任意角的三角函数(优秀课件)

1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾OabMPcOabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒o如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽诱思探究MOyxP(a,b)？？？1.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yOx1M2.任意角的三角函数定义

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

那么:（1）叫做的正弦，记作，即；

（2）叫做的余弦，记作，即；（3）叫做的正切，记作，即。所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.xyo的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在横坐标等于0，无意义，此时y轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.（单位圆）任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数

直角坐标系中定义锐角三角函数

单位圆中定义锐角三角函数

单位圆中定义任意角的三角函数

例1.求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为所以思考：若把角改为呢?实例剖析﹒﹒例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，分别过点、作轴的垂线、于是，∽

5设角是一个任意角，是终边上的任意一点(不在原点），

点与原点的距离

.那么①叫做的正弦，即

②叫做的余弦，即③叫做的正弦，即

任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.定义推广：xyo

P（x，y）r于是，巩固提高练习:1.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解：由已知可得：1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）探究三角函数定义域R2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”+--+--++-+-心得:角定象限,象限定符号.例3.求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对．①

②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来呢？思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.

？

例题（3）因为=而是第一象限角，所以（1）因为是第三象限角，所以；解：（2）因为是第四象限角，所以

解：

1.内容总结：①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.归纳总结2.方法总结：3.体现的数学思想：MAP(x,y)下面我们再从图形的角度认识一下三角函数．思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？单位圆|MP|=|y|=

|OM|=|x|=

我们把带有方向的线段叫有向线段.(规定:与坐标轴相同的方向为正方向).MAP如右图:有向线段OM（方向是起始字母指向终止字母）与x轴的正方向相反，取负值；有向线段OA的方向与x轴的正方向相同，取正值；有向线段MP的方向与y的正方向相反，取负值。TMAP（x，y）TMAP（x，y）TMAP（x，y）=MPTMA（1,0）P（x，y）=OM单位圆

说明：1、这是一种设计理念，使有向线段刚好等于相应的三角函数；2、有向线段的起点都在x轴上（或原点）；3、A点是单位圆与x轴的正半轴的交点。

这几条与单位圆有关的有向线段

分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线.

当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；

当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．TMAPTMAPTMAPTMAPMP是正弦线OM是余弦线AT是正切线yxo

MPAT例题示范例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．例3.在0～内，求使成立的α的取值范围.

OxyPMP1P2

xyoP1P2xyoTA21030例4．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.30≤≤150解:30<<90或210<<270︵POxyMAT巩固练习例1、例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：如图可知：ABoP2P1M2M1T例3.求函数的定义域.OxyP2MP1P

xyoMPATxyoy=-xPM

练习xyoy=-xxyoy=-xxyoMPMPPMxyoPMMPPM高考链接1.（2009全国）的值为()A.B.C.D.A解析：本题主要考察诱导公式：2.（2009陕西）则的值为（）A.0B.C.1D.B解析：本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因故选B。3.(2007江西)若