【2022届新高考数学一轮复习全案】《简单的逻辑联结词及两个量词》

“或”：

“且”：

“非”：

1．简单的逻辑联结词

两个简单命题至少一个成立两个简单命题均成立对一个命题的否定2．p和q，记作

，读作“p且q”．3． p和q，记作

，读作“p或q”．4．

，读作“非p”或“p的否定”．它实值就是否定命题的结论(条件不变)．p∧qp∨q綈p用联结词“且”联结命题命题用联结词“或”联结命题命题命题p的否定记作5．真值表：表示命题真假的表叫真值表pq非p(綈p)p或q(p∨q)p且q(p∧q)真真

.

.

.真假

.

.

.假真

.

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.假假

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.

.假真真真真真真假假假假假(1)全称量词：短语“

”、“

”在逻辑中通常叫做全称量词，用“

”表示，常用的全称量词还有“

”等．(2)全称命题：含

的命题叫全称命题．(3)存在量词：短语“

”、“

”在逻辑中通常叫存在量词，用“

”表示，常见的存在量词还有“

”等．(4)特称命题：含有

的命题叫特称命题．6.全称量词与存在量词

所有的任意一个∀一切、每一个、任给全称量词存在一个至少一个∃有些、有一个、某个存在量词(5)含有一个量词的命题的否定：①全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)是特称命题．②特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)是全称命题．③“p∧q”的否定为“綈p∨綈q”④“p∨q”的否定为“綈p∧綈q”1．如命题“p∨q”为真命题则(

)A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题[答案]

C2．(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是(

)A．∃x∈R，lgx＝0

B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x2＞0D．∀x∈R,2x＞0[解析]

对于C选项x＝0时，x2＝0.故选C.[答案]

C3．命题“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是________．[答案]

∃x∈R，x2＋1＜1.

分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的命题的真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．[解]

(1)∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，綈p是假命题．(2)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．(3)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．[点评与警示]

判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假：①必须弄清构成它的命题的真假；②弄清结构形式；③根据真值表判断其真假． (2010·天津文数)下列命题中，真命题是 (

)A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数[解析]

当m＝0时，f(x)＝x2是偶函数，选A.[答案]

A[点评与警示]

关键是对“∀”和“∃”的理解．

写出下列命题的否定并判断真假． (

)(1)p：所有末位数字是0的整数都能被5整除；(2)q：∀x≥0，x2＞0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．[解]

(1)綈p：存在一个末位数字是0的整数不能被5整除，假命题．(2)綈q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3)綈r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题．(4)綈t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．[点评与警示]

(1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可．(2)要判断“綈p”的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，利用p与綈p的真假相反判断．写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属全称命题还是特称命题：(1)所有的有理数是实数；(2)有的三角形是直角三角形；(3)每个二次函数的图象都与y轴相交；(4)∀x∈R，x2－2x＞0.[解]

(1)綈p：存在一个有理数不是实数，为假命题，属特称命题．(2)綈p：所有的三角形都不是直角三角形．为假命题，属全称命题．(3)綈p：有一个二次函数的图象与y轴不相交．为假命题，属特称命题．(4)綈p：∃x∈R，x2－2x≤0.为真命题，属特称命题．

已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．[解]

可先求每个命题为真时，相应a的取值范围，再根据p、q之间的关系确定a的取值范围．∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a＞1.不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立，∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真，q假时，得a≥4.②当p假q真时，得0＜a≤1.故a的取值范围(0,1]∪[4，＋∞)．[点评与警示]

分别将每个命题化简得出它们最明了的形式是快速准确求解这类问题的好方法．此题可先求出每个命题真时，相应的a值的范围，再求解之．1．常见的全称量词有：“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”；常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①对所有的x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任选一个x∈A，使p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，使p(x)成立④对某个x∈A，使p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立3.“命题的否定”与“否命题”是不同的两个概念．“否命题”是对原命题的条件和结论分别加以否定．而“命题的否定”只是否定命题的结论．4．一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语等于(＝)大于(＞