广义相对论的两个疑难

广义相对论的两个疑难第一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六Ⅰ信息疑难

（与热力学第二定律有关）

Ⅱ奇点疑难

（可能与热力学第三定律有关）

Ⅲ动力学黑洞

（霍金辐射产生自何处？）

Ⅳ时间度量

（可能与热力学第零定律有关）第二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六Ⅰ黑洞信息疑难1、无毛定理（1967）2、霍金热辐射——量子效应（1974）3、打赌（1997）4、霍金的新观点（2004）5、对霍金新观点及信息守恒的质疑

（＊张靖仪与赵峥获Thomson中国卓越研究奖文章探讨此问题）第三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六1、无毛定理（1967）对洞外观测者来说，坍缩进黑洞的所有物质的信息（毛）全部丢失，只有总质量、总角动量和总电荷除外。只剩三根毛：M,J,Q失去的信息永远保留在黑洞内部第四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六2、Hawking热辐射

——量子效应（1974）考虑量子隧道效应，黑洞会以精确的黑体谱进行热辐射，不带出任何信息。黑洞将“蒸发”干净，洞内信息全部从宇宙中消失。信息的丢失意味着，形成黑洞的量子纯态全部衰变成混合态。第五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六这将导致熵大量增加轻子数、重子数等守恒定律破缺。量子引力不具有幺正性。第六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六3、打赌（1997）

S.W.HawkingJohnPreskillKipThorne

黑洞中的信息不会失黑洞中的信息失去了。去，一定会以某种机（信息不守恒）制跑出来。（信息守恒）

第七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六2004年7月21日S.W.Hawking：我输了K.Thorne：没有输J.Preskill：没有听懂我为什么赢了。第八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六4、Hawking的新观点我已经解决了黑洞蒸发的信息佯谬。对于真实的黑洞，信息可以从洞中逸出。（1）对偶猜想（2）真实黑洞与理想黑洞（平庸拓扑和非平庸拓扑）（3）散射过程第九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（1）对偶猜想ADS/CFT

反deSitter空间中的超引力反deSitter空间边界上的共形场论CFT理论是幺正的反deSitter空间一定信息守恒落入反deSitter空间中的黑洞的任何信息必定会跑出来第十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（2）真实黑洞与理想黑洞（平庸拓扑和非平庸拓扑）理想黑洞的度规是拓扑非平庸的，信息会丢失。真实黑洞的度规拓扑是平庸的，信息不会丢失。第十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（3）散射过程真实黑洞的形成和蒸发可以被视作散射过程。∞∞弱场弱场强场

此散射过程，信息守恒。第十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六5、对霍金新观点的质疑（1）落入黑洞的信息必定有部分丢失。（2）部分信息有可能从黑洞中重新逸出，部分信息有可能作为“炉渣”被留下来。第十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（1）为何必定有部分信息丢失？对于微观黑洞，霍金的新观点也许正确。对于宏观黑洞则不然黑洞与外界的热平衡不稳定

第十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六黑洞与外部的温差，必将导致热流。这是一个不可逆过程，必将导致熵增加。按照信息理论信息=负熵熵信息∴落入黑洞的物质的信息必定会有丢失（至少会丢失一部分）第十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六物理学中有质量守恒、能量守恒、电荷守恒……

但没有信息守恒定律。热力学第二定律熵不守恒信息不守恒∴应该预期：量子引力不一定具有幺正性第十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（2）信息从洞中部分逸出的可能途径（A）隧道效应（B）非稳黑洞（C）光锥的改变第十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（A）隧道效应辐射谱是严格黑体谱吗？第十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六F.Wilczek和M.Parikh：对史瓦西黑洞和R-N黑洞（球对称静态黑洞），辐射时黑洞会有收缩产生势垒由于能量守恒，辐射谱不是严格黑体谱辐射谱必须修正此修正保证了量子引力的幺正性没有信息丢失！第十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六第二十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六第二十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六张靖仪、赵峥等的工作：把Parikh的证明推广到旋转、带电的稳态黑洞JingyiZhang,ZhengZhao,ModernPhys.Lett.A20(2005)No.22.1673＊Phys.Lett.B618(2005)14NuclearPhys.B725(2005)173J.HighEnergyPhysics10(2005)055:1-6Phys.Lett.B638(2006)110（＊Thomson奖文章，2008）第二十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六推广到各种黑洞，发现均用了公式因而假定了是可逆过程。所以，Wilczek与Parikh的方案计算正确，但是只对理想的〝可逆过程〞成立，然而，所有的真实过程是不可逆的。所以，他们的工作还不能证明信息守恒。第二十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（B）动态黑洞Vaidya黑洞第二十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六事件视界表观视界准静极限面量子能层第二十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六我们已证明：Hawking辐射来自事件视界，不是表现视界，且热谱是严格的。第二十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六但是有两点疑问：辐射在穿越量子能层时，会发生什么？上述证明用的是渐近方程，如果不采用渐近方程会否带来对热谱的修正？第二十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（C）光锥张角改变AB是类空曲线如果光锥在扰动下张开，AB将可能类光或类时第二十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六假如黑洞视界附近的时空被扰动，将可能使光锥张角涨落，有可能使洞中信息逸出。第三十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六Ⅱ奇点疑难1、什么是奇点2、奇性定理3、奇性带来的物理异常及引发的猜想4、对奇性定理证明的质疑5、自由光线的加速度6、钟速同步与第零定律第三十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六1、什么是奇点（1）时空曲率发散描述曲率的标量物质密度第三十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六Shwarzschild时空第三十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六Kerr-Newman时空外视界（事件视界）和内视界奇环，内禀奇异性第三十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六大爆炸奇点（k=-1,0的宇宙）大爆炸与大挤压的奇点（k=+1的宇宙）第三十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（2）用测地不可延伸来定义奇点假如把曲率发散点从时空中挖掉，时空还奇异吗？第三十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六奇异性（奇点）的定义一个时空如果至少具有一条不完备的类时或类光测地线，而且此时空不能嵌入一个更大的时空中，则称此时空是奇异的。第三十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六不完备的测地线：一条测地线在至少一个方向上，在有限的仿射距离之内就不可延伸了。第三十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六物理意义至少有一个自由下落观测者（或光子）在有限的时间（或仿射距离）之内就结束了他（它）的存在，或在有限的时间（仿射距离）之前开始了他（它）的存在。奇点的存在=时间有开始与结束第三十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六时间有没有开始和终结？哲学问题物理问题第四十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六2、奇性定理（1）因果性条件编时条件因果条件强因果条件稳定因果条件整体双曲弱强第四十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（2）能量条件弱能量条件强能量条件主能量条件第四十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（3）共轭点Jacobi场定义在测地线上，描述邻近测地线偏离的程度的矢量场，如果满足测地偏离方程则称为定义在上的雅可比场。第四十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六共轭点设一对点，如果定义在上的雅可比场不恒为零，但在两点处为零，则称为测地线汇的共轭点。第四十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（4）奇性定理的证明因果性条件间的测地线没有共轭点能量条件爱因斯坦方程间的测地线有共轭点存在物质(matter)第四十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六如果上述两组条件均成立：间既要有共轭点，又要没有共轭点。解决此矛盾的唯一出路：测地线在间存在奇点，让这条线“断掉”！此时间过程一定有开始或终结！第四十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六3、奇性（奇点）带来的物理异常及引发的猜想（1）奇点强烈影响黑洞温度史瓦西黑洞Kerr-Newman黑洞可证明奇环第四十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六Manko黑洞第四十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（2）逼近R-N奇点、K-N奇环的观测者的固有温度发散可证明积分加速度发散第四十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六固有加速度发散由于有限，可证Unruh效应第五十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六结论：奇点的存在（3）关于奇点的猜测：奇性的存在与热力学第三定律抵触。奇性定理的证明，可能违背第三定律。第五十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六猜想热力学第三定律将禁止时间有开始和结束。第五十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六4、对奇性定理证明的质疑均用类时或类光测地线证明（1）类时测地线有共轭点，一定能在间微扰出类时非测地线上上第五十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（2）类光测地线有共轭点，一定能在间微扰出类时线

在上，有限值；时，猜测（若，则为类时测地线，但类光，不可能有）第五十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六在下列论文中，我们证明了时，GuihuaTian,ZhengZhao,J.Math.Phys.44(2003)5681ClassicalandQuantumGravity20(2003)3927G.Tian,Z.Zhao,CanbinLiang,ClassicalandQuantumGravity19(2002)2777由Unruh效应，∴奇性定理是在（类时测地线）或（类光测地线）情况下证明的，与热力学第三定律抵触。第五十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六热力学第三定律不容许时空奇点的出现，第三定律要求时间过程没有开始和结束。第五十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六5、自由光线的加速度（1）Rindler变换惯性系常数

常数

匀加速系，加速度第五十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（2）Rindler对极限情况的解释，匀加速观测者的世界线是双曲线（常数）时，，世界线成为光线（视界）且加速度Rindler认为：此光线加速度可看作无穷大第五十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（3）我们的工作：此光线有镜子反射，不是测地线。但我们在下面论文中证明了：可无限延伸的类光测地线的加速度为无穷大。G.Tian,Z.Zhao,C.Liang,ClassicalandQuantumGravity19(2002)2777第五十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六20世纪初导致物理学革命的两朵乌云均与对光的认识有关黑体辐射量子论

光的量子性迈克尔孙试验相对论

光速的绝对性（对任何观测者恒为常数C）本报告提出一个新的疑难：自由光线的加速度发散！第六十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六Ⅲ、动力学黑洞1.如何计算演化黑洞的温度？2.动力学黑洞的霍金辐射来自何处？3.如何定义事件视界？4.黑洞表面各点温度可否有差异？第六十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六1.如何计算演化黑洞（动力学黑洞）的温度？证明稳态黑洞有热辐射，并计算其霍金温度的方法有许多种，但都不能用于动力学黑洞（演化黑洞）的研究。到目前为止，能够证明动力学黑洞有热辐射，并计算其温度的普适方法只有我们创造的一种。第六十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（1）从Damour-Ruffini法得到的启示D-R法是一个计算稳态黑洞温度的方法：粒子动力学方程（Klein-Gordon方程、Dirac方程）（1）在作Tortoise变换（2）即（3）第六十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六及分离变量（4）之后，可在事件视界附近（）化成波动方程的标准形式（5）把它的出射波解从视界外部解析延拓到内部后，可证明出射波具有黑体谱，辐射是热辐射，并定出辐射温度（6）此方法可运用于一切稳态黑洞。第六十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（2）创建计算动力学黑洞温度的方法

（ZDL-赵峥、戴宪新、罗志强等）用D-R法需先知道黑洞视界位置和表面引力。但对动态黑洞，一直苦于如何求出与，而且对热辐射究竟产生自表观视界还是事件视界长期存在争议。多数人认为产生自表观视界。新方法的关键，把问题反过来研究。把乌龟变换中的作为待定系数，作为待定函数。第六十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六设辐射来自曲面引入Tortoise变换（7）

（8）式中为超前爱丁顿坐标。第六十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六在上述Tortoise变换下，Klein-Gordon方程的径向方程化为

（9）第六十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六研究的渐近方程当时，第一项系数的分母→0若要第一项系数的分子→0则有

(10)第六十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六此恰为从(11)得到的零曲面方程。称为局部事件世界：（12）第六十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六用洛必达法则，在附近，径向方程化为平直时空波动方程的标准形式（13）用Damour-Ruffini的解析延拓法，可证明有热辐射自产生，为严格黑体谱。（14）（15）第七十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六2.动力学黑洞的霍金辐射来自何处？结论：动力学黑洞的霍金辐射产生自局部事件视界，明显不同于表观视界（6）所以，我们认为辐射不是产生于表观视界，而是产生于事件视界。（与目前多数人的意见不同）第七十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六3.如何定义事件视界？局部事件视界的定义：（1）类光超曲面（2）保有时空的内禀对称性（3）产生Hawking-Unruh辐射第七十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六4.黑洞表面各点温度可否有差异？用我们的方法可以逐点计算黑洞表面的温度，结果表明，动力学黑洞表面各点温度一般不同（仅球对称动力学黑洞表面各点温度相同，只是时间的函数）。第七十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六例.动态Kerr黑洞在Tortoise变换（17）下，可用上述方法定出局部事件视界

（18）及黑洞表面温度（19）（20）第七十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六Ⅳ时间度量1.时间研究的困难2.庞加莱的设想——约定光速3.欧拉的思路——好钟4.爱因斯坦对同时性的定义5.“同时”具有传递性的条件6.钟速同步具有传递性的条件7.时间段的度量8.结论和讨论第七十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六1.时间研究的困难

·

时间是什么？没人问我，我很清楚；一旦问起，我便茫然。

圣·奥古斯丁《忏悔录》公元四世纪第七十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六

时间的两个基本性质

(1)测度性.

(2)流逝性.

（本文仅对时间的测度性进行探讨）第七十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六测度时间的困难与牛顿同时代的洛克已认识到不能确认两个相继时间段的相等。他认为，时间是对绵延长度的度量。绵延只能用周期运动作单位进行度量，然而“绵延中任何两部分，我们都不能确知是相等的”。我们只能假定，周期运动的每一个周期都是相等的，才能对时间进行度量。（洛克：《人类理解论》，商务印书馆，1959）。不过，洛克没有做更深入的分析。第七十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六·庞加莱认为“时间必须变成可测量的东西，不能被测量的东西不能成为科学的对象”。《最后的沉思》中文版P222.庞加莱关于时间测度的设想第七十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六庞加莱认为，时间的测量分为两个问题：异地时钟的同时（或同步）相继时间段（绵延）的相等第八十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六

庞加莱认为“时间度量”应该靠“约定”.第八十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六他认为不仅时间间隔的计量取决于约定，而且异地事件的“同时”的定义也取决于约定。庞加莱认为这两个问题相互关联，而且只有通过“约定”才能加以解决。他推测通过“约定”真空中光速的各向同性有可能解决上述问题。

庞加莱对于时间测量的约定论第八十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六3.欧拉的思路——用运动定律来定义“好钟”首先把时间与运动联系起来的是古希腊的贤哲：时间就是天球。——毕达哥拉斯学派时间是天球的运动。——柏拉图时间是运动的计数。时间是运动和运动持续量的尺度。——亚里士多德第八十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六欧拉的思路首先把时间测量与运动定律联系起来的是欧拉（后来是庞加莱）：

如果以某个给定的循环过程为单位时间，而发现牛顿第一定律成立的话，这个过程就是周期的。（即，每次循环都经历相同的时间）

——《时间和空间的沉思》

（L.Euler1707-1783）（注：当时相信用尺作的空间长度的测量没有问题）第八十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六目前相对论界沿用欧拉对“绵延”相等的约定Agoodclock(timecoordinateofalocalinertialframe)makesspacetimetrajectoriesoffreeparticlesthroughthelocalregionofspacetimelookstraight.

C.W.Misner,K.S.Thorne,J.A.Wheeler《Gravitation》P26第八十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六目前相对论界沿用欧拉对“绵延”相等的约定Howistimedefined?Timeisdefinedsothatmotionlookssimple!

C.W.Misner,K.S.Thorne,J.A.Wheeler《Gravitation》P23第八十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六注释:“好钟”

所谓“好钟”是指：按它的运转节奏，物理规律的表达最简单，例如能量守恒、动量守恒等定律成立，力学与电磁学等规律形式简单。第八十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六

现行广义相对论中时空测量的基础在现行的广义相对论中，有关时间、空间和光速的测量建立在两个“约定”的基础上：（1）约定真空中的光速各向同性，而且是一个常数。——（源自庞加莱）（2）约定每个观测者都手持结构相同的“好钟”，用“好钟”的读数把各自的世界线参数化，定义各自的固有时。

——（源自欧拉）第八十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六4.爱因斯坦对同时性的定义爱因斯坦赞同庞加莱对时间度量的约定论，并在他的相对论中用“约定”的方式定义了异地事件的同时。由于物理学是一门实验的科学、测量的科学，有关时间度量的任何约定，都必须使定义在测量上有可操作性。第八十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六在相对论的开创性论文《论运动物体的电动力学》中，爱因斯坦给出了“同时性的定义”。他写道：

“除非我们用定义规定光从A走到B所需的“时间”等于它从B走到A所需的“时间”，否则公共“时间”就完全不能确定。现在令一束光线于“A时刻”tA从A射向B，于“B时刻”tB又从B被反射回A，于“A时刻”再回到A。按照定义，两钟同步的条件是

(1)第九十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六时空图空间图图1.惯性系中异地时钟的校准B钟A钟ABtBt’AtA第九十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六公式（1）可改写为 （2）爱因斯坦就把A钟的时刻 （3）定义为与B钟的tB同时的时刻。第九十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六爱因斯坦继续写道：“我们假定，同步性的这个定义是无矛盾的，能适用于任何数目的点，并且下列关系总是成立的：

1、假如B处的钟与A处的钟同步，则A处的钟与B处的钟也同步。

2、假如A处的钟与B及C处的钟同步，则B、

C两处的钟彼此也同步。第九十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六这样，借助于某些假想的物理实验，我们解决了如何理解位于不同地点的同步静止钟这个问题，并且显然得到了“同时”或“同步”的定义，以及“时间”的定义。”“…根据经验,我们进一步假定,量是个普适恒量，即在真空中的光速”第九十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六在平直时空的惯性系中，爱因斯坦用这种方法不仅定义了异地坐标时的“同时”，而且定义了异地静止标准钟的“固有时”同时。在操作过程中，他上面提到的几点假设都没有出现矛盾。第九十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六然而，如果在平直时空中采用非惯性系，或在弯曲时空中采用任意的曲线坐标系，用上述方法通常只能定义“坐标时”同时，不能定义固有时同时。而且研究发现，只有在时轴正交系中“同时”才具有传递性（即假设2成立），才能在时空中建立“同时面”，定义统一的坐标时间，使各点的坐标钟保持同步。当然，即使在这种情况下，标准钟一般也不能保持同步，时空仍没有统一的固有时间。第九十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六5.朗道提出的“同时”具有传递性的条件下面我们介绍一下朗道等人关于“同时”传递性的讨论，即对爱因斯坦所提的“假设2”在什么条件下成立的讨论。第九十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（4）（5）图2.相对论中异地时钟的校准（4）（5）（6）（7）第九十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六这就是说，当按照上述定义两异地事件“同时”发生时，两处的坐标钟所示的时刻并不相等，而是相差（8）第九十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六从弯曲时空中光信号的线元表达式

（9）可得：

（10）第一百页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六把（10）代入（8）得到：

（11）用（11）式可沿任一开放的空间路径，把路径上各点的坐标钟调整同步，“同时”被定义为相邻坐标钟的指示相差。但是，由于一般不是全微分，沿空间闭合路径的积分一般不等于零（12）第一百零一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六BABACCtBtAt’AtC空间图时空图图3异地时钟的同时，闭路积分第一百零二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六所以，一般不能沿空间闭合路径把坐标钟调整到“同时”。即不能在全时空建立统一的同时面，仅仅在时轴正交系中，（13）或严格地说，在条件（14）下，可以建立统一的同时面。可见，一般来说，同时具有传递性的条件是公式（14）式成立，或简单地说是时轴正交，即（13）式成立。第一百零三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六6.钟速同步具有传递性的条件我们曾经给出了一种比较弱的对钟条件。只要求各空间点坐标钟速率相同，但不一定要建立统一的同时面。第一百零四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六在A,B两点的第一个同时时刻，坐标钟相差（15）在第二个同时时刻，坐标钟相差（16）第一百零五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六BABACCtB1tA1tA2tC2空间图时空图图4钟速同步的讨论t’A2t’A1tB2tC1第一百零六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六二坐标钟的“速率”差

（17）所以，各空间点坐标钟速率可调整同步的充要条件是（18）

或（19）

第一百零七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六BABACCtB1tA1tA2tC2空间图时空图图5闭路积分示意图t’A2t’A1tB2tC1第一百零八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六（19）式即（20）

或（21）第一百零九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六这是一个比时轴正交（）要弱的条件。条件（20）不要求（14）所示的空间闭路积分为零，只要求此闭路积分是一个与时间无关的常数，

常数（22）第一百一十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六7.时间段的度量设L为弯曲时空中一族静止观测者的世界线组成的线汇，这意味着这样选择复盖L的坐标系：使L中的每根世界线都与此坐标系的时间坐标曲线重合。我们还进一步要求选择此坐标系时轴非正交（），但满足“钟速同步传递性”条件（20）：第一百一十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六(19)式表示

t’A1-tA1=t’A2-tA2可改写为

tA2-tA1=t’A2-t’A1即(18)式,钟速沿闭路不变，即图中红线长度（坐标时间隔）不变ABCtB1tA1tC2图8对(17)—(19)式的图示说明（情况3）t’A2tA2=t’A1tB2tC1第一百一十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六沿空间迴路对钟一圈回到A点后，与同时的A钟的同时时刻是，二者不相等，相差

（31）图10.一般时空中的“时间段”的度量第一百一十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期六用同样的方式沿同样的空间路径连续对钟n圈，我们有（32）┊