人教A版两条直线的位置关系

第2课时两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则l1∥l2时，α1＝α2，从而有l1∥l2⇔.这是对于不重合的直线l1，l2而言的．如果l1与l2是否重合不能确定时，k1＝k2时，可以得到

或

．基础知识梳理k1＝k2l1∥l2l1与l2重合(2)若两条直线都有斜率，且l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔

.若l1的斜率为0，当l1⊥l2时，l2的斜率

，其倾斜角为

.基础知识梳理k1·k2＝－1不存在90°两条直线l1、l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？【思考·提示】不正确．由两直线的斜率之积为－1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为－1.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直．基础知识梳理思考？2．距离公式基础知识梳理类型条件公式两点间的距离两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|＝点到直线的距离点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0d＝两平行线间的距离直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0d＝(转化为点到直线的距离)2.在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式时应注意什么问题？【思考·提示】

(1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；(2)求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算．基础知识梳理思考？1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(

)A．2

B．1C．0D．－1答案：D三基能力强化2．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(

)三基能力强化答案：C三基能力强化3．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为(

)A．x＋y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0D．x＋y＝0或x＋y－2＝0答案：C4．(教材习题改编)k为________时，直线kx－y＋1＝0与ky－x＋1＝0相交．答案：k≠±1三基能力强化5．平行四边形两相邻边方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线交点为(3,3)，则另两边的方程为____________________和______________．答案：x＋y－13＝0

3x－y－16＝0三基能力强化判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1、l2斜率都存在，且均不重合的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2与l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.课堂互动讲练考点一两条直线的平行与垂直课堂互动讲练已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．例1【思路点拨】直线的斜率可能不存在，故应按l2的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论．课堂互动讲练【解】

(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为课堂互动讲练法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，2分课堂互动讲练故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立.当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2.课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示】不考虑直线斜率是否存在，直接根据两条直线斜率的关系，得到两条直线垂直或平行的判定，是此类题目产生错误的重要原因．另外，由两直线斜率相等，直接得出这两条直线平行的结论，忽略重合的特殊情形，是出错的另一重要原因．课堂互动讲练若两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点坐标一定是这两个方程的唯一公共解，同时以这个解为坐标的点必是直线l1与l2的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程组成的方程组课堂互动讲练考点二求两条直线的交点课堂互动讲练△ABC的两条高所在直线的方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．例2【思路点拨】由条件先求AB、AC的直线方程，联立方程组求B、C两点的坐标．【解】可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在的直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，则可求得AB，AC所在的直线方程为y－2＝课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】画出草图，找出条件所给出的量．课堂互动讲练1．点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握．2．点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|.(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|.课堂互动讲练考点三距离问题(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.提醒：点到直线的距离公式当A＝0或B＝0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离．课堂互动讲练课堂互动讲练已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？例3【思路点拨】课堂互动讲练【解】

(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，课堂互动讲练课堂互动讲练(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，课堂互动讲练【误区警示】

(1)易漏掉k不存在的情况．(2)未能分析出最大距离所对应的情况．课堂互动讲练例3题目条件不变，问是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．课堂互动讲练互动探究点的对称是对称问题的本质，也是对称的基础．只要搞清了点关于点、直线的对称规律，则曲线关于点、直线的对称规律便不难得出．解决此类问题，首先应明确对称图形是什么，其次，确定对称图形与对称轴的关系．常用到两点：(1)两对称点的中点在对称轴上(利用中点坐标公式)；(2)两对称点的连线与对称轴垂直(若二者存在斜率，则斜率之积为－1)．课堂互动讲练考点四对称问题课堂互动讲练（解题示范）（本题满分12分）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．例4【思路点拨】借助平面几何知识找出代数关系．课堂互动讲练(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结】

(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题；(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．课堂互动讲练(本题满分12分)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使点到A(1,7)和B(0,4)的距离之和最小．课堂互动讲练高考检阅课堂互动讲练即l与AB′的交点坐标为P(2,5)，所以，所求点P的坐标为(2,5).

12分课堂互动讲练1.两条直线位置关系的判定若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)．规律方法总结2．直线系方程符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系方程有如下几种：(1)过定点M(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(这个直线系方程中未包括直线x＝x0)．规律方法总结(2)和直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)．(3)和直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0.(4)经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．规律方法总结规律方法总结3.常见的对称问题(1)中心对称②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求