2020版高考数学一轮复习双曲线含解析

课时跟踪检测（五十）双曲线[A级基础题——基稳才能楼高]x21．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是()3A．(－2，0)，C．(0，－2)，(0，2)解析：选B∵双曲线方程为－y2＝1，(2，0)B．(－2,0)，(2,0)D．(0，－2)，(0,2)x23∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝a2＋b2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)xy222．(2019·南宁摸底联考)双曲线－＝1的渐近线方程为()2520A．y＝±54xC．y＝±51xB．y＝±x45D．y＝±255xxy解析：选D在双曲线－＝1中，a＝5，b＝25，∴其渐近线方程为y＝±255x，故选D.222520中，渐近线方程不是y＝±34x的是()合肥调研)下列双曲线3．(2019·xyyx2A.－＝122B.－＝12144811832yxxy222C.－＝12D.－析：选D对于A，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于B，渐近线方程为y＝±x＝±4x；对于12432C，渐近线方程为y＝±34x；对于D，渐近线方程为y＝±23x．故选D.xy22左支上铜陵模拟)已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线一点，点A(0，2)，则△424．(2019·APF周长的最小值为()A．4(1＋2)B．4＋2D.6＋32C．2(2＋6)解析：选A设双曲线的左焦点为F′，易得点F(6，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋2)．故选A.xy225．(2019·合肥一模)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝－2x，则该双曲线的离ab22心率是()5A．2B．3D．23C．5xyba22解析：选C由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线的一条渐近线方程为ab22baca＋ba＋4a5a2222y＝－2x，得＝2，则b＝2a，则双曲线的离心率e＝＝＝＝＝5.故选C.aaaaxy226．(2019·德州一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，且双ab22曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为()xyxy2A.－＝122B.－＝12420124xyxy222C.－＝12D.－＝1204412xyba22解析：选C双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的一条渐近线过点(3，ab22ba3)，可得＝3，①由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y2＝16x的准线x＝－4上，可得c＝4，即有a2＋b2＝16，②由①②解得a＝2，b＝23，xy22则双曲线的方程为－＝1.故选C.412[B级保分题——准做快做达标]y2全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A31．(2017·的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()1312A.B.D.232C.3y2解析：选D法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－3＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S113＝|PF|·|AP|＝2×3×1＝22△APFy2法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y3―→―→―→―→＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP＝(1,0)，PF＝(0，－3)，所以AP·PF＝0，所以AP⊥PF，所以S＝12|PF|·|AP|＝×3×1＝.1322△APFxy22)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，ab222．(2019·黄冈质检交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A.2B.3D.5C．2解析：选A连接OM.由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，2∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin45°，即a＝c·，2c∴e＝＝2.故选A.axy22银川模拟)已知双曲线－＝1(0＜a＜1)的离心率为2，则a的值为()a1－a223．(2019·12B.2A.213D.3C.3ca2解析：选B∵c2＝a2＋1－a2＝1，∴c＝1，又＝2，∴a＝，故选B.2xy224．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率ab22为5，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()xyx222A．－＝1B．－y2＝1428xyy222C．－＝1D．x2－＝14416解析：选D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的by22离心率为5，所以1＋＝5，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故a24选D.xy225．(2019·黄山一诊)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F，ab122F为C的焦点，A为双曲线上一点，若|FA|＝2|FA|，则cos∠AFF等于()2122135B.4A.2514C.5D.解析：选C因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|FA|＝2|FA|，且|FA|121|FF|＋|FA|2－|FA|22－|FA|＝2a，所以|FA|＝2a，|FA|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝25a，所以cos∠AFF＝12212|FF||FA|2212112220a2＋4a2－16a25＝，故选C.2×25a×2a5＝xy3226．(2019·天津和平一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂ab222线，垂足为M.若△FOM的面积为5，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()4y2x2y22B.－＝1A．x2－＝5125xyxy222C.－＝12D.－＝1162045c3a2b5a2解析：选C由题意可知e＝＝，可得＝，b取一条渐近线为y＝x，ababc可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，2a＋b2在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝|OF|2－|MF|2＝c2－b2＝a，5b＝，a＝2，a2由题意可得12ab＝5，联立解得b＝5，1ab＝5，2xy22所以双曲线的方程为－＝1.故选C.45xy227．(2019·湘中名校联考)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于ab22A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥35|CD|，则双曲线离心率的取值范围为()5B.，＋∞45A.，＋∞35354C.1，D.1，xyb222解析：选B将x＝c代入－＝1得y＝±，ab2a2bb2b2a22不妨取A，，所以||＝.c，Bc，－ABaababca将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，bcbc2bca不妨取C，，所以||＝.c，Dc，－CDaa因为|AB|≥35|CD|，所以≥×，a5a2b32bc2399即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，5252516255即c2≥a2，所以e2≥，所以16e≥4.25xy22)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积ab228．(2019·桂林模拟等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是()75A.1，B.1，2257C.，＋∞D.，＋∞22解析：选C由条件得|OP|2＝2ab.又∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.又∵c2＝a5c5a252，＋∞2a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.∴双曲线离心率的取值范围是.449．(2019·惠州调研)已知O为坐标原点，设F，F分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线12左支上任一点，过点F作∠FPF的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝()112A．1C．4B．21D．2解析：选A如图，延长FH交PF于点Q，由PH为∠FPF的平分线及PH⊥FQ，11212可知|PF|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF|－|PF|＝2，从而|QF|＝2，在△FQF121212中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.xy2210．(2019·郑州模拟)设F，F分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、ab2122右焦点，P是C上一点，若|PF|＋|PF|＝6a，且△PFF的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方1212程是()A．x±2y＝0C．x±2y＝0B．2x±y＝0D．2x±y＝0解析：选B假设点P在双曲线的右支上，|PF|＋|PF|＝6a，则12|PF|－|PF|＝2a，12∴|PF|＝4a，|PF|＝2a.12∵|FF|＝2c＞2a，∴△PFF最短的边是PF，12212∴△PFF的最小内角为∠PFF.1212在△PFF中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos30°，12∴c2－23ac＋3a2＝0，ca∴e2－23e＋3＝0，∴e＝3，∴＝3，∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，b∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，故选B.axy一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.2211．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的a92xy322双曲线的标准方程为－＝双曲线的1(a＞0)，∴渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐a9a2解析：∵近线方程为y＝35x，∴a＝5.答案：5xy2212．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的ab22抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的解析：设A(x，y)，B(x，y)，由抛物线的定义可知渐近线方程为________．1122ppp|AF|＝y＋，|BF|＝y＋，|OF|＝，22212pp由|AF|＋|BF|＝y＋＋y＋＝y＋y＋p＝4|OF|＝2p，得y＋y＝p.22121212x2y2－＝1，ab联立22消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，x2＝2py2pb22pb2所以y＋y＝，所以＝p，a2a212b1b22即＝，故＝，a2a22渐近线方程为y＝±22x.所以双曲线的答案：y＝±22xxy2213．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线－＝1(a＞0)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲a22线的离心率为________．xy22(2,0)，所以双曲线－＝1的焦点为解析：易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a＝a22c22，所以双曲线的离心率e＝＝＝2.a2答案：2xy2214．(2019·南昌调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2＝ab22c2的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________．16baab解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝x，由题意可知该切线方程为y＝－(x－c)，即ax＋bycc|a－ac|ac－ac222－ac＝0.又圆(x－a)2＋y2＝的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d＝＝＝，又164c4a＋b22ce＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2.a答案：2y2)已知点F，F分别是双曲线C：x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过F作垂b212215．(2019·西安铁一中模拟直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MFF＝30°.12(1)求双曲线C的方程；―→―→两条渐近线的垂线，垂足分别为P，P，求PP·PP的值．(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线1212解：(1)由题易知F(1＋b2，0)，可设M(1＋b2，y)．21y2因为点M在双曲线C上且在x轴上方，所以1＋b2－＝1，得y＝b2，所以|FM|＝b2.在Rt△MFF中，1b21221∠MFF＝30°，|MF|＝b2，所以|MF|＝2b2.由双曲线的定义可知，|MF|－|MF|＝b2＝2，故双曲线C的方程122112y2为x2－＝1.2(2)易知两条渐近线方程分别为l：2x－y＝0，l：2x＋y＝0.12设双曲线C上的点P(x，y)，两条渐近线的夹角为θ，00不妨设P在l上，P在l上，1122|2x－y||2x＋y|则点P到两条渐近线的距离分别为|PP|＝，|PP|＝.000