2022优化方案高考数学（文）总复习（人教B版）平面的基本性质及两直线位置关系

第3课时

平面的基本性质及两直线位置关系考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考第3课时双基研习·面对高考1．平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质性质1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．性质2：经过________________的三点，有且只有一个平面．性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们_____________过这个点的公共直线．两点不在一条直线上有且只有一条基础梳理(2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和_______的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条_________，有且只有一个平面．推论3：经过两条__________，有且只有一个平面．直线外相交直线平行直线平行直线相交直线相交平行思考感悟1．如果两条直线没有任何公共点，则两条直线为异面直线，此说法正确吗？提示：不正确．如果两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面．3．平行公理平行于同一条直线的两条直线__________4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角_______．互相平行相等思考感悟2．本定理中，这两个角方向相反，两角有何关系？提示：当这两个角的两边方向相反时相等．课前热身1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(

)A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能答案：D

2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b(

)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案：C3．已知A、B、C表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是(

)A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A答案：C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1所成的角为__________．答案：45°5．三条直线两两相交，可以确定__________个平面．答案：1或3考点探究·挑战高考考点突破考点一点共线问题证明共线问题：(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——两相交平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点．正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BC1D交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．例1【证明】如图所示，A1A∥C1C，则A1A与C1C可确定平面A1C.互动探究1在本例中，若E、F分别为D1C1、B1C1的中点，A1C1∩EF＝Q，AC∩BD＝P，A1C∩面EFBD＝R，试探究P、Q、R三点是否共线．解：在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β，则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．证明共点问题一般是证明三条直线交于一点．首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，由公理3可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即三条直线交于一点．考点二线共点问题例2【思路分析】先证E、F、G、H四点共面，再证EF、GH交于一点，然后证明这一点在AC上．∴由公理4知，EH∥FG，且EH<FG.∴四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底．∴两腰EF、GH所在直线必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC，∴P在平面ABC和平面ADC的交线上．又∵面ABC∩面ADC＝AC，∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三直线交于一点．【思维总结】证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点，然后再证明这一点在第三条直线上，而证明后者，往往是利用这点在两个平面的交线上．证明若干条线(或若干个点)共面，一般来说有两种途径：一是首先由题目条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合．本类题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．考点三点、线共面问题如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AA1、CC1的中点，求证：D1、E、F、B共面．例3【思路分析】

连结D1E、D1F→D1E与DA相交，D1F与DC相交→证明两交点与B共线．【证明】∵D1、E、F三点不共线，∴D1、E、F三点确定一平面α，又由题意可知D1E与DA共面于平面A1D且不平行，故分别延长D1E、DA相交于G，则G∈直线D1E⊂平面α，∴G∈α.同理，设直线D1F与DC的延长线交于点H，则H∈平面α.又∵点G、B、H均属于平面AC，且由题设条件知E为AA1的中点且AE∥DD1，从而AG＝AD＝AB，∴△AGB为等腰直角三角形，∴∠ABG＝45°，同理∠CBH＝45°，又∵∠ABC＝90°，从而点B∈α，∴D1、E、F、B共面．【名师点评】

题中是先说明D1、E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．判定两条直线是否异面，可依据定义来进行，还可依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线)进行．反证法是证明两直线异面的有效方法．考点四异面直线如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由；例4【思路分析】

(1)可证得MN∥AC，故AM、CN共面．(2)利用反证法或定理法．【解】

(1)不是异面直线．理由：连接MN、AC.(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．【方法指导】若从正面入手证明两条直线异面比较困难时，可考虑用反证法．方法技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(如例3)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线(如例1)．方法感悟2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面(如例4)．失误防范1．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，而不是分别在两个平面内．一定要理解定义．2．求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是(0°，90°]．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角、异面直线的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查异面直线所成角的概念及求法，考查平移直线法；主观题主要考查立体几何的有关知识、异面直线的判定等，同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力．预测2012年高考仍将以求异面直线的位置关系判定为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和运算能力．(本题满分12分)(2009年高考辽宁卷)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．例规范解答(2)证明：连结NE，假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.7分由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.10分又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线.12分【名师点评】

(1)不会利用平面ABCD⊥平面DCEF创建线线垂直，将所求MN放置于可解的直角三角形内．(2)否定结论后，不会利用假设与线面平行的性质导出AB∥EN，从而找不到矛盾所在．反证法证题的关键在于充分利用假设与条件推出矛盾，从而肯定结论正确．名师预测1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(

)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件解析：选A.“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”．故选A.2．已知几个命题：①三点确定一个平面；②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是(

)A．0B．1C．2D．3解析：选A.根据平面的基本性质进行判断．①不正确，若此三点共线，则过共线的三点有无数个平面．②不正确，当A、B、C三点共线时，P、A、B、C四点共面．③不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面．④不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形，故选A.3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B