多元函数的极值

多元函数的极值第一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴,它是一种简单的优化问题.多元函数的极值

无约束极值

有约束极值

变量替代法拉格朗日乘数法多元函数的极值第二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五无约束极值的形式目标函数：表现形式：一.无约束极值第三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

极大值和极小值的定义设在内有定义.若总有则称为函数的极大值(极小值).称为函数的极大点(极小点).

函数的极大值和极小值统称为函数的极值.第四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例1函数在点处取极大值.函数在点处取极小值.例2

现在对已有的结果进行分析,

看能否得到一点什么.函数在点处不取极小值.例3第五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五xyzxyzoxyzo第六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五若是函数的极值点,则是一元函数的极值点;是一元函数的极值点,能存在,也可能不存在,故可得到结论:但函数在极值点处偏导数可如果偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零.使偏导数不存在的点,也可能是函数的极值点.

先以二元函数为例,叙述结果,然后将它推广到一般的n元函数.第七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五定理(二元可导函数取极值的必要条件)证:化为一元函数的结论若在点具有偏导数,且在处取极值,则必有定理(n元可导函数取极值的必要条件)若在点具有偏导数,且在处取极值,则必有第八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五处的切平面方程为由可微函数取极值的必要条件：

此时,切平面平行于xy平面.设函数在点处可微且取极值,则相应的曲面在点

下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为第九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点,称为函数的极值可疑点.

函数在其极值可疑点处,可能取极值,也可能不取极值.使函数零的点称为函数的驻点.的一阶偏导数全为

这就产生了一个问题:如何判断函数在极值可疑点处是否取极值.第十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果.则故由微分形式的泰勒公式,得第十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果.则故由微分形式的泰勒公式,得

注意条件

正(负)取决于二次型的正(负)定

余项设第十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五记则H称为函数f的Hessian矩阵当且时,二次型正定,即从而,为函数的极小值.

二次型与它的矩阵具有相同的有定性

矩阵H正定第十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五当且时,二次型负定,从而,即为函数的极大值.当时,二次型是不定的,此时,不是函数的极值.当时,二次型Q

是半定的,运为函数的极值.

若要判定则需要运用更高阶的泰勒公式.用二阶泰勒公式已不能判定

是否第十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五定理(可微的二元函数极值判别法)记设

A.与C对称第十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

该判别法可直接推广到元函数的情形.第十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例3求的极值.解联立方程组,求驻点:解之得驻点又第十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五点是极小点,极小值为点是极大点,极大值为点不是极值点.故第十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

函数的最大值和最小值上的最大值和最小值.第十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

求函数最大值和最小值的基本原则工程中遇到的函数大部分是连续的,或者能保证在所讨论的区域内,取到它的最大值或最小值.如果知道可微函数的最大值或最小值一定在区域内达到,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点.如果为有界闭区域,则函必在上取到它的最大值和最小值.数第二十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例4距离之平方和为最大及最小的点.解·所求距离之平方和为第二十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域：目标函数：最值问题：所讨论的问题归结为下面的优化问题:第二十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域:目标函数:最值问题:求函数在有界闭区域上的最大、最小值的一般步骤为：※※先求函数在开区域上的极值可疑点;再求函数在边界上的极值可疑点;※将所求出的所有受检点(包括边界的角点)的值,进行比较即可得出函数的最大、最小值.第二十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域:目标函数:最值问题:※由方程组得到驻点且第二十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域:目标函数:最值问题:※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：第二十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域:目标函数:最值问题:※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：第二十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域:目标函数:最值问题:※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：第二十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域:目标函数:最值问题:综上所述※边界上端点值：第二十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域:目标函数:最值问题:所求最值点为：……

以下的工作,由学生自己完成.第二十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例5求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.球面解选择坐标系,使球心位于坐标原点,则球面方程为设所求长方体在第一卦限中的顶点为则长方体的三个棱边长是长方体体积为第三十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域：目标函数：最值问题：原问题归结为下面的优化问题:第三十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五区域：目标函数：最值问题：由解之得第三十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五由解之得应用题,又仅有唯一的个驻点,故该驻点即为极值点,从而所求球内接长方体的边长为区域：目标函数：最值问题：第三十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五这就是对目标函数的约束应满足方程

对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题.例如,上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题,就是一个有约束的极值问题:长方体顶点必须位于球面上,其坐标x2+y2+z2=a2.三.有约束极值（条件极值）第三十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

有约束极值(条件极值)的定义若有(或则称为函数在约束条件下的极大值(或极小值).

这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值.

这里的约束称为等式约束.第三十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

有约束极值

带等式约束的极值

带其它约束的极值

无约束极值转化第三十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

有约束极值的形式目标函数：表现形式：第三十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

有约束极值

无约束极值

拉格朗日乘数法

变量替代法

我们再举一例说明变量替代法第三十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例6现需用钢板制造容积为2m3的有盖的长方体水箱,问当长、宽、高各为多少时用料最省？解设长方体的长、宽、高分别为则问题归结为下列有约束极值问题：由约束条件得代入目标函数中,使问题转化为下列无约束极值问题：第三十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五令唯一的驻点故当水箱的长、宽、高均为时,用料最省.就是已经讲过的方法.第四十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

拉格朗日乘数法问题：求函数在下的极值.条件

运用变量替代法求解有约束极值问题时,往往会遇到困难——有时不能从条件中解出变量间的显函数表示式.

自然我们会想到运用隐函数及其有关的定理和方法.第四十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五能由这里求得z=z(x,y)再作变量替代吗？一般不能,但对满足隐函数存在定理条件的可微函数可行.问题：求函数在下的极值.条件

拉格朗日乘数法第四十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五分析与推导若函数在点处取得极值,求在条件下的极值.则首先应有0.),,(000=zyxj若

可确定隐函数于是原问题转化为无约束极值问题：求函数的极值.则函数在处取极值.(假设以下的各种运算均成立)第四十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五对函数的无约束极值,有由隐函数求导公式,得第四十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五对函数的无约束极值,有由隐函数求导公式,得代入第四十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五对函数的无约束极值,有由隐函数求导公式,得代入想想这一段要求函数满足什么条件？第四十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五在条件函数下,于点处取得极值的必要条件是综上所述:还有一个第四十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五令则上述的必要条件可写为第四十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五令则上述的必要条件可写为

方程组的左端是一个函数对x,y,z,的偏导数.第四十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五拉格朗日函数问题：求函数在条件下的极值.若则称为该极值问题的拉格朗日函数,称为拉格朗日乘数.

转化为拉格朗日函数的无条件极值问题第五十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

拉格朗日乘数法求解构造拉格朗日函数第五十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五由取极值的必要条件解方程组

驻点

进行判别这部分确定隐函数关系这部分确定变量xi与i

间的关系第五十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五注2：拉格朗日方法求出的点是极值函数的驻点以及极值函数的等值线与约束函数相切的切点。注1：用拉格朗日方法求出的点是函数的可疑极值点。第五十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例4距离之平方和为最大及最小的点.解·所求距离之平方和为第五十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五·第五十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五所求最值点为：第五十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例7求函数在条件下的极小值,并证明此时不等式成立：其中,x、y、z、a>0为实数.第五十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五解作拉格朗日函数令由这一部分找出与间的关系。代入此方程，求出拉格朗日函数的驻点第五十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五由前