【人教数学A版选修】《微积分基本定理》

定积分的概念一、定积分的定义1.定积分的含义是什么？其中a与b，区间[a，b]，函数f(x)，变量x，f(x)dx分别叫什么名称？a:积分下限；b：积分上限；[a，b]：积分区间；f(x)：被积函数；x：积分变量；f(x)dx：被积式.二、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)

由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.

当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb

与x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方，xyOabyf(x)y-f(x)=-S表示上述曲边梯形面积的相反数。二、定积分的几何意义：abyf(x)Oxy探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy三:定积分的基本性质性质1.性质2.三:定积分的基本性质

定积分关于积分区间具有可加性性质3:Oxyabyf(x)ＣＣ1

例1：利用定积分的定义,计算

的值.

复习:定积分的基本运算性质：(1)(2)（3）2.直接用定积分的定义计算的值是很烦琐的，有些定积分几乎不能直接用定义计算，因此寻求一个简便、有效的计算原理求定积分的值，就成为一个迫切需要解决的问题.3.我们已经掌握了导数的概念和计算方法，如果能建立导数与定积分的内在联系，利用导数来求定积分，那是非常理想和美妙的.微积分基本定理探究（一）：物体位移的几种算法

思考1：一个作变速直线运动的物体的位移y与时间t的函数关系为y＝y(t)，那么它在时间段[a，b]内的位移s等于什么？s＝y(b)－y(a).思考2：设物体的速度v与时间t的函数关系为v＝v(t)，那么它在时间段[a，b]内的位移s用定积分怎样表示？思考3：物体在时刻t的速度v(t)与位移y(t)的关系是什么？v(t)＝y'(t).思考4：综上分析，物体在时间段[a，b]内的位移s有哪些表示式？思考5：在下图中，如何理解物体在时间段[a，b]内的位移？abtysy＝y(t)探究（二）：微积分基本定理

思考1：我们曾求得以速度v(t)＝－t2＋2作变速直线运动的汽车，在0≤t≤1时段内行驶的路程为定积分,若利用上述原理求定积分的值，如何计算？思考2：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且，那么等于什么？定积分叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成.那么用微积分基本定理计算定积分的关键是什么？找到满足的函数F(x).思考5：对给定的函数f(x)，满足的函数F(x)是不惟一的，不同的F(x)有什么差别？对定积分的值是否有影响？若，则.没有影响!理论迁移

例1计算下列定积分：（1）；（2）.1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.小结2.寻找满足的函数F(x)，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x).

例2计算下列定积分，利用曲边梯形的面积，你能从计算结果中发现什么结论吗？（1）；（2）；（3）.2－20xyOπ2π【结论】（1）当定积分对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正数，且等于曲边梯形的面积；（2）当定积分对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负数，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当定积分对应的曲边梯形位于x轴上方部分的面积与位于x轴下方部分的面积相等时，定积分的值为零.（4）若f(x)为奇函数，则；（5）若f(x)为偶函数，则，其中a＞0为常数.

例3计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）.0

例4计算下列定积分：（1）；（2）.