真题考研数学公式

导

数学大(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(cscx)cscx

11

11(ax)axln

1

(arcctgx) 1tgxdxlncosxctgxdxlnsinx

sec2xdxtgxsecxdxlnsecxtgx sin2xcsc2xdxctgxl1

cscxctgxdxcscxa2 a

xa

axdx

lnx2a2a2

x1lnax a

chxdxshx

arcsinxa2a2

x2a2) nxdx

n1In xdx

xx2xx2 dx

2

ln(x2

x2a2) dx

x2xxx2xx2a2

lnx

x2x2a2 dx a2

utgx

一些初等函数 双曲正弦shxexe

双曲余弦:chxexe lim(11)xe2 exe ex

arshxln(x x2 x2 1-------------------·和差角 sinsin2sincos sinsin2cos 1∓tg coscos2

ctg coscos2sinsin cos22cos2112sin2cos2sin2

sin33sin4sin3

tg2·半

sin2

cos2

tg1cos1cos ctg1cos1cos 1 1 1 1·a

·c2a2b22 —

arctgx2

nnnk

Cku(nk)v(ku(n)vnu(n1)vn(n1)u(n2)v n(n1)(nk1)u(nk)v(k) 日中值定理：f(bf(af()(bf(b)f 弧微分：ds1y2dx,其中y平均曲率KM点的曲率：Klims0

d 直线：K半径为a的圆：K1aba

(y0y1yn11[2(y0yn)y1yn11ba

ba[(yy)2(yyy )4(yyy 定积分应用相关功：WF水压力：Fp引力：Fkm1m2k为引力系数r2 函数的平均值ybafaa ： ba(x2x1)2(y(x2x1)2(y2y1)2(z2 ⇀ ab

abcosaxbxaybyazbz,是一个数量axbxaybyax2ax2ay2az2 2 x .例：线速度：v⇀ b

b⇀ ⇀

⇀⇀[

bzabccos,1、点法式：A(xxByyC(zz0

{A,B,C},M(x,y,z 2、一般方程：AxByCzD3 3、截距世方程：

A2B2C平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0A2B2Cx

y

z

xx0空间直线的方程：

t,其中smnp};参数方程：yy0 zz y z、椭球面 yp

pq同号单叶双曲面：x2y2z2

y2z

全微分：dzzdxz duudxudyu 全微分的近似计算：zdzfx(xy)xfy(xzf dzzuz u vzf[u(x,y),v(x, zzuz u vduudxu dvvdxv

d2

隐函数F(x,y

，

x)

隐函数F(x,y,z)0，zFx z uvF(x,y,u,v)uv J G(x,y,u,v)u1(F v1(F (u,u1(F v1(F ( (u,

x(t)在点M(x,y,z

y

z

0处的切线方程 0

0 (t (t0 F(x,y,z) ,则切向量T G(x,y,z)

1、过此点的法向量：n{F(xyzF(xyzF(xyz 3、过此点的法线方程：x y z 函数zf(xy)在一点p(xy)沿任一方向l

fcosf 函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y) fx

y

gradf(xye，其中ecosisinj，为lf是gradf(xy)在l设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0) ACB2 A0,(xy 无极ACB20时

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin11xyzz D曲面zf(xy)的面积ADD D

D DDD DDFxf

3

Fyf

(x,y)yd3

Fzfa

3D(x2y2a2)xr

D(x2y2a2)f(x,y,z)dxdydzF(r,,

D(x2y2a2) z 其中：F(r,zf(rcosrsin dvrdrsinddrr zr f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrddd F(r,)r2 重心：x1xdv, y1ydv, z1zdv， 其中MxdvM M M 转动惯量：Ixy2z2

Iy(x2z2

Iz(x2y2 (t),则y xf(xy)dsf[(t),(t)]2(t2 yx设L的参数方程为y(t) PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和 ：(QP)dxdyPdx ：(QP)dxdyPdxLD L当Py,Q

D 2时，得到D的面积：Adxdy

1xdy 2、P(x,y)，Q(x,y)在G

2且 且 在Q＝P时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分其中：u(x,y)

(x,yP(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00(x0,y0

f(x,y,z)ds

f[x,y,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x, ：(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos 散度：divPQR,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则

dsAds(PcosQcosRcos 因此 又可写成：divAdv (RQ)dydz(PR)dzdx(QP)dxdyPdxQdy

空间曲线积分与路径无关的条件：

z，zx，x

kk At qn111 n(n2 1是发散 1n

1snu1u2un;limsn交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——定理un0如果交错级数满足limu，那么级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值0

nnu1u2un，其中unu1u2u3 un如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)n级数：1收敛；n

np级数：n

1xx2x3 xn

11对于级数(3)aaxax2 axn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在

xRxR时不定 ，其中a

0时，R时，R

f(x f(n)(x 0函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0) 0(xx0) 0(xx)0 余项：Rn

(n

f

f(n)

nx00时即为麦克劳林：f(x)f(0)f(0)x

x2

xn(1x)m1mxm(m1)x2m(m1)(mn1)xn (1x sinxx (1) 欧

xx

(x cosxeix 或

sinxeix )a0

1,f(x)

a02

1

(n0,1,2

f (n1,2,3 1 1 （相加

8

1

11 22 122 2 2

0，bn0

f(x)sin n

2 f(xa0 acosnx余弦级数：bn0，an0

f(x)cos n

f(x)a0(acosnxbsinnx nn 1

anlf(x)cos (n11

lf(x)sinnxllll

(n一阶微分方程：yf(x, 或P(x,y)dxQ(x,y)dy可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gy)dyf(x)dxgy)dyf dyf(xy(xy)

设u

，u

代替 11

P(x)y当Q(x0时,为齐次方程，yCeP当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)ePx)dxdxC)eP

P(x)yQ(x)y(n即：du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

P(x,，其中

Q(x,u(xy)Cd2yP(x)dy

f(x0

Q(x)yf f(x0(*)ypyqy0，其中pq为常数；两个不相等实根p24qycer1xcer2 两个相等实根p24qy(cc 一对共轭复根p24qr1i，r2 4q， yex(ccosxcsin ypyqyf(x)，pq为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[P(xcosxP(x)sinx] 线性代数部分1、行列式n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n代数式和式的关系：M(1)ij A(1)ij

DD1D11)2DD顺时针或逆时针旋转90D2D21)D主副角线翻转后，所得行列式为D4D4D；

2D(

）◢：副对角元素的乘积

⑤、 斯展开式：AOACAB、 A A(1)mnA O B B对于nAEAn(1)kSnkS为k kA0AA④、利用秩，证明rA)n

2、矩阵A0（是非奇异矩阵rAn（是满秩矩阵bRnAxbAEAATAARn对于nAAA*A*AAE无条件恒(A1)*(AB)TBT

(A1)T(AT(AB)*B

(A*)T(AT(AB)1 B可逆若A

A

As 1 1 Ⅱ、A1

A1 sAO OO ②、 O B1B③、 B

OOAC

④、

；（拉斯OB AO O⑤、 ；（ 斯 B B B13、矩阵的初等变换与线性方程组一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F O O标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵ABr(Ar(B)r①、若(A, (E,X)，则A可逆，且XA1cr③、求解线形方程组：对于n个未知数nAxb，如果Ab)(ExAxA1b②、

n

E(i())，例如： E(ij(k,E(ij(k))1E(j(k))1

k

k(k0)①、0r(Amnmin(mn②、rAT)r(A③、若 B，则r(A)r(B)

1 1 P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩⑤、max(r(Ar(B))r(AB)r(Ar(B)⑥、r(AB)r(Ar(B)⑦、r(AB)min(r(Ar(BⅡ、r(A)r(B)nAB均为n阶方阵，则r(AB)r(Ar(Bn②、型如1ac01 001

二项展开式：(ab)nC0anC1an1b1 Cmanmbm Cn1a1bn1 注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1Ⅱ、Cm C0Cn

nCmambnmnm CmCm Cr rCrnCr1

r000AA

(A)r(A)n1Ar(A)nA

(AXX,A*AA1A*X

X)A*AA1

An个未知数m个方程的方程组构成n11 12 ax11 12 axax ①、

21 22 anmxn a1nx1b1 ax b②、

2n

22Axb（Amnmn个未知数x1 b1 ③、 ax2（全部按列分块，其中b2 n x b④、a1x1a2x2

nanxn（线性表出

n4、向量组的线性相关性 ,m构成nm矩阵A(1,2 ,m)T1Tm个n维行向量所组成的向量组B：T,T ,T构成mn矩阵B2 Tm

Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组Axb是否有解；（线性方程组AXB是否有解；（矩阵方程r(ATA)r(A)；P101①、线性相 0②、,线性相 ,坐标成比例或共线（平行③、,线性相关,若1,2 ,s线性相关，则1,2 ,s,s1必线性相关若1,2, ,s线性无关，则1,2, 若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：向量组A能由向量组B线性表示AXBr(Ar(AB（P85 ,Pl，使A rA~BPAB（P可逆）Ax0Bx0cA~BPAQB（P、Q可逆AmsBsnCmnBx0ABx0的解考试中可以直接作为定理使用，而无需证明ABx0只有零解Bx0②、Bx 有非零解ABx0一定存在非零解 ,br)(a1a2 ,as)K（BAKKsrAB组线性无关r(Kr；（BK的列向量组具有相同线性相（必要性：rr(Br(AKr(Kr(Kr,r(K)r；充分性：反证法注：当rsK r(A)m、Q的列向量线性无关；（P87

,s

r(A) 存在一组不全为0的数k1,k2 x1

(, ,x20Ax0 s xsr(1,2 1若*Axb的一个解，,1

Ax0的一个基础解系，则*,,

133结论1

5、相似矩阵和二次型正交矩阵ATAEA1AT（定义）0 0i

i(i,j1,i

n) ba[b1,a2]

[b,b]1 b b b [b1,ar [b2,ar b b ] [b,b]1[b,b] [b, r]1 2 r1rAB等价ABPAQBP、Qr(A)r(B)ABAB合同CTACBxTAxxTBxAB相似P1APB若C为正交矩阵，则CTACB A的正惯性指数为nAE合同，即存在可逆矩阵C，使CTACEaii0,A0；(必要条件AAA(AB)

AAA(AB)ABABA反演律：ABA ABA Ai Ai P(A)1P(若A P( P(B)对任意两个A,B,有P(BA)P(B)加法：对任意两个A,B,P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A) P(A)PAPAA) PAAA(1)n1PAAA i

1i 1ijk

j 1

P(A)P(AB)P(A)PBA(P(A)P(AAA)P(A AP AA 1 1 n1nP(A)P(ABi

nP(Bi)P(ABiBayes

A)P(ABkP(

P(Bk)P(ABknP(Bi)P(ABiP(aXb)P(Xb)P(XF(b)F01P(Xk)pk(1p)1k,k二项分布B(nP(AnP(Xk)Ckpk(1p)nk k0,1,,nlimnp k limCnpn(1pn 有 k0,1,Poisson