【中考数学精创资料】中考数学高频考点突破-圆的综合

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——圆的综合1．如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且，垂足为点E．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的长．2．如图，已知⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．(1)用尺规作图作出劣弧的中点E（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．3．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连接DE交对角线AC于点F，的外接圆O交边AB于点G，连接GD、GE．(1)求的度数；(2)若，求．4．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长．5．如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交于点F，连结．(1)求证：；(2)若，求的长；6．如图，AB是⊙O的直径，B是的中点，弦AC、DB的延长线交于点E，弦AD、CB的延长线交于点F．(1)求证：；(2)若，求⊙O的直径．7．如图，点、在以为直径的上，平分．(1)求证：；(2)若，，求的长．8．如图，已知中，弦，点是弦上一点，，．(1)求的长；(2)过点作弦与弦垂直，求证：．9．在中，，以为直径的交于点D，点E是边的中点，连结．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．10．如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是的中点，弦CE⊥AB，BD交CE，CA于点F，G，OC与BD交于点H．(1)求证：CF＝BF＝GF；(2)若CD＝6，AC＝8，求BD的长．11．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求直径AB的长．12．如图，内接于，是的直径，过外一点作，交线段于点，交于点，交于点，连接，，．(1)求证：与相切；(2)若，平分，，求的长．13．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．14．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，(1)求∠ADB的度数；(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．15．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．16．如图，已知△ABC，以AC为直径的交AB于点D，点E为的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC．(1)判断直线BC与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为2，，求CE的长．17．如图，点是正方形边上一点（点不与、重合），连接交对角线于点的外接圆交边于点，连接、．(1)求的度数．(2)若，求．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AB=5，(1)尺规作图：作劣弧BC的中点D．（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接AD，BD，若AC=3，求弦AD的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)是的切线，理由见解析；(2)．【分析】（1）连接，可根据角平分线的定义和等腰三角形综合得到，再根据平行线的性质可得，即可证出是的切线；（2）根据勾股定理可求得，可得，，三角形为等腰三角形，，最后在三角形中根据“所对的直角边等于斜边的一半”即可求得答案．【解析】（1）证明：连接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）解：设，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，，∴，，∴，∴，∴．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是学会添加辅助线，灵活运用所学知识．2．(1)见解析(2)【分析】（1）利用基本作图作平分，根据圆周角定理可证明作法成立；（2）连接交于F，连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，则，然后在中利用勾股定理计算出，在中利用勾股定理可计算出．【解析】（1）解：如图，AE为所作；∵平分，∴，∴．（2）解：连接交于F，连接，如图，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，．【点评】本题考查了基本作图-作角的平分线，圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理等知识．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质推理．3．(1)∠EDG=45°(2)tan∠DEG=【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAC=45°，由圆周角定理可得出答案；（2）延长BA至点P，使AP=CE，连接DP，证明△DCE≌△DAP（SAS），由全等三角形的性质得出DE=DP，∠CDE=∠ADP，∠P=∠DEC，证明△EDG≌△PDG（SAS），由全等三角形的性质得出∠DEG=∠P，则可得出答案．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，∴∠EDG=∠FAG=45°；（2）解：如图，延长BA至点P，使AP=CE，连接DP，∵，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠BAD=∠DCE=90°，∴∠PAD=∠DCE，又∵AP=CE，∴△DCE≌△DAP（SAS），∴DE=DP，∠CDE=∠ADP，∠P=∠DEC，∴∠PDE=∠ADC=90°，∴∠PDG=∠EDG=45°，又∵DG=DG，∴△EDG≌△PDG（SAS），∴∠DEG=∠P，∴∠DEC=∠DEG，∴tan∠DEG=tan∠DEC=．【点评】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．(1)见解析(2)2【分析】（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；（2）根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出是等边三角形，进一步即可得到结论；【解析】（1）证明：如图，连接，则，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，且，∴直线是的切线；（2）解：∵线段是的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴是等边三角形，∴；∵，∴∴∵∴【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．5．(1)证明见解析；(2)3．【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论；（2）过点作于点．由勾股定理求出，求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；【解析】（1）证明：为的直径，∴，∴，，∴，∴，平分，，；（2）解：如图1，过点作于点．，，∴，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分的性质等，构造相似三角形、利用面积法求高是解题（2）的关键．6．(1)见解析(2)【分析】（1）根据圆周角定理，以及等弧对等弦，证明，即可得证；（2）利用全等的性质，在中根据勾股定理求出，再在根据勾股定理，求出，然后在中，利用勾股定理即可得解．【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴，∴，∵B是的中点，∴，∴，又∵，∴（ASA），∴；（2）解：∵∴，∴；∴∵又∵，∴（HL），∴，设，则：，在中，，即：，解得：，∴在中，∴⊙O的直径为：．【点评】本题考查圆和三角形的综合应用．熟练掌握圆周角定理，等弧对等弦证明三角形全等是解题的关键．7．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据圆的半径相等，结合等边对等角，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，然后根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论；（2）连接、，根据圆周角定理，得出，，再根据勾股定理，得出的长，再根据及垂径定理，得出，，进而得出是的中位线，再根据三角形的中位线的性质，得出的长，再根据线段的数量关系，得出的长，然后再根据勾股定理，得出的长，再根据勾股定理，即可得出的长．【解析】（1）证明：如图，连接，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴；（2）解：如图，连接、，∵为的直径，∴，，∴，∵，，∴∠OEB=90°，∵OD是⊙O的半径，∴，∴是的中位线，∴，∵，∴，∴，∴．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．8．(1)(2)见解析【分析】（1）过点作于，根据，在直角三角中，求得，勾股定理求得即可求解；（2）过点作于，则，根据已知得出，进而根据角平分线的性质得出，连接，证明，得出，即可得证．【解析】（1）解：如图，过点作于，

则，∵，∴，∴；（2）证明：过点作于，∵，

∴，∵，

∴，∴，

∴平分，∵，∴，连接，如图，在与中，∴，∴∴∴．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．9．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，可得，根据半径相等可得，根据已知条件可得，然后可得，即可得证；（2）证明，根据相似三角形的性质可得，勾股定理求得的长，进而即可求解．【解析】（1）证明：连接，CD，如图，∵是的直径，∴，∵在中，点为上的中点，∴，∴，∵，∴，∵，即，∴，即，∵为的半径，∴是的切线；（2）∵是的直径，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，在中，，∴的半径为．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．10．(1)见解析(2)BD=9.6．【分析】（1）根据C是弧BD的中点，可以确定∠A=∠DBC；再根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°；据此即可确定∠A=∠DBC，即∠ECB=∠DBC，根据等角对等边得出CF=BF，然后根据∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°得出∠CGB=∠GCF，即可得出结论；（2）根据C是弧BD的中点，得出BC=CD=6，根据勾股定理即可求得半径，根据垂径定理得出OC垂直平分BD，设OH=x，则CH=5-x，根据勾股定理得出，求得OH，然后根据勾股定理求得BH，进而求得BD．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠A=∠ECB，∵C是的中点，∴∠A=∠DBC，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°，∴∠CGB=∠GCF，∴CF=GF，∴CF=BF=GF；（2）解：∵C是的中点，∴BC=CD=6，∵AC=8，∴AB==10，∴圆O的半径是5，∵，∴OC垂直平分BD，设OH=x，则CH=5x，∵，∴，解得x=1.4，∴OH=1.4，∴BH==4.8，∴BD=2BG=9.6．【点评】本题是综合考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及等腰三角形的判定等；熟练掌握这些定理是解题的关键．11．(1)见解析(2)20【分析】（1）连接OD，BC，要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可，根据已知条件可以证明OD⊥BC；（2）由（1）可得四边形CFDE为矩形，从而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的长．【解析】（1）证明：如图，连接OD，BC；∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴BCDE；∵D为弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）设BC与DO交于点F，由（1）可得四边形CFDE为矩形；∴CF=DE=6，∵OD⊥BC，∴BC=2CF=12，在Rt△ABC中，AB==20．【点评】本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．12．(1)见解析(2)【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再由平行线的性质可得，结合与三角形内角和定理即可得到，即可得证；（2）如图，连接，先根据垂径定理证明，再证明∽，列比例式可得，即的半径为，根据勾股定理可得的长．（1）证明：是的直径，，，，，，，与相切；（2）解：如图，连接，平分，，，，，∽，，，，，，，．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第问关键是证明∽．13．(1)3(2)【分析】（1）连接AC，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则AC＝BC＝3，同理可得AE垂直平分BC，则AB＝AC＝3；（2）先证明为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边关系求出OA即可．【解析】（1）解：连接AC，如下图：∵CD⊥AB，∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，∴AC＝BC＝3，∵AO⊥BC，∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝3．（2）解：∵AB＝AC＝BC，∴为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，在中，∵OF＝．∴OA＝2OF＝，即⊙O的半径为．【点评】此题主要考查了勾股定理和垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．14．(1)(2)8【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，再求出答案即可；（2）利用勾股定理求出BE即可．【解析】（1）解：连接OB，∵OA⊥BC，OA过圆心O，∴，∵，∴，∴；（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA过圆心O，∴BE＝EC，∵OB＝OA＝5，OE＝3，∴BE＝＝＝4，∴BC＝2BE＝8．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．15．(1)∠E＝35°(2)见解析【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.【解析】（1）连接AC，∵为120°，为50°，∴，，∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；（2）证明：连接AC、BD，∵，∴∠A＝∠D，在△ACE和△DBE中，，∴△ACE≌△DBE（ASA），∴BE＝CE，∵AE＝DE，∴AE-BE＝DE-CE，即AB＝CD．【点评】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．16．(1)BC是的切线，理由见解析(2)【分析】（1）连接，求出，推出，，求出，根据切线的判定推出即可．（2）根据，，求出，，，，根据，证，推出，设，，由勾股定理得出，求出即可．【解析】（1）解：与相切证明：连接，是的直径，，，，为弧中点，，，，为直径，是的切线．（2）的半径为2，，，，，，，，，，，，，设，，由勾股定理得：，（负数舍去）