工程电磁场第二章

工程电磁场第二章2023/5/281第一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六本章重点静电场解的唯一性定理。电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念；静电场基本方程和分界面条件；电场强度、电位的各种计算方法；边值问题、简单边值问题的解析解法；2023/5/282第二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六由库仑定律引出电场的基本概念，定义电场强度E；借助于电偶极子模型，引入极化电荷概念；考虑电介质对电场的影响(具体体现为介电常数ε)，定义电位移矢量D；本章总体思路导出静电场的环路定理和高斯通量定理;定义电位；2023/5/283第三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六导出静电场的基本方程和辅助方程；根据基本方程的积分形式导出静电场中电场强度和电位移矢量的分界面条件；由静电场基本方程的微分形式，导出用电位表示的静电场边值问题，并证明静电场解的唯一性定理；2023/5/284第四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2.1库仑定律电场强度1.库仑定律N(牛顿)N(牛顿)

库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的点电荷与之间的相互作用力图2.1.1两点电荷间的作用力2023/5/285第五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六是为了以后表述的方便。电荷量的单位是库[仑]（C）比例系数是真空中的介电常数。在国际单位制中距离的单位是米（m）力的单位是牛顿（N）F/m2023/5/286第六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六适用条件两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力；无限大真空情况可推广到无限大各向同性均匀介质中2023/5/287第七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六结论：电场力符合矢量叠加原理。如果是三个带电体结论是否相同？否。思考题当真空中引入第三个点电荷

时，试问与相互间的作用力改变吗?为什么？不改变！第三个带电体的引入改变了电荷分布！2023/5/288第八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六关于库仑（Coulomb)定律的说明库仑定律（1785）诞生200多年来，经历了长期工程实践的检验，从10-15m～宏观距离均成立。它为静电场乃至于电磁场奠定了极为重要的实验基础。电子的经典半径为2.8×10-15m。正常状态下氢原子中电子到质子的距离为5.29×10-11m。实现核聚变的困难在于原子核都带正电，相互排斥，一般情况下不能相互靠近而结合。这个斥力为库仑力。2023/5/289第九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六只有在温度非常高、热运动速度非常大时，才能冲破库仑斥力壁垒，碰在一起而结合，称为热核反应。原子结构、分子结构、液（固）体结构和化学作用等问题的微观本质都和电磁力（其中主要部分为库仑力）有关。而此类问题中万有引力的作用却十分微小。2023/5/2810第十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2.电场强度2023/5/2811第十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2812第十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六试验电荷受的力与试验电荷的比值为这个特征量可以表征电荷q产生电场的强弱。2023/5/2813第十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六电场强度方向与该点正电荷受力方向相同定义表征静电场的基本场矢量—电场强度点电荷所产生静电场的电场强度

单位是伏/米2023/5/2814第十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2815第十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六两个点电荷共同产生的静电场的电场强度为推而广之n个点电荷共同产生的静电场的电场强度为2023/5/2816第十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六(注意:矢量叠加)V/m2023/5/2817第十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六以上介绍了点电荷所激发（产生）电场的电场强度计算公式，那么各种带电体所激发（产生）的电场，其场中任一点的电场强度该如何计算呢？2023/5/2818第十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六这是解决工程实际问题的普遍方法！分割（微元）＋求和取极限（对所有场源求积分）＝问题的解答这里任一个微元均可以当做一个点电荷处理！下面我们就来解决这个问题。2023/5/2819第十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六根据物质结构理论，在微观上电荷的分布是不连续的，是量子化的。即电荷量是电荷最小单位的整数倍。电荷分布的量子化与宏观分析的连续分布处理的说明1)电荷分布不连续和量子化2023/5/2820第二十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六电荷分布在宏观上可以看作连续分布处理电子的经典半径约为2.8×10-15m，1pc的电量（10-12c）仍含有600万个电子。因此，电荷分布在宏观上可以看作连续分布处理。电子的经典半径2023/5/2821第二十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

其中：e=1.602×10-19cme=9.1×10-31kgc=(2.997924574±0.000000011)×108m／s≈30万km／se/me≈1.76×1011C/kgb）金原子核可以看作均匀带电球，半径约为6.9×10-15m，电荷量（Ze）=79×1.602×10-19c2023/5/2822第二十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六对于所研究的问题，场源电荷所占的体积可以忽略时，当作点电荷处理。点电荷、线电荷、面电荷和体电荷的电荷元

（元电荷dq—当作点电荷处理，小微元当作空间的一个点处理）的表示法。当电荷分布于一个较细的物体上，对于所研究的问题，物体的横截面积可以忽略时，当作线电荷处理。

2023/5/2823第二十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六当电荷分布于一个薄面中，对于所研究的问题，这个面的厚度可以忽略时，当作面电荷处理。对于所研究的问题，当电荷分布于体积中，当作体电荷处理。2023/5/2824第二十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

△q△llq线电荷：对于分布于细棒或细导线上的电荷，当横截面积对研究的问题可以忽略不计时,就可以当作线电荷处理，电荷的线密度定义为点电荷q2023/5/2825第二十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六小线段上的电荷看成点电荷，称为电荷元(或元电荷），记为当电荷均匀分布时，有2023/5/2826第二十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

面电荷：对分布在薄面上的电荷，当面的厚度对所研究问题可以忽略不计时，就可以当作面电荷处理，面电荷密度定义为dSq△S△q2023/5/2827第二十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

小面元上的电荷看成点电荷，称为电荷元（或元电荷），记为当电荷均匀分布时，有2023/5/2828第二十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

体电荷：对体电荷(电荷分布一般形式)，电荷密度定义为小体积元上的电荷看成点电荷，称为电荷元（或元电荷），记为当电荷均匀分布时，有V

q△V△q2023/5/2829第二十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2830第三十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2831第三十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2832第三十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2833第三十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六q点电荷线电荷电荷元面电荷电荷元体电荷电荷元2023/5/2834第三十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六电荷元电场强度计算公式与点电荷的相同这是一个无穷小矢量。整个场源区所有电荷产生的电场强度2023/5/2835第三十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2836第三十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2837第三十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2838第三十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2839第三十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2840第四十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2841第四十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2842第四十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2843第四十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2844第四十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2845第四十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2846第四十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2847第四十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六（2．1结束）2023/5/2848第四十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2849第四十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六静电参数(电容及部分电容)静电能量与力“有限”法镜像法,电轴法分离变量法直接积分法数值法解析法边值问题分解面条件和边界条件电位基本方程D的散度基本物理量E、D基本实验定律（库仑定律）静电场知识结构E的旋度2023/5/2850第五十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六基本实验定律（库仑定律）基本物理量

E、DE

的旋度E的散度基本方程边值问题唯一性定理分界面(衔接)条件电位（）边界条件有限元法和有限差分法解析法直接积分法分离变量法镜像法、电轴法静电参数(电容及部分电容)静电能量与力图2.0静电场知识结构图数值法泊、拉方程返回2023/5/2851第五十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六N(牛顿)由库伦定律可知但这两个电荷并没有直接接触这是电荷对电荷的作用力。2023/5/2852第五十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2023/5/2853第五十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六C)连续分布电荷产生的电场强度体电荷分布面电荷分布线电荷分布图2.1.3体电荷的电场2023/5/2854第五十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

例2-1-1如图2-1-4，真空中长度为2l的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ，求线段外任一点P的电场强度。图2-1-4长直线电荷的电场强度解

场的分布具有轴对称性，采用圆柱坐标系方便。

，源点坐标为坐标原点设在线段中心，Z轴与线段重合，场点P的坐标为取电荷元

有

引入参变量θ

写出dE的各分量求P点的场强，场点坐标是不变量，源点坐标中是变量。

把R，cosθ,sinθ用θ表出，有方向相同！否则无法求出积分！2023/5/2855第五十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六积分得对无限长带电直线，

从图2-1-4可知

2023/5/2856第五十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例2-1-2如图2-1-5，求真空中半径为a，均匀带电，电荷线密度为τ的圆形线电荷在轴线上任一点的电场强度。图2-1-5

圆线电荷的电场强度

坐标原点设在圆形线电荷的圆心，Z轴与线电荷圆心轴线重合

解

场的分布具有轴对称性，采用圆柱坐标系方便。

坐标原点设在线段中心，Z轴与线段重合，场点P的坐标为，源点坐标为取一个电荷元

，源点坐标为再取一个电荷元

两个对称电荷元在p点产生的电场强度，沿方向两个分量符号相反，相互抵消；沿方向的电场强度为零；沿方向的电场强度为2倍。则有计算P点电场强度时，只有是变量2023/5/2857第五十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六由图2-1-5得代入上式得该题如果场点不在轴线上，是否可以求出解析解？不能。因为积分过程中将会出现椭圆积分！（第一类椭圆积分、第二类椭圆积分）这在积分中是不变量！书上之所以先代入是防止其为变量时忘了处理！积分得

2023/5/2858第五十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。

电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分,然后再合成,即

点电荷的数学模型

积分是对源点进行的,计算结果是场点的函数。

点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。当时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数表示点电荷的密度分布。图2.1.5.x单位点电荷的密度分布点电荷的电荷密度2023/5/2859第五十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六点电荷矢量恒等式直接微分得故电场强度E

的旋度等于零2.2电位与静电场的环路定理

1.静电场旋度2.2.1

静电场环路定律2023/5/2860第六十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六可以证明，上述结论适用于点电荷群和分布电荷产生的电场。表明静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即2.静电场的环路定律在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。由斯托克斯定理，得二者等价。2023/5/2861第六十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六3.电位函数

在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)

已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷1)电位的引出以点电荷为例推导电位：根据矢量恒等式2023/5/2862第六十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六3)

E与的微分关系

在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少最快的方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：？()？()4)

E与的积分关系设P0为参考点

根据

E与的微分关系，试问静电场中的某一点图2.2.1.xE与的积分关系2023/5/2863第六十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六5)

电位参考点的选择原则

场中任意两点的电位差与参考点无关。

同一个物理问题，只能选取一个参考点。

选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：表达式无意义

电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；

电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。2023/5/2864第六十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六6)

电力线与等位线（面）

E线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若是电力线的长度元，E

矢量将与方向一致，故电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线E的方程。当取不同的

C值时，可得到不同的等位线（面）。

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:例2.2.1

画出电偶极子的等位线和电力线。2023/5/2865第六十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六在球坐标系中：电力线微分方程（球坐标系）：代入上式，得解得Ｅ线方程为将和代入上式，等位线方程（球坐标系）：用二项式展开，又有，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。图1.2.2电偶极子r1r2构造一个矢量称为电偶极子的电偶极矩2023/5/2866第六十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六电偶极子的电偶极矩为：电偶极子的电场强度为2023/5/2867第六十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六图1.2.3电偶极子的等位线和电力线图2-4-2电偶极子的电场图2023/5/2868第六十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六电力线(与等位线（面）)的性质：

E线不能相交;

E线起始于正电荷，终止于负电荷;

E线愈密处，场强愈大;

E线与等位线（面）正交；图1.2.4.x点电荷与接地导体的电场图1.2.5.x点电荷与不接地导体的电场2023/5/2869第六十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六点电荷的电场图2023/5/2870第七十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六图1.2.6.x均匀场中放进了介质球的电场图1.2.7.x均匀场中放进了导体球的电场图1.2.8.x点电荷位于一块介质上方的电场图1.2.9.x点电荷位于一块导平面上方的电场2023/5/2871第七十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六