概率论第三章题库

第三章多维随机变量及其分布一、选择题1、（易）设任意二维随机变量（儿力的两个边缘慨率密度函数分别为方心）和fy（y）,则以r+x iDr+x iD・匸人()川=0A.匚几（小仅=1C・£xfx（X）dx=02、（易）设二维随机变量（X,Y）~N（/S2、A.C.N(aG)C.N(aG)3、（易）设二维随机变量（儿力服从区域〃：x2+y2^1上的均匀分布，则（足F）3、A.f(x、y?=lB.L(x,y)gDyA.f(x、y?=lB.L(x,y)gDy0,其他c.D.f^y)=丄，(x,y)eD710,其他4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（A•尸(x,A•尸(x,刃=1，x+y>0.8,0,其他.6以r—'d曲X〉0,y>0,0. 其他.C.F(x,y)=£x£C.F(x,y)=£x£x严‘dsdtd.F(s)=-x-ye"rx>0,y>0,0. 其他5、（易）设二维随机变量CY,5、（易）设二维随机变量CY,力的概率密度为f（儿y)=扌‘0<x<2,0<y<2;0, 其他，则P{O<K1,0<Kl}=()A-JcA-Jc-ID.112126、(中等)设随机变量XF相互独立，其联合分布为29A.D.29A.D.7、(中等)设二维随机变量(XF)的联合分布函数为F(x』)・其联合概率分布律为则F(0,1)=()A. B・ C・ D.8、 (难)设随机变量尤和卩相互独立，且FW(3,4),r>'(2,9),则()A.Ar(7>21) B.M7,27)C・Ar(7>45) D.Mil,45)9、 (难)设随机变量儿F相互独立，且FN(2,1),广N(1,1),则(){片FW1}=丄 B.P{^K^0}=-22C.P{^K^1}=丄 D.PU4/W0}=丄2210、 (易)设二维随机变量(X、Y)的分布函数为则F(小+oo)=(A.0C・A.0C・Fy(y)D.1二、填空题】】、（劝设随机变量儿”目互独立，且PX吒，P{Y切斗则PE"12、（易）设二维随机变量（XV）的分布函数为F（x,y）,则F（yo,—8）=13、 （中等）设二维随机变量01"的分布函数为*,刃=宀肿严则[ 0, 其他，当x>0时，才的边缘分布函数用（力= .14、 （易）已知当0<x<1,0<y<1时，二维随机变量（X,Y）的分布函数F（xj）=x2/,记（“）的概率密度为心y）,则時"臨J"""心疾X17、（中等）设随机变量尤的分布律为X（“）的概率密度为心y）,则時"臨J"""心疾X17、（中等）设随机变量尤的分布律为X-1012P13111616且JM2,记88随机变量卩的分布函数为Fy（刃，则用•（3）= •18、（易）设随机变量尤和卩相互独立，它们的分布律分别为X-101Y-10P13<5P1434

则P{X+Y=1}=（1）求尤与卩的联合概率分布;19、（易）设二维随机变量（1）求尤与卩的联合概率分布;则P（XY=O）= ■三、计算题20、（中等）.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从为兀最大的号码为K为兀最大的号码为K（2）求关于尤和关于卩的边缘分布;（3）尤与卩是否相互独立【解】（1）尤与卩的联合分布律如下表*345P{x=xi}11_1cf~lot2_2c[_103_3c[_To6Io201_1c[_102_2c{_103Io3001_1cf~lo1IoP{Y=yt}1103To6Io⑵0P{X=lW=3}=Axl=A,l=p{X=l,y=3},故尤与卩不独立21、(中等)某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名，现从8名委员中随机指定3名担任学生会主席，设X,Y分别为主席来自理科、工科的人数,求：(1)(X,Y)的联合分布律；(2)X,Y的边缘分布.P(X=0■Y=0)=C(3■3)/C(8,3)=1/56P(X=0,Y=l)=C(3J)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0.Y=2)=C(3J)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0.Y=3)=C(3.3)/C(8,3)=1/56P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56P(X=l,Y=l)=C(2,l)*C(3,l)*C(3,l)/C(8t3)=18/56P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,l)/C(8,3)=6/56P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56P(X=2,Y=l)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56Y0X边缘分布YY12YP(X=i)3X01/569/56 9/561/56 5/14X13/289/28 3/280 15/28X23/563/560 03/28Y边缘分布P(Y=j)5/28 15/28 15/56 1/56122、（中等）设二维随机变量（匕D的概率密度为

cx)cx)\0,0<x<2,0<y<2;

其他.求：(1)常数c；Jf(x,y)dxdy=Jcxydxdy=cJxdxjydy=c(l/2*x"2|从0到2)(l/2*y'2|从0到1)=c(1/2*2^2-0)(1/2*「2-0)=c*2*l/2=c并且ff(x,y)dxdy=l所以c=l求(才，力分别关于才，卩的边缘密度A(A/r(y);判定光与卩的独立性，并说明理由；求p{x>i,r>i}.23、(校难)设随机变量(X,y)的分布函数为F(x,刃=4(〃+arctail二)(C+arctail上)2 3,试求：常数A、B、C试问尤与卩是否独立求尤与卩的联合概率密度函数F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3)F(-co,-oo)=a(B-Ji/2)(C-Ji/2)=0F(-cof+oo)=A(B-JI/2)(C+K/2)=0F(+co,-oo)=A(B+JI/2)(C-JI/2)=0F(+8,+8)=a(B+Ji/2)(C+n/2)=1解得：A=l/n*2,B=n/2,C=Ji/2F(+co,y)=1/2+1/Ji*arctan(y/3)F(x,+°°)=l/2+l/Ji*arctan(x/2)F(x,y)=F(+8,y)XF(x,+8)X和Y相互独立.(X,Y)的联合概率密度:6/(11Ji)(n/2+arctanx/2)(Ji/2+arctanY/3)24、（中等）设二维随机变量（Xf）的概率密度为0<x<2,2<y<4其他心）=們一）0<x<2,2<y<4其他求：（1）常数（2）（X,/）关于尤卩的边缘概率密度fxgfy（y）；<4}.由性质有【解】⑴由性质有J卞jXf(x,刃didy=[£R(6_牙_y)dycLv=8k=1,P{X+Y<4}=Jj/(x,y)drdy如图b[|7(x,y)dxdyx+r<4=仙广》67-y)dy=|.1111%111111rniiiiiiO1.522.v+y=4(a)题5图25、(中等)设二维随机变量(XV)的概率密度为x>0,y>0其他求：(1)(X,Y)关于尤卩的边缘概率密度fx(x\fY(y)；(2)判断随机变量X与Y是否独立JOJO②边缘密度函数分别为血⑴日必，曲y当兀\()时级(力=J(：dy=2e~^当x<0时(px(x)=0所以，讥）屮,（30, （x<0）同理可得以）2严巴（｝?-（））【0, （y<0）6旷®+3y）,（x>o,y>O）色⑴俗（）'）=介 甘宀0, 英匕=於,y）所以X与Y相互独立。26、（中等）设尤和『是