考点08立体几何（理科）【亮点讲】-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（全国通用）

考点08立体几何（理科）【亮点讲】-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测知识回顾一、旋转体和多面体1．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线2.多面体的结构特征3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的eq\f(1,2).4．三视图(1)三视图的画法规则：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题：①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．典例1、已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.eq\f(a,2)B．eq\f(\r(3πa),3π)C.eq\f(2\r(3πa),3π)D．eq\f(2\r(3a),3π)答案C解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，所以l＝2r，则圆锥的表面积：S表＝πr2＋eq\f(1,2)π(2r)2＝a，所以r2＝eq\f(a,3π)，所以2r＝eq\f(2\r(3πa),3π).故选C.二、空间图形的基本关系与公理1．空间图形的公理(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线,平行直线)),异面直线：不同在任何一个平面内))(2)异面直线所成的角①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)定理(等角定理)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内aα有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a典例2、在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为()A．90°B．60°C.45°D．30°答案C解析如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，则O是AC，BD的中点，又E是PC的中点，∴OE∥AP，∴∠OEB为异面直线PA与BE所成的角(或其补角)．∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，则∠PAO为直线PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°.又PA＝2，∴OA＝OB＝1，OE＝1，∴在Rt△OBE中，∠OEB＝45°，即异面直线PA与BE所成的角为45°，故选C.线面平行1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)∵l∥a，aα，lα，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，lβ，α∩β＝b，∴l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b典例3、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形的个数为()A．0B．1C.2D．3答案B解析①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与平面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；②中，由于A1F∥D1E，而A1F⊄平面BD1E，D1E⊂平面BD1E，故A1F∥平面BD1E；③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与平面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行．故选B.线面垂直1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,l⊥a,l⊥b,a∩b＝A))⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,lβ))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,lβ,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α典例4、如图，四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCDC．AC⊥DPD．平面PBD⊥平面ABCD答案B解析如图，取PB的中点O，连接OA，OC，易得PB⊥OA，PB⊥OC⇒PB⊥平面OAC⇒PB⊥AC，所以A正确；又AC⊥BD⇒AC⊥平面PBD⇒AC⊥DP，平面PBD⊥平面ABCD，所以C，D正确．故选B.空间几何体的表面积与体积1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l三者关系S圆柱侧＝2πrleq\o(→,\s\up14(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up14(r′＝0))S圆锥侧＝πrl3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3eq\o([常用结论])1．正四面体的表面积与体积棱长为a的正四面体，其表面积为eq\r(3)a2，体积为eq\f(\r(2),12)a3.2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半径R外＝eq\f(\r(6),4)a.典例5、三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，又，则球的表面积为.【答案】【解析】试题分析：由题意得：三棱锥为棱长为1的正方体内一个三棱锥，所以球为正方体的外接球，直径为正方体对角线长，因此球的表面积为考点：球的表面积空间向量与立体几何典例6、如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.【证明】(1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．∵点E，F分别是PC，PD的中点，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)．∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，即EF∥AB，又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)由(1)可知，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0,0)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.强化训练一、单选题1．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．在正方体中，E为的中点，平面与平面的交线为l，则l与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点D移动至点P，且，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．4．一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（

）A． B． C． D．5．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连接，在翻折过程中，下列说法中正确的是（

）①四棱锥的体积最大值为②．中点的轨迹长度为③与平面所成角的正弦值之比为④三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③二、填空题9．已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.10．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．11．在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，为的中点，则下列说法正确的是______．①，为异面直线；②平面；③若，则；④若，则直线与平面所成的角为45°．12．某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则________三、解答题13．图是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图．(1)证明：图中的，，，四点共面，且平面平面；(2)求图中的二面角的大小．14．如图，在直三棱柱中，D，E别是棱、上的点，，．(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面ABC所成的角为，且，求二面角的大小．15．如图，点是以为直径的圆上的动点（异于、），已知，，平面，四边形为平行四边形.(1)求证：；(2)当点运动到中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.16．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.(1)设平面平面，证明：；(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.参考答案：1．B【解析】【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解.【详解】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示由题意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，所以这个几何体的外接球的体积为.故选：B.2．D【解析】【分析】延长，交直线于点M，延长交于点，连接，则直线即为交线，从而可得即为l与所成的角，解即可得解.【详解】解：延长，交直线于点M，延长交于点，连接，则直线即为交线，又，则即为l与所成的角，设正方体棱长为1，因为E为的中点，，所以为的中点，为的中点，点为的中点，为的中点，则，又，所以，所以，则，，，所以，即l与所成角的余弦值为.故选：D.3．D【解析】【分析】由题知平面，再设外接圆的圆心为，三棱锥外接球球心为，三棱锥外接球的半径为，，连接，，过作，垂足为，进而根据几何关系求得，，再计算体积即可.【详解】解：因为，所以，因为，，所以，平面，如图，设外接圆的圆心为，三棱锥外接球球心为，连接，，过作，垂足为，则，所以，在中，，，，所以，外接圆的直径为，即半径为，，设三棱锥外接球的半径为，，则，所以，中，，即，在中，，即，所以，，解得，，所以，三棱锥的外接球的体积为.故选：D4．C【解析】【分析】易得这个容器最多可盛放时，平面与地面平行即可，故只需求不规则几何体占总体积的比例即可【详解】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为，设到平面的距离为，则.又，故故选：C5．B【解析】【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】若直线平面，直线平面，，则；若直线平面，直线平面，，则平面和平面平行、相交或垂直，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．6．C【解析】【分析】连接交于，若是的中点，连接，易得，即直线与直线夹角为或补角，进而求其余弦值.【详解】连接交于，若是的中点，连接，由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，若，则，，面，面，则，而，又，面，故面，又面，所以.所以，，在△中.故选：C7．B【解析】【分析】①利用中位线证明出线线平行，从而得到直线BE与直线CF是共面直线，①错误；直线BE与直线AF满足异面直线的定义，②正确；证明出线线平行，进而证明出线面平行，③正确；BE与PA的关系不能确定，故④不一定正确；【详解】画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以直线EF平面PBC，故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.所以正确结论的个数是2.故选：B8．C【解析】【分析】根据题意，根据四棱锥的体积公式，以及线面角的概念和三棱锥的外接球概念作图，逐个选项进行判断即可求解【详解】由已知梯形面积为，直角斜边上的高为.当平面平面时，四棱锥的体积取最大值.①正确；取中点为，则平行且相等，四边形是平行四边形，所以，点的轨迹与点的轨迹完全相同，过作的垂线，垂足为的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，从而中点的轨迹长度为.②错误；由四边形是平行四边形知，则平面，则到平面距离相等，故，与平面所成角的正弦值之比为等于.③正确；外接圆半径为是中点，根据正弦定理外接圆半径为是圆与圆公共弦，.设三棱锥外接球球心为，半径为，则因为，所以，所以最小值为，没有最大值.④正确；故选：C9．【解析】【分析】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2，即可求得其内切球半径，即为正方体外接球半径，则，即可得答案.【详解】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2，则内切圆半径为，即，所以，解得.故答案为：10．【解析】【分析】利用空间向量即可得解.【详解】由题意，,,所以，，，所以故答案为：.11．②③【解析】【分析】①判断A，B，E，F四点共面即可；②取DA的中点N，连接FN，MN，利用平行四边形的性质及线面平行的判定证明即可；③取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由平行四边形、等边三角形及勾股定理求；④由线面角定义，应用几何法找到直线与平面所成角的平面角，进而求其大小.【详解】对于①：如图，连接EF，由题意得，所以A，B，E，F四点共面，所以AF，BE不是异面直线，①错误；对于②：取DA的中点N，连接FN，MN，得，，所以，，则四边形EFNM是平行四边形，所以，因为面AFD，所以面ADF，②正确；对于③：取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由平行且相等知：四边形EFQB为平行四边形，则有，又，即，设，则，，，∴，解得，③正确；对于④：由，，可知△BCE为正三角形，，连接，易知平面，故即直线与平面所成的角，，，所以④错误.故答案为：②③12．【解析】【分析】根据给定条件，求出包装盒的底面半径与球形巧克力半径的关系，再利用圆柱、球的体积公式计算作答.【详解】由图知，包装盒的高为，因此，，又，所以.故答案为：13．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据线线平行可得，，，四点共面，再根据线面垂直的判定可得AB平面，从而证明平面平面；（2）作，垂足为，根据面面垂直的性质可得平面，再以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角即可（1）证明：由已知得，，所以，故AD，确定一个平面，从而，，，四点共面．由已知得，，又为平面内相交的两条直线，故AB平面．又因为平面，所以平面平面．（2）作，垂足为.因为平面，平面平面，平面平面所以平面．由已知，菱形的边长为，，可求得，．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，