≠1，∴所给的方程不是过点(4,3)的直线参数方程的标准形式．设2t＝t′，所给的直线方程为由于所以上述方程为过(4,3)的直线的参数方程，把它代入圆方程，整理，得t′2＋

＋21＝0，∵t′1t′2＝21，∴|CB|·|CA|＝21，|AB|＝|t′1－t′2|因此A，B两点到C的距离之积为21，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题如最值、范围等，即参数思想．已知圆

(θ为参数)的圆心F是抛物线的焦点，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求AF·FB的取值范围．根据条件写出过焦点F的直线的参数方程，利用有界性可求AF·FB的范围.解：曲线的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，所以F(1,0)．抛物线的普通方程是y2＝2px，所以p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设过焦点F的直线的参数方程为(t为参数)，代入y2＝4x，得t2sin2θ－4tcosθ－4＝0.所以AF·FB＝|t1t2|＝因为0＜sin2θ≤1，所以AF·FB的取值范围是[4，＋∞)．3．在椭圆上求一点M，使点M到直线x＋2y－

10＝0的距离最小，并求出最小距离．

解：因为椭圆的参数方程为所以可设点M的坐标为(3cosφ，2sinφ)．由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为＝|5cos(φ－φ0)－10|，其中φ0满足由三角函数的性质知，当φ－φ0＝0时，d取最小值此时，3cosφ＝3cosφ0＝2sinφ＝2sinφ0＝因此，当点M位于时，点M到直线x＋2y－10＝0的距离取最小值cosφ0=参数方程是研究曲线的辅助工具，在高考试题中，多考查参数方程与普通方程的互化及参数思想的运用，如2009年高考中广东13题，安徽12题，天津高考第13题，海南、宁夏第22题都考查了该部分内容.(2009·宁夏、海南高考)已知曲线C1：(t为参数)，(1)化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

(t为参数)距离的最小值．[解]

(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2