哈尔滨某大学结构力学I一六

四、弹性力学平面问题的有限元分析及程序四、弹性力学平面问题的有限元分析及程序引言常应变三角形单元矩形双线性单元平面问题程序(一)平面等参数单元平面问题程序(二)Wilson非协调元杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自然的，但对于平面问题，待分析物体是连续的，并不存在实际结点。要将物体“拆”成单元，必须用一些假想的线或面作人为地分割。实际计算时，可将连续体分成多种形状单元，为讨论简单，现暂时规定只用一种单元来分割。平面问题有限单元法可用的单元很多，作为初学，先介绍两种最简单的单元：三角形和矩形。然后再介绍高级些的单元“等参数单元”。将物体进行分割时，必须保证相邻单元具有公共边界。假定相邻单元仅在一些点（顶点或顶点加边中点）相连接。这些点即为“结点”。4.1引言4.2常应变三角形单元4.2.1面积坐标三角形单元中任一点P可用直角坐标(x,y)表示。P213yx如图所示连P1、P2、P3，则可得三个小三角形。它们和大三角形123的面积比，记作Li（=Pjk/123），称为面积坐标。三个面积坐标显然L1+L2+L3=1，只有两个是独立的。三角形中任一点P的位置可用面积坐标L1、L2确定。当P点在1时L2=L3=0，L1=1。余类推。可见面积坐标具有“形函数”的性质。4.2常应变三角形单元4.2.2位移模式由于面积坐标有形函数性质，因此根据试凑法可得P213yx形函数=Ni=Li=面积坐标1)面积坐标和直角坐标关系如果结点i位移为ui、vi，则单元位移模式（位移场）为u=Niui；v=Nivi4.2常应变三角形单元2)矩阵表达P213yx4.2常应变三角形单元4.2.3单元列式1)微分算子矩阵2)应变、应力矩阵平面应力问题式中平面应变时4.2常应变三角形单元由此可见，单元应变、应力都是常量。当所分析的问题具有初应变时，单元的弹性应变为[e]=[]-[0]，应力为[]=[D][e]。3)单元应变能将上述应变、应力代入4)单元外力势能第一项体积力、第二项结点力、第三项表面力的外力势。代入位移后，经整理可得4.2常应变三角形单元5)令总势能一阶变分等于零，推导单元刚度方程当有初应变时推导结果如何？6)单元刚度矩阵、等效荷载矩阵当有初应变时结果如何？具体显式表达式见教材P。47式（3,2-39）4.2常应变三角形单元7)关于等效结点荷载等效结点荷载可用公式积分计算，但由于形函数的图形是一平面（边界处为一直线），因此可证明也可按杠杆原理通过静力等效来求。如P.48图3-4所示。4.2.4解答的收敛性准则1)位移模式（也称位移函数）必须包含刚体位移。2)位移模式必须包含常应变位移。3)位移模式必须保证单元间位移协调。1)、2)对平面问题也即要求具有常数项和坐标一次项，这称作“完备性准则”。3)称作“协调性准则”。既完备又协调的单元一定是收敛的。但不等于说非协调单元一定不收敛。4.3矩形双线性单元三角形单元划分灵活，能较好拟合边界复杂（如曲线边界）物体计算。但是，单元应变、应力是常量，对一般问题精度较低，要提高精度就的增加结点、增加未知量，为此讨论其他单元。其一为本节单元。1)自然坐标2a

2b

22图示矩形单元，设=x/a，=y/b，则转换成正则单元。2)形函数222341由形函数的性质“本点1，它点零”，利用试凑法可设：N1=a（1-)(1-）它满足“它点零条件”。再令本点为1，可得a=1/4，代回可的形函数N1。同理可得：Ni=1/4(1+0)(1+0)(i=1,2,3,4)。式中0=i；0=

i。

请大家验证Ni是否满足形函数性质。4.3矩形双线性单元3)位移模式

u=Niui；v=Nivi。或以矩阵表示为222341可以用势能原理，也可以用虚位移原理。一经建立单元位移模式后，剩下的工作和杆系、三角形单元类似，因此这里从略。[d]=[u，v]T单元结点位移矩阵4)关于单元列式5)关于单元特性结果请看P.53式(3,6-13~15)。6)关于计算结果的整理里兹法已经知道：位移结果比应力、内力结果精度高。位移达到满意结果，有几何方程求应变，再由物理方程求应力，结果精度较差。上述三角形单元常应力，矩形单元应力线性变化，许多工程问题的应力是复杂的。为更好标征性，需要对计算结果进行整理。常用处理方法有两种。4.3矩形双线性单元6-1)绕结点平均法以交于同一结点各单元此结点处某应力分量的代数平均值，作为此结点该实际应力的近似值。对于边界处的结点，由内结点结果的外插得到。6-2)两单元平均法

三角形单元时，以两相邻单元应力平均值作为边中点的应力近似值。矩形单元时，以两相邻单元公共边两端结点四个应力的平均值作为边中点的应力近似值。对于边界处的结点，同样由内结点结果的外插得到。1)程序功能本程序可用三角形或矩形单元计算平面应力问题。当计算平面应变问题时需要自行转换弹性常数。本程序为了减少计算数据的准备，对规则问题具有做、单元结点编码等自动生成功能。本程序荷载生成功能较弱，请自行修改。4.4平面问题程序(一)本程序可以用来计算如墙梁、剪力墙（可以带孔洞）等结构。2）程序数据文件说明2-1）基本数据结点位移数，单元结点数，结点总数，最大半带宽，总约束位移码数，单元总数，点的坐标数，规则标志，问题标志，弹性常数及厚度。2-2)结点坐标如果不规则：按结点号顺序读入全部结点的坐标值。如果规则无孔：孔标志,X方向单元数，Y方向单元数，X方向单元长度，Y方向单元长度。如果规则有孔：控制结点数，生成结点类数。结点号，X，Y4.4平面问题程序(一)起点号，终点号，生成的点数，相邻点号差值，“相邻两点间距”。2-3）读入结点荷载值有荷载的结点数结点号，X方向荷载值，Y方向荷载值。2-4）单元的整体结点码如果规则无孔：不需要输入如果规则有孔：待修改如果不规则：

按单元类型读入单元整体位移码。2-5)读入全部零位移约束的位移码。如果问题类型不等于零2-6）读入第二种材料的弹性常数，厚度，首单元号，终单元号，循环步长。如果问题类型等于零没有第六组4.4平面问题程序(一)2-7）一算例数据2,4,441,46,22,400,2,0,0,6.93e4,0.3,2.0e-2120,20,0.05,0.121421,0.0,0.05422,0.0,0.1423,0.0,0.1424,0.0,0.1425,0.0,0.1426,0.0,0.1427,0.0,0.1428,0.0,0.1429,0.0,0.1430,0.0,0.1431,0.0,0.1432,0.0,0.1结433,0.0,0.1点434,0.0,0.1荷435,0.0,0.1载436,0.0,0.1数437,0.0,0.1据438,0.0,0.1439,0.0,0.1440,0.0,0.1441,0.0,0.05运行程序查看计算结果1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,424.5平面等子参数单零元三角形插和矩形恶单元是叼最简单壳的单元嘱形式，舌前已提驴及，由苗于位移尾模式是窗线性和奶双线性半的，精责度较低朴。对于击曲线边大界问题摧，还有己以直边阵代替曲浑边的离挣散误差写。为此套，介绍袄本节等汪参数单叼元族。首先刚以四明结点似等参往元为鹅例进亮行介红绍，确然后合再介寺绍其闹他等兔参元班。222341x

y

1234母单元4.苏5.系1单元描丹述为克蓝服矩劣形单计元不示能拟己合曲设线边泄界，稼用图狮示任犁意四撞边形堵单元琴，但民在直宏角坐锐标下割要描秧绘属剂于单疼元的险点比剃较困码难。自然坐若标下的跑图示单插元（母品单元）阳形状都稀是规则良图形，飞考虑到至母单元机形函数爆性质，尽并设i点的坐节标为：(xi,yi)，则由x=Nixi；y=Niyi可以纸描绘笛子单行元形瓜状。为什孝麽？子单革元（嚼等参度元）4.5平面卖等参颤数单讽元x

y

1234母单鸦元利用早上述提转换忘公式挨可看犁出：1)母单元样正交坐年标线映稼射后成每为图示捏子单元晓斜角坐咏标线。泡仍为直秒线。2)子单元朽有两套炉坐标系鞭：整体x,y坐标粗，和属局部,坐标。3),坐标唐又是挑母单墙元正讯交坐椒标。4)根据子仪单元结沉点坐标誉情况，茫规则母材单元可俘映射出旁任意四膜边形单染元。5)相邻单韵元映射华后仍然刃连续。子单母元（严等参煎元）2223414.凉5.茅2单元别位移虚模式设i点的旺位移陪为：(ui,vi)，则单昌元位涌移场意为u=Niui；v=Nivi。和矩陡形单零元一版样，昏可用年矩阵狼表示方为：4.5平面等线参数单掘元x

y

1234母单骆元4.5岸.3坐标裤系间趁的转撤换关祥系222341由复区合函扛数求拼导数附的规伟则可坏得用矩阵史表示则示为：引入陕记号称作雅唱可比矩布阵其逆央矩阵洒为：4.述5.税4其他等腹参元母照单元形旅函数1)八结点简等参元贯（矩形脾族）x

y

12345678子单幻玉元（阻等参板元）2223416785用试摘凑法N1可设为六：N1=a(1-)(殿1-)(雀1++)；它能延自动霜满足草它点群为零夜。本势点为1得：a=-1凉/4同理可害得角结够点Ni通式栏为：Ni=-1/禽4(1节+0)(匆1+0)(1顽-0-0)援(i=1色,2山,3石,4侍).式中0=吵I;0=i.用试栗凑法N5可设扰为：N5=a(1-2)(1雕-)；它能自挣动满足裙它点为禁零。本宝点为1得：a=1/蓝2同理工可得稍边中绑点Ni通式翼为：N5,7=1蕉/2足(1怨-2)(育1+0)N6,倒8=1/航2(1萄-2)(1版+0)映射后子单元字可以是曲放边单晃元4.痛5平面腿等参哭数单殖元2)六结点(三角苗形族)单元顿如图慕所示31211456L1=L2=母单元子单元312456xy设N1=a(-1筹/2羊)；它满爸足它播点为上零条卧件，滴为使协本点芽为1，可导得a=2。同理可挖得Ni=Li(2Li-1)图(i=1,2校,3)设N4=aL1L3；它满足稼它点为茄零条件牲，为使镇本点为1，可得a=4。由此可鸡得N4=4L1L3N5=4L2L1N6=4L3L2映射后子单元恋可以是曲边勺单元4.姜5平面两等参惯数单庸元3)常用的蚀两族单肉元矩形目：四脾、八孔、十嘴二结涉点等梯参元贸。三角形汇：六、佩十结点故等参元纳。问题：她试建立决十、十惭二结点育母单元怒形函数黄。各种比单元贞分别果包含滨坐标毛几次酬完整鸡多项古式？能否祥给出锯建立雁两族揪形函访数的宋一般忧方法诵？4.户5.沿5单元描佳述和位澡移模式1)单元丛描述2)位移模因式结点数4.位5平面等挺参数单配元4.5谅.6等参叙元单拖元分益析记微蚕分符高号:记1)应变矩织阵4.姨5平面春等参徐数单旁元2)应力矩灿阵3)单元应咬变能4)单元拖外力赶势能5)dA、ds的计算为用虚页位移原乳理推导忍单元刚远度方程烘，必须饲解决dA、ds的计坊算。母单吴元规听则微但元体dd映射后诞变成图拼示（曲锋边）四剑边形。x

y

123456784.峡5平面等膜参数单团元如图酱示，己此微矩面积赞为x

y

12345678坐标的益积分上到下限均犹为-1，1。沿边袖线的抛积分纲（=1为例）一般肌情况术见P.羊72式(3,稼6-2自3)。4.窃5平面等看参数单证元有了上筐述结果帅，经虚鼓位移原抬理或势狐能原理剑即可推坑得式(3,刷6-2够4)~怖(3,戏6-2司6)单元剥刚度役和等酒效荷摇载结务果。4.5另.7数值嫁积分三角形需和矩形音单元可岛以写出嗓刚度显犁式表达获式，但达对于等造参元，享由于两啦套坐标感的转换诞，导致扫刚度、啄荷载的订被积表吸达式十芦分复杂焰，一般龟不可能周积出显殿式结果学。只能娱用数值蛾积分由馋程序来员得到。目前颤常用挂的是爱高斯剂积分蜜（矩催形族感）和秀哈默笼尔积告分（专三角登形族草）。烤它们援的积垂分点踏位置滋、加剃权系贿数等疤见表3-疯1、3-怒2（P.座74族~7托6)。其积分鼻公式见庸式（3,6那-40）、（3,证6-食41）。4.5平面虏等参圾数单劳元4.购5.作8作等参权元分析友时应注诞意的问皆题等参周元分描析中誉要用det[J]-1，可见雅裳可比行屋列式等贺于零将冲导致刚黎度矩阵派等无法逐积分，烧使分析讽失效。撑因此要退避免以哗下可能背使det[J]=0的情况填：1)子单元凡边界不叉能过于梦扭曲。2)矩形价子单谎元不茫能退重化成蝴三角尘形。3)子单造元角招顶处痒单元蚁边线驼切线斥角角慢不能质等于1800。上述情甚况如P.8躁1图3-3捏9示意。此外,子单彼元边脉界上早结点野应尽殃可能王是或冤接近到等分忍点，冠避免均产生抢奇异惑单元森。可能黄情况窄下应菠采用巴直边信子单蔬元，就这样亿可使将雅可河比矩尿阵简驾单，糖提高气计算蛛效率捕。4.5平面悬等参闲数单霉元4.5片.9离散化奖时应注殊意的问月题除对等腾参元应晓注意上买述问题诱外，任蓄何有限蔑元分析奸都还应迈注意以花下几点稻：1)相互垄邻接勇的单混元大欧小应气尽可啊能均拔匀。2)单元如最大川尺寸忌与最赛小尺掏寸之填比应疮尽可出能接搜近一叼，最弦多不真应大巷于二福。3)应合理愤编码，统使单元桨结点间字的整体钢编号差盏值最小方。4)应尽可印能使各贿界点的胸单元数约目相同,如P.8牺2图3,6皇-42左图廊示意.4.6平面昏问题之程序(二)应用本仆程序时,数据文苦件的准昂备见P.2膀17。运行程沾序查看伟计算观结果4.7Wi趁ls佣on非协调暖单元至今朵为止车所介县绍的传单元传都是鞭能保够证收厅敛的留协调邀单元箱。单僵元计继算结斧果的呆精度密，取录决于竹位移旗模式豪中坐剩标完亩全多古项式横的次羞数。许为改夕进精断度Wil蹈son提出非秀协调的叙单元，盗简单介峡绍如下纯。在矩形盆双线性阀单元基村础上，惹增加一彩位移修妹正项：显然在辱四个结列点处修督正项等善于零，针因此它制只影响换单元内灶部位移旗，可见