北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》第3课时示范公开课教学课件

4.4探索三角形相似的条件第3课时北师大版九年级数学上册学习目标探索三角形相似的条件准备好了吗？一起去探索吧！1.掌握相似三角形的定义及相似三角形的判定方法3.2.会运用三角形相似的判定定理3判别两个三角形相似，并会运用三角形相似解决简单问题.3.综合比较几种三角形相似的判别方法，并灵活应用解决问题.4.通过探索相似三角形的判定方法3，体现数学活动充满着探索性和创造性，体会实践是检验真理的唯一标准，培养学生的动手操作能力、总结概况能力.重点难点1.什么叫相似三角形?复习回顾

三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.2.我们已经学习了哪些相似三角形的判定方法？定义法：三个角分别相等、三条边成比例.判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.复习回顾

如果没有角相等的条件，要如何判定两个三角形相似？类似于判定三角形全等的SSS方法，有两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？3.这些判定方法有没有什么共同特点?

都要有角的相等关系，至少要有一个角是相等的.做一做演示

画△ABC与△A′B′C′，使

都等于给定的值2.设法比较∠A与∠A′的大小，△A′B′C′与△ABC相似吗？说明你的理由.

改变比值的大小，再试一试.两个三角形相似

画△ABC与△A′B′C′，使

都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小，△A′B′C′与△ABC相似吗？说说你的理由.

改变k值的大小，再试一试.探究两个三角形相似归纳

三边成比例的两个三角形相似.相似三角形的判定定理3：符号语言：

已知

△ABC与△A′B′C′，若

，则有△ABC∽△A′B′C′.CBAB′C′A′

我们学习了哪些判断三角形相似的方法？它们各自有哪些特点？想一想三角形相似判定定理3：三边成比例定义：三个角相等+三边成比例判定定理2：两边成比例+夹角相等判定定理1：两个角相等需要角相等需要边成比例归纳议一议

如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？方法1：通过数一数、勾股定理分别计算两个三角形三边的长度，并计算对应边的比值，利用判定定理3判断.方法2：通过图形可以看出∠A与∠A′均等于45°，计算AB、A′B′、AC、A′C′的长度，求出

的值，利用判定定理2判断.方法3：借助辅助线，先证明∠C=∠C′，再结合∠A=∠A′，利用判定定理1判断.(1)已知一条边平行于另一三角形的一边，找相等的两个角；(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边对应成比例；(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边对应成比例；(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例；(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例(利用勾股定理可以转化成三边成比例)．拓展判定两个三角形相似的思路：

ACBDE

如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC.做一做已知：∠DAE=∠CAB(公共角).①再加一个相等角的条件：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB②再加一个边成比例的条件：

.典型例题分析：由已知条件易得

△ABC∽△ADE，则∠BAC=∠DAE.而∠DAC为两等角内都包含的部分角，由此可得∠BAD=∠CAE，从而结合已知求出∠CAE的度数.

例

如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求

∠CAE的度数．典型例题

解：∵

∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC－∠DAC=∠DAE

－∠DAC

，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.

例

如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求

∠CAE的度数．归纳

首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；

再分别计算小、中、大边的比；

最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似．

特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法：

可简记为：“一排(排顺序)、二算(算对应边比值)、三判(判断三个比是否是相等)”．随堂练习1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？(1)不相似，因为三边不成比例；(2)相似，因为三边成比例.

（1）（2）7510562.56743.532随堂练习2.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是()

A.△PAB∽△PCA

B.△PAB∽△PDA

C.△ABC∽△DBA

D.△ABC∽△DCA

3.一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边的和是(

)A．19 B．17C．24 D．21CACBPDC随堂练习4.如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．证明：在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AFEDBC∴△ABC∽△EFD.∴∴随堂练习5.如图，在Rt△ABC

与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且

求证：△A′B′C′∽△ABC.

证明：由已知条件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2

=4A′B′2－4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△A′B′C′∽△ABC.(三边对应成比例的两个三角形相似)∴BC=2B′C′，A′B′C′ABC探索三角形相似的条件判定两个三角形相似的思路：

相似三角形的判定定理3：(1)已知一条边平行于另一三角形的一边，找相等的两个角；(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例；(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．(5)