【教学】不等式的性质 省赛获奖

不等式的性质导入新课问题1

一天，同学甲问同学乙：“你今年多少岁了？”乙回答说：“16岁了，你呢？”“我满15岁了，哈哈！再过一年，明年我们就一样大了！”乙默然．这个对话里面包含了什么数学知识呢？两人相差1岁，过一年，两人的年龄同时加1，不可能相等．导入新课车速为v，行车道上的车速应该满足100km/h≤v≤120km/h问题2

高速路上的限速标志，上面的数字是什么意思？导入新课问题3

今天我们来学习不等式的性质．因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质．首先梳理一下，等式都有哪些性质？性质1：如果a＝b，b＝c那么a＝c；性质2：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质3：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0那么

导入新课追问：观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么？性质2，3具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算，是从运算的角度提出的，性质2可以看作加法运算，性质3可以看作是乘法运算．性质1是等式的对称性．可见，等式的基本性质是“相等关系对运算保持不变”，反映了等式大小关系的本质属性．新知探究问题4

类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？写出你的猜想．性质1：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；性质2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；性质3：如果a＞b，那么ac＞bc；如果a＞b，c≠0，那么

猜想：新知探究追问1：类比得到的结论一定正确吗？如何论证或者反驳？性质1证明：a－b＞0，b－c＞0根据两个正数的和还是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0，∴a－c＞0，性质2证明：∵a＞b，∴（a＋c）－（b－c）＝a－b＞0，∴a＞c．∴a－b＞0，∴a＋c＞b＋c．性质1：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；性质2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；性质1，2是正确的新知探究追问2：从不同角度表达不等式的性质，可以加深理解，用文字语言怎样表达性质2？不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．新知探究问题5

上述的性质3正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？性质3：如果a＞b，c＞0那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0那么ac＜bc；不正确新知探究追问：用文字语言怎样表述此性质？不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向新知探究问题6

上面通过类比，从不等式的“运算”视角，得到了不等式的3个基本性质．不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？新知探究问题7

利用不等式的基本性质，你还能得到哪些不等式性质？比如在性质2中，不等式的两边同加同一个实数．如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？试试用不等式的性质证明你的猜想．证明：a－b＞0，c－d＞0．∴a＋c＞b＋d．∴（a－b）＋（c－d）＞0，即（a＋c）－（b＋d）＞0．得到不等式：a＋c＞b＋d．新知探究追问：你能用不等式性质证明吗？由性质1，得a＋c＞b＋d．证明：由性质2，得a＋c＞b＋c，c＋d＞d＋b；新知探究问题8

在基本性质3中，不等式的两边同乘同一个实数．如果同乘不同的实数，能得到什么结论？预设方案：

“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd”．新知探究追问：你认为上述结论是否正确？为什么？如何修正？预设方案：

“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd”．“如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd”新知探究问题9

如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac、bd有怎样的大小关系？根据性质3有a＞b，c＞0ac＞bc．再根据性质1可知ac＞bd．c＞d，b＞0bc＞bd．很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．新知探究问题10

不等式有没有与开方有关的性质呢？

根据性质5和根式的性质，得a＜b或a＝b．

新知探究问题11

证明性质6中不等式的方法具有什么特征？不等式开方性质证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：假设假设命题结论不成立．（即命题结论反面成立）推理得出的结论与已知条件矛盾与定理，定义，公理矛盾假设不成立所证命题成立初步应用例1

已知a＞b＞0，c＜0，求证：

．证明：法一：∵c＜0法二：∵a＞b＞0，

∴ab＞0，

＞0，

于是

，即

．

又由c＜0，得

．

初步应用分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．上述法二，这种证明方法通常称为分析法．初步应用例2

试比较（x＋1）（x＋5）与（x＋3）2的大小．∴（x＋1）（x＋5）＜（x＋3）2．解答：作差比较，（x＋1）（x＋5）－（x＋3）2＝－4＜0．初步应用例3

试证明：若0＜a＜b，m＞0，则

．证明：法一：法二：

⇐b（a＋m）＞a（b＋m）⇐bm＞am⇐b＞a＞0，m＞0，

所以结论成立．作差比较，

因为a＜b，所以b－a＞0，又因a＞0，b＞0，m＞0，所以

∴

初步应用例4

（1）已知a＞b，ab＞0，求证：

；

（2）已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d．（2）因c＜d．由不等式的性质3，－c＞－d再由a＞b，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得a－c＞b－d．证明：因ab＞0，则

＞0，

由不等式的性质3，a·

＞b·

，得

．

初步应用1若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是（）A．C．解析：对于A，∵a＞b＞0，所以a－b＞0，故选项A一定不成立；

B．

D．

A

对于B，不妨取a＝2，b＝1，则

，故选项B可能成立；

初步应用1若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是（）A．C．对于C，不妨取a＝2，b＝1，

B．

D．

A则

，故选项C可能成立；

对于D，

故

，故选项D一定不成立；

D初步应用2解析：∵1＜a＜b＜3，即1＜a＜b，a＜b＜3，又1＋a＞2，b＋3＜6，所以（A∩B）C，因为C＝｛x｜a－4≤x≤a＋4｝已知1＜a＜b＜3，则a＋b的取值范围是________，

的取值范围是________．

∴1＋a＜a＋b＜b＋3，∴2＜a＋b＜6；又

，

∴

，又

，

∴．（2，6）综上所述：a＋b的取值范围为（2，6）；

的取值范围为

．

归纳小结问题12

本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历什么过程？性质内容备注性质1性质2性质3性质4如果a＞b，且b＞c，那么a＞c传递性如果a＞b，那么a＋c＞b＋c如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc加（减）乘（除）运算如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d同向不等式相加归纳小结问题12

本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历什么过程？性质内容备注性质5性质6如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd特别地，如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）．不等式相乘不等式的乘方性质

不等式的开方性质续表经历的过程：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思”的过程．作业布置作业：教材P26页课后练习1－6．1目标检测BA．a2＜b2B．a3＜b3C．b2＞abD．已知a＜b，则下列结论正确的是（）解析：对于A，当时，a＝－1，b＝0满足a＜b，但此时a2＞b2，故A错误；对于B，由函数y＝x3在R上单调递增可得：若a＜b，则a3＜b3，故B正确；对于C，若b＝0，b2＝ab，故C错误；

对于D，若a＝－1，b＝1，满足a＜b，但此时

，故D错误．

２目标检测AA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件“a＞c且b＞d”是“a＋b＞c＋d”的（）解析：当a＞c且b＞d时，根据不等式的性质，可得a＋b＞c＋d；当a＋b＞c＋d时，不能推出a＞c且b＞d，比如取a＝2，b＝2，c＝－1，d＝3．所以“a＞c且b＞d”是“a＋b＞c＋d”的充分不必要条件．３目标检测BA．B．C．D．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖（a＞b＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（）

解析：根据不等式中两个重要不等式判定得

糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有

符合．

４目标检测（－3，1）已知实数x，y满足2＜x＜4，3＜y＜5．设M＝x－y，则M的取值范围是______________．解析：∵3＜y＜5，∴－5＜－y＜－3，又2＜x＜4，∴－5＋2＜x－y＜－3＋