2021年高中数学第二章推理与证明-学案新人教A版选修1-2-

第二章推理与证明人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开．于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但这个问题迟迟未得到解决．直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题．四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主预习·探新知情景引入人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行，绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科学家们猜测火星上也可能有生命存在．新知导学1．归纳推理由某类事物的__部分对象__具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由__个别事实__概括出__一般结论__的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理．2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__归纳推理__．3．类比推理由两类对象具有__某些类似特征__和其中一类对象的__某些已知特征__，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特殊到特殊__的推理．4．合情推理归纳推理和类比推理都是根据__已有的事实__，经过__观察、分析、比较、联想__，再进行__归纳__、__类比__，然后提出__猜想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．5．归纳推理是由部分到__整体__，由具体到__抽象__，由特殊到__一般__，从个别事实中概括出__一般结论__的思维模式．类比推理是在__两类不同__的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相同或相似__之处的一种推理模式．类比推理是由__特殊__到__特殊__的推理．预习自测1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了(B)A．归纳推理 B．类比推理C．没有推理 D．以上说法都不对[解析]推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．2．下列表述正确的是(A)①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④ B．①③C．②③ D．②④[解析]根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；类比推理是由特殊到特殊的推理．故④对③错，则正确的是①④，故选A．3．观察式子：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…，则可归纳出式子(C)A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n－1)(n≥2)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n＋1)(n≥2)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n－1,n)(n≥2)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n,2n＋1)(n≥2)[解析]由题意可知，当n≥2时，第n个式子左边是1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)，右边为eq\f(2n－1,n)，故选C．4．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，…，根据图案中点的排列规律，组成第(50)个图案的点的个数是(B)A．2450 B．2451C．2452 D．2453[解析]设组成第(n)个图案的点的个数为an，由题意可得a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13，a5＝21，故a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，a5－a4＝8，…，由此可推得当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)，以上(n－1)个式子相加可得：(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)，化简可得an－a1＝eq\f(n－12＋2n－2,2)＝n(n－1)，即an＝n(n－1)＋1．故a50＝50×49＋1＝2451，即第(50)个图案由2451个点组成．故选B．5．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、…、f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．[解析]首先分析题目的条件，并对n＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的结果进行归纳推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题．f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由此猜想，n为任意正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数．当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶数与式的归纳典例1观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3,4)，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4)，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4)．分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．[思路分析]观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．[解析]猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)．证明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos2α＋60°,2)＋eq\f(sin2α＋30°－sin30°,2)＝1＋eq\f(cos2α＋60°－cos2α,2)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)．所以sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)成立．『规律方法』1.归纳推理的一般步骤(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．(3)猜测一般性结论．2．归纳推理的基本逻辑形式是：S1是(或不是或具有性质)P，S2是(或不是或具有性质)P，S3是(或不是或具有性质)P，…Sn是(或不是或具有性质)P．∵S1、S2、S3、…、Sn是S类的对象，∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P．3．由已知数、式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．┃┃跟踪练习1__■观察下列不等式：eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))，eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)))，eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)＋\f(1,7)))≥eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)＋\f(1,8)))，试写出第n个不等式．[思路分析]观察各式不难发现，左侧括号内是连续奇数的倒数之和，右侧括号内是连续偶数的倒数之和，而另一个数与项数有关，从而得出一般性结论．[解析]第1个不等式为eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，即eq\f(1,1＋1)×1≥1×eq\f(1,2×1)；第2个不等式为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))，即eq\f(1,2＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2×2－1)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×1)＋\f(1,2×2)))；第3个不等式为eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)))，即eq\f(1,3＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2×2－1)＋\f(1,2×3－1)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×1)＋\f(1,2×2)＋\f(1,2×3)))；…猜测第n个不等式为eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)))≥eq\f(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)＋…＋\f(1,2n)))(n∈N＋)．命题方向❷图形中的归纳推理典例2下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖__4n＋8__块(用含n的代数式表示)．[思路分析]分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论．[解析]第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8．『规律方法』通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：┃┃跟踪练习2__■有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(B)A．26 B．31C．32 D．36[解析]有菱形纹的正六边形个数如下表：图案第一个第二个第三个…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B．命题方向❸数列中的归纳推理典例3下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：(1)1,5,9,13,17，(21)；(2)eq\f(3,4)，1,1eq\f(1,3)，1eq\f(7,9)，2eq\f(10,27)，(3eq\f(13,81))；(3)eq\r(2＋\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))，eq\r(5＋\f(5,24))，(eq\r(6＋\f(6,35)))．[思路分析]要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．[解析](1)考察相邻两数的差：5－1＝4,9－5＝4，13－9＝4,17－13＝4，可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21．(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改写为eq\f(3,4)，1，eq\f(4,3)，eq\f(16,9)，eq\f(64,27)．可以发现：1÷eq\f(3,4)＝eq\f(4,3)，eq\f(4,3)÷1＝eq\f(4,3)，eq\f(16,9)÷eq\f(4,3)＝eq\f(4,3)，eq\f(64,27)÷eq\f(16,9)＝eq\f(4,3)．后一个数是前一个数的eq\f(4,3)倍，按照这个规律，括号中的数应是eq\f(64,27)×eq\f(4,3)＝eq\f(256,81)＝3eq\f(13,81)．(3)每个数都是算术根，根号下有两项，一项是整数n＋1，另一项是分数，分子与整数项相同，分母是分子的平方减1，按此规律，下一个数应为eq\r(6＋\f(6,35))．『规律方法』由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．┃┃跟踪练习3__■若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an．[解析](1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1．(2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*)．将命题的条件、结论类比推广命题方向❹典例4已知△ABC的边长分别为a、b、c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA－BCD＝__eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)__．[思路分析]解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积．[解析]内切圆半径req\o(→,\s\up7(类比))内切球半径R，三角形的周长：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥各面的面积和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面积公式系数eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥体积公式系数eq\f(1,3)．∴类比得三棱锥体积VA－BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．『规律方法』类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．(3)检验这个猜想一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．┃┃跟踪练习4__■在△ABC中，若AB⊥AC且AD⊥BC于D，则有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[解析]猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)．如图所示，连接BE并延长交CD于F．∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF平面ACD，∴AB⊥AF．在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2)．在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)．∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正确．易混易错警示典例5若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n)(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝！！！eq\r(n,c1·c2·c3·…·cn)__(n∈N*)也是等比数列．[错解]eq\f(c1＋c2＋c3＋…＋cn,n)，类比结论时未考虑等差数列与等比数列的运算性质的区别．[辨析]等差数列的运算相似特性是和的形式，等比数列的运算相似特性是积的形式．[正解]由等差、等比数列之间的运算的相似特征知“和eq\o(→,\s\up7(类比))积，商eq\o(→,\s\up7(类比))开方”，容易得出dn＝eq\r(n,c1·c2·c3·…·cn)也是等比数列．学科核心素养新定义、新运算中的类比问题1．围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题，努力开发一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的原创题型，已成为一种趋势．其目的是使数学的文化性、应用性与理论性能有机结合与相互渗透，真正考查考生的学习潜能和个性品质．在这个背景下近几年出现了形式新颖的试题，其中以新定义型、新运算型为代表，主要考查学生的类比迁移能力．2.解答此类问题时，首先要借助于特例来读懂、理解新定义、新运算，然后根据新定义、新运算做出类比推理．3．类比推理的一般形式：对象A：具有属性a1，a2，…，an，m．对象B：具有属性a′1，a′2，…，a′n，m′．(a1与a′1，a2与a′2，…，an与a′n相同或相似)对象B具有属性m′(m′与m相同或相似)．典例6若记“*”表示两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b＝eq\f(a＋b,2)，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，那么对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是__(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)或(a*b)＋c＝(b*a)＋c等__．[解析]解决这道试题要把握住a*b＝eq\f(a＋b,2)，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．『规律方法』由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一．2.1.2演绎推理自主预习·探新知情景引入从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米，用卖米的钱买来尽可能多的小鸡，这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我就有钱买一块地了，有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成，我就可以买更多的地，再经营几年，我就能够盖上一栋漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的女人做妻子！”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道．新知导学1．演绎推理从__一般性的原理__出发，推出__某个特殊__情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由__一般到特殊__的推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的__一般原理__；(2)小前提——所研究的__特殊情况__；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的__判断__．其一般推理形式为大前提：M是P．小前提：S是M．结论：__S是P__．利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么__S中所有元素也都具有性质P__．3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么__结论__必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论__不一定__正确．预习自测1．下列说法正确的是(D)A．演绎推理推出的结论一定正确B．演绎推理是由特殊到一般的推理C．演绎推理就是合情推理D．演绎推理是由一般到特殊的推理[解析]A错，只有前提和推理形式都正确，其结论才一定正确，否则，就不正确；合情推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理或由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，所以B、C均错，D正确．2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理(C)A．小前提错 B．结论错C．正确 D．大前提错[解析]9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．3．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b．证明：eq\x(\a\al(∵∠A＝30°，∠B＝60°，,∴∠A<∠B.))∴a＜b．画框线部分是用演绎推理证明a＜b中的(B)A．前提 B．小前提C．结论 D．三段论[解析]求证：“a＜b”写成三段论是：大前提：因为在三角形中，大角对大边，小前提：∠A＝30°，∠B＝60°，则∠A＜∠B，结论：所以a＜b．故证明画线部分是演绎推理的小前提，故选B．4．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系是__m＜n__．[解析]∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴函数f(x)＝ax是减函数，又∵f(m)>f(n)，∴m＜n．5．判断下列推理是否正确？为什么？“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)．”[解析]不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶把演绎推理写成三段论形式典例1将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.33eq\o(2,\s\up6(·))是有理数；(4)y＝sinx(x∈R)是周期函数．[思路分析]首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．[解析](1)向量是既有大小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提0.33eq\o(2,\s\up6(·))是循环小数，小前提0.33eq\o(2,\s\up6(·))是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提y＝sinx是三角函数，小前提y＝sinx是周期函数．结论『规律方法』1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．2．判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．┃┃跟踪练习1__■将下列推理写成三段论推理的形式：(1)所有的奇数都不能被4整除，所以15不能被4整除；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)菱形对角线互相平分；(4)函数f(x)＝x3＋sinx是奇函数．[解析](1)所有的奇数都不能被4整除．(大前提)15是奇数．(小前提)15不能被4整除．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平行．(结论)(4)若对函数f(x)定义域中的任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．(大前提)对于函数f(x)＝x3＋sinx，当x∈R时，有f(－x)＝－f(x)．(小前提)所以函数f(x)＝x3＋sinx是奇函数．(结论)命题方向❷三段论在证明几何问题中的应用典例2已知在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，AD∥BC．求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)[解析]∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论『规律方法』应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．┃┃跟踪练习2__■用三段论分析下题的证明过程．如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF．证明过程如下：∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，又∵DE∥BA，∴四边形AFDE是平行四边形，∴ED＝AF．[解析]上述推理过程应用了三次三段论．第一次省略大前提和小前提的部分内容；第二次省略大前提并承前省了其中一组对边平行的条件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演绎推理过程如下：因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论命题方向❸演绎推理在代数问题中的应用典例3证明：f(x)＝eq\f(1,x2)在(0，＋∞)上为减函数．[思路分析]解答本题所依据的大前提是“在区间(a，b)内，若f′(x)＜0，则y＝f(x)在(a，b)内是减函数．”小前提是“f(x)＝eq\f(1,x2)在(0，＋∞)上满足f′(x)＜0”．写解题过程的关键环节就是验证f′(x)＜0在(0，＋∞)上成立．[解析]∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝－eq\f(2,x3)，又x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＜0．∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．『规律方法』在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．┃┃跟踪练习3__■已知函数f(x)＝eq\f(a,x)＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．[解析]设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x1)＋bx1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x2)＋bx2))＝(x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x1x2)－b))，当0＜x1＜x2≤eq\r(\f(a,b))时，则x2－x1>0,0＜x1x2＜eq\f(a,b)，eq\f(a,x1x2)>b，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(a,b))))上是减函数．当x2>x1≥eq\r(\f(a,b))时，则x2－x1>0，x1x2>eq\f(a,b)，eq\f(a,x1x2)＜b，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,b))，＋∞))上是增函数．易混易错警示三段论推理中大(小)前提错误致误典例4如图，已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC．[错因分析]在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误．[正解]证明：如图，过点A作直线AE⊥SB于点E，因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，所以AE⊥平面SBC.又BC⊂平面SBC，所以BC⊥AE.因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.又AE∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB.所以BC⊥AB，即AB⊥BC．[点评]演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论．学科核心素养演绎推理的综合应用演绎推理是推理证明的主要形式，在高考题目中，证明题及逻辑推理题占有重要地位，并且分布面广，可能出现在函数、立体几何、解析几何、不等式、三角函数、数列等不同的知识点中，因此我们要深刻理解并掌握演绎推理的特征．典例5已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)＜0，f(1)＝－2．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析](1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设任意的x1，x2∈R且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为x>0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为R上的减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6．『规律方法』函数为抽象函数，可借助图象或具体函数辅助理解：(1)奇偶性的判定可利用定义；(2)求函数的最值可利用单调性．2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法自主预习·探新知情景引入C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C先生很感激．车上的人开始小声议论C先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生想这下可以证明我的清白了．下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证明了他的清白．新知导学1．综合法(1)定义：利用__已知条件__和某些数学__定义__、__定理__、__公理__等，经过一系列的__推理论证__，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)特点：从“已知”看“__可知__”，逐步推向“__未知__”，其逐步推理，是由__因__导__果__，实际上是寻找“已知”的__必要__条件．用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“__切入点__”和有效的__推理途径__是有效利用综合法证明数学问题的关键．2．分析法(1)定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的__充分__条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法(2)特点：分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“__需知__”，执果索因，逐步靠拢“__已知__”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的__充分__条件．分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．预习自测1．要证明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，可选择的方法有下面几种，其中最合理的是(B)A．综合法 B．分析法C．特殊值法 D．以上均不合理[解析]利用分析法易确定命题成立的充分条件．2．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的(A)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件．故选A．3．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值为__9__．[解析]∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时等号成立．4．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．[解析]因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>3(a2－b2)＝3(a－b)(a＋b)>0，所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶综合法的应用典例1已知a、b是正数，且a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4．[思路分析]注意到条件a＋b＝1，可在待证式中进行1的代换或利用字母之间的倒数关系，将待证式左边乘以1，即乘以(a＋b)变形后用基本不等式证明．也可以先将a＋b＝1利用基本不等式转化为eq\r(ab)的不等式，再看待证式能否向eq\r(ab)(或ab)转化．[解析]解法一：∵a、b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴ab≤eq\f(1,4)，eq\f(1,ab)≥4．∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4．解法二：∵a、b是正数，∴a＋b≥2eq\r(ab)＞0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))＞0，∴(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥4．又a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4．解法三：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．『规律方法』1.综合法证明数学命题的步骤第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，(eq\f(a＋b,2))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)．③若a、b∈(0，＋∞)，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2．┃┃跟踪练习1__■已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(a＋eq\f(1,a))(b＋eq\f(1,b))≥eq\f(25,4)．[解析]∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\f(1,4)．∴(a＋eq\f(1,a))(b＋eq\f(1,b))－eq\f(25,4)＝eq\f(a2＋1,a)·eq\f(b2＋1,b)－eq\f(25,4)＝eq\f(4a2b2－33ab＋8,4ab)＝eq\f(1－4ab8－ab,4ab)≥0．∴(a＋eq\f(1,a))(b＋eq\f(1,b))≥eq\f(25,4)．命题方向❷分析法的应用典例2设a、b为实数，求证：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[解析]当a＋b≤0时，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需证(eq\r(a2＋b2))2≥[eq\f(\r(2),2)(a＋b)]2．即证a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab．∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．『规律方法』分析法证明不等式的依据、方法与技巧．(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法．(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．┃┃跟踪练习2__■已知a>5，求证：eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a)．[解析]要证eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需证eq\r(a－5)＋eq\r(a)＜eq\r(a－2)＋eq\r(a－3)，只需证(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2＜(eq\r(a－2)＋eq\r(a－3))2，即2a＋2eq\r(a2－5a)－5＜2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，即只需证eq\r(a2－5a)＜eq\r(a2－5a＋6)，只需证a2－5a＜a2－5a＋6，即证：0＜6，此不等式恒成立，所以原不等式成立．易混易错警示准确把握条件典例3设a＋b＞0，n为偶数，求证：eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．[错解]eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)－eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)．∵n为偶数，∴(ab)n＞0．又∵an－bn和an－1－bn－1同号，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)－eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＞0，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．[辨析]这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．[正解]eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)－eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)．①当a＞0，b＞0，a＋b＞0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n＞0，∴eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)≥0，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．②当a、b有一个为负值时，不妨设a＞0，b＜0，且a＋b＞0，∴a＞|b|．∴(ab)n＞0，an＞0，bn＞0，an－1＞0，bn－1＜0，故an－bn＞0，an－1－bn－1＞0，∴eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)≥0，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．∴由①②知结论成立．学科核心素养利用分析法、综合法证明问题综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．典例4已知三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且三个内角A，B，C构成等差数列，求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)．[思路分析]本题条件较为简单，但结论中的等式较为复杂，故可首先用分析法，将欲证等式进行转化，转化为一个较为简单的式子，然后再从已知条件入手，结合余弦定理，推导出这个式子即可得证．[解析]要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化简得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证明c2＋a2＝b2＋ac．因为三个内角A，B，C构成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，即B＝60°，由余弦定理可得cos60°＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以c2＋a2－b2＝ac，即c2＋a2＝b2＋ac成立，因此原等式成立．『规律方法』1.有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程．2.2.2反证法自主预习·探新知情景引入从前，某国王一贯自我标榜不仅是至高无上的权威，而且更是一个“大慈大悲”的救世主，他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死．有一次，一个囚犯行将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”．不料有人把此消息透漏给犯人，可犯人闻后却高兴地说“啊！我可死里逃生了”．国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了．”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法——反证法．新知导学1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__矛盾__，因此说明假设__错误__，从而证明了原命题__成立__，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__已知条件__矛盾，或与__假设__矛盾，或与__定义、公理、定理__、事实矛盾等．4．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)__结论__以“至多”“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，__结论__的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．预习自测1．用反证法证明“如果a3>b3，则a>b”，假设的内容是(C)A．a＜b B．a＝bC．a≤b D．a≥b[解析]用反证法证明“如果a3>b3，则a>b”时，提出的假设为a≤b．2．设a、b、c都是正数，则三个数a＋eq\f(1,b)、b＋eq\f(1,c)、c＋eq\f(1,a)(C)A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2[解析]假设都小于2，则(a＋eq\f(1,b))＋(b＋eq\f(1,c))＋(c＋eq\f(1,a))＜6，而a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＋c＋eq\f(1,c)≥2＋2＋2＝6.矛盾．3．实数a、b、c不全为0等价于(D)A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至多有一个为0C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一个不为0[解析]“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．4．用反证法证明命题：“若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是__假设a≠1或b≠1__．[解析]结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．5．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°．[解析]假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°．相加得∠A＋∠B＋∠C＜180°．这与三角形内角和定理矛盾．所以假设不成立，故原命题正确．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶用反证法证明否(肯)定性命题典例1设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．[解析]假设{cn}是等比数列，则当n≥2时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)．所以aeq\o\al(2,n)＋2anbn＋beq\o\al(2,n)＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1．设{an}、{bn}的公比分别为p、q(p≠q)．因为aeq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1，所以2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝eq\f(an,p)·bn·q＋eq\f(bn,q)·an·p，所以2＝eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)，所以当p≠q时，eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)>2或eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)≤－2与eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)＝2矛盾，所以{cn}不是等比数列．『规律方法』1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．┃┃跟踪练习1__■已知a是整数，且a2＋2a是奇数，求证：a不是偶数．[解析]假设a是偶数，不妨设a＝2k(k∈Z)，于是a2＋2a＝(2k)2＋2·2k＝4k2＋4k＝4(k2＋k)，由于k∈Z，所以k2＋k∈Z．因此4(k2＋k)是偶数，即a2＋2a是偶数．这与已知a2＋2a是奇数相矛盾，故假设不成立，即a不是偶数．命题方向❷用反证法证明“至多”“至少”类命题典例2已知x，y>0，且x＋y>2．求证：eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一个小于2．[思路分析]明确“至少”的含义→对结论作出假设→得出矛盾．[解析]假设eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)都不小于2，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2，∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y>2矛盾．∴eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一个小于2．『规律方法』1.当命题中出现“至少”“至多”“不都”“都不”“没有”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q┃┃跟踪练习2__■设a、b、c都是小于1的正数，求证：(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a三个数不可能同时大于eq\f(1,4)．[解析]假设三个数都大于eq\f(1,4)，即(1－a)b＞eq\f(1,4)，(