复变函数与解析函数

复变函数与解析函数第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

1.复变函数的定义

2.映射的概念

3.反函数或逆映射§5复变函数第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期五1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义

第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期五第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例1例2第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期五oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：定义域函数值集合

2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

以下不再区分函数与映射（变换）。

在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v

与x，y

之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)见图2例4解第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期五oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

3.反函数或逆映射例设z=w2

则称为z=w2的反函数或逆映射∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例已知映射w=z3

，求区域0<argz<在平面w上的象。例第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

1.函数的极限

2.运算性质

3.函数的连续性§6复变函数的极限与连续性第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期五1.函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

(1)

意义中的方式是任意的.

与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数.

2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期五定理2

以上定理用极限定义证!第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例1例2例3第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期五3.函数的连续性定义定理3第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明xy(z)ozz第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)

仍为连续函数;

连续函数的复合函数仍为连续函数。有界性：第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期五第二章解析函数

第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

1.复变函数的导数定义

2.解析函数的概念§2.1解析函数的概念第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期五一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期五(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期五③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期五④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。思考题第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期五

(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,

但在复变函数中，却轻而易举。第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期五(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期五二.解析函数的概念定义

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数

(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。

(1)w=f(z)在D内解析在D内可导。

(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。第三十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；

(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理1设w=f

(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0时)均是D内的解析函数。第三十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期五定理2设w=f(h)在h

平