高中数学北师大版2-1学案：第一章 疑难规律方法 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1怎样解逻辑用语问题1。利用集合理清关系充分（必要）条件是高中学段的一个重要概念,并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通,才是最好的方法.本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下:（1)A是B的充分条件，即A⊆B.（2）A是B的必要条件，即B⊆A。(3）A是B的充要条件，即A＝B.（4）A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素。或例1设集合S＝{0，a｝，T＝｛x∈Z|x2〈2｝，则“a＝1”是“S⊆T”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）解析T＝{x∈Z|x2<2}＝｛－1,0,1}，a＝1时，S＝｛0，1}，所以S⊆T;反之，若S⊆T，则S＝{0,1｝或S＝｛0,－1｝。所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件。答案充分不必要2。抓住量词，对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义,从而对症下药。例2（1）已知命题p:“任意x∈［1，2],x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题,则实数a的取值范围为______________.(2)已知命题p:“存在x∈[1，2］，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R,x2＋2ax＋2＋a＝0"都是真命题，则实数a的取值范围为__________________。解析(1）将命题p转化为当x∈[1，2]时，（x2－a)min≥0,即1－a≥0,即a≤1。命题q：即方程有解，Δ＝(2a）2－4×（2＋a）≥0，解得a≤－1或a≥2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－1］。（2)命题p转化为当x∈［1,2］时，(x2－a)max≥0,即4－a≥0,即a≤4.命题q同(1）。综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪［2，4]。答案（1）（－∞,－1］(2）(－∞，－1]∪[2,4]点评认真比较两题就会发现,两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里,需要我们抓住这类问题的本质——量词,有的放矢.3。挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题（原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真,其逆命题不一定为真.例3设p：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－12〉0，，2x－y－8≤0,，x－2y＋6≥0，）)q：x2＋y2≤r2（r>0），若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围。分析“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件".设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A∁RB出发解题.解设p、q对应的集合分别为A、B,将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域,点集∁RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2＋y2＝r2外的点的集合。∵A∁RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r，∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝eq\f(｜－12|，\r（32＋42）)＝eq\f(12,5），∴r的取值范围为（0，eq\f（12，5)].点评若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2（r>0)在p：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3x＋4y－12〉0,,2x－y－8≤0，,x－2y＋6≥0))所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件"，更好地体现了相应的数学思想方法。2辨析命题的否定与否命题否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别,应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别.1。否命题与命题的否定的概念设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B"为原命题的否命题,“若A，则綈B"为原命题的否定.所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题,而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论.“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反。例1写出下列命题的否命题及否定:(1）若|x｜＋｜y|＝0，则x，y全为0；（2）函数y＝x＋b的值随x的增加而增加。分析问题（1)直接依据格式写出相应的命题;问题（2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题。解(1)原命题的条件为“｜x｜＋｜y｜＝0”，结论为“x,y全为0”。写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x,y不全为0”.写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋｜y｜＝0，则x，y不全为0”。(2）原命题可以改写为“若x增加,则函数y＝x＋b的值也随之增加”.否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”;命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”。点评如果所给命题是“若A，则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义,直接写出相应的命题。如果不是“若A，则B”的形式，则需要先将其改写成“若A,则B”的形式,便于写出命题的否定形式及其否命题.2.否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系,原命题为真,其否命题可能为真，也可能为假;原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假。但是原命题与其否定的真假必相反,原命题为真,则其否定为假；原命题为假,则其否定为真.这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准.例2写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x2〈4，则－2〈x〈2;(2)若m>0且n>0,则m＋n〉0。分析依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假.解(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”.命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2"。通过解不等式可以知道,原命题为真,否命题为真，命题的否定为假.(2）否命题:“若m≤0或n≤0,则m＋n≤0”。命题的否定：“若m〉0且n>0,则m＋n≤0”。由不等式的性质可以知道,原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.3判断条件四策略1.应用定义如果p⇒q，那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件。判断时的关键是分清条件与结论.例1设集合M＝｛x|x>2｝,P＝｛x｜x〈3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要"）解析条件p：x∈M或x∈P;结论q:x∈P∩M.若x∈M,则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，所以pD/⇒q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q⇒p。综上知，“x∈M或x∈P"是“x∈P∩M”的必要不充分条件。答案必要不充分2.利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.例2如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要"“既不充分又不必要”)解析依题意，有A⇐B⇔C⇐D且A⇏B⇔C⇏D，由命题的传递性可知D⇒A,但A⇏D.于是A是D的必要不充分条件.答案必要不充分3.利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法。若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A,则p是q的必要条件;③若AB，则p是q的充分不必要条件；④若BA，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件。例3已知p：x2－8x－20≤0,q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0）,若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________.解析设p，q分别对应集合P，Q，则P＝{x|－2≤x≤10｝，Q＝{x｜1－m≤x≤1＋m｝，由题意知，p⇒q,但q⇏p，故PQ，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，，m〉0))或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10，,m>0,)）解得m≥9。即m的取值范围是［9，＋∞）。答案[9，＋∞）4。等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p⇒q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q⇒綈p，从而得到p⇒q。例4已知p：x＋y≠2，q:x，y不都是1，则p是q的________条件。（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要")解析因为p：x＋y≠2，q:x≠1或y≠1，所以綈p：x＋y＝2，綈q:x＝1且y＝1.因为綈p⇏綈q，但綈q⇒綈p，所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件。答案充分不必要4例析逻辑用语中的常见误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假。(1)x＋2〉0；(2)x2＋2>0；(3)A∩B＝A∪B；(4）A⊆(A∪B）。错解（1）(2）（3）(4）都不是命题。剖析(1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2〉0是否成立，不能判断其真假，故（1)不是命题.（2）x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题.（3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；若AB，则A∩B＝A（A∪B）＝B.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题.(4）A为A∪B的子集，故A⊆（A∪B)成立，故(4）为真命题.正解（2)（4）是命题，且都为真命题。误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1）若a＝0，则ab＝0；(2)若a2〉b2，则a>b。错解(1)因为原命题为真命题,故其否命题是假命题；(2）因为原命题为假命题,故其否命题为真命题.剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系,否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断。正解（1）否命题为：若a≠0，则ab≠0,是假命题；(2）否命题为：若a2≤b2,则a≤b,是假命题。误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是（)A。x>3 B.x〉4C。x>2 D.x∈｛1，2,3}错解由不等式x－3>0成立，得x>3，显然x〉3⇒x〉2,又x〉2⇏x〉3，因此选C。剖析若p的一个充分不必要条件是q，则q⇒p，p⇏q.本题要求使不等式x－3〉0成立的一个充分不必要条件，又x〉4⇒x－3>0，而x－3〉0⇏x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4。正解B误区4考虑问题不周例4如果a,b，c∈R，那么“b2〉4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的(）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C。充要条件D。既不充分又不必要条件错解判别式Δ＝b2－4ac>0,即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2〉4ac。综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根"的充要条件,故选C.剖析判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断。对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时,原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0）,一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根;若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根,则它的判别式Δ＝b2－4ac〉0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac"是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根"的必要不充分条件。正解B误区5用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5（1）已知p：方程（x－11）(x－2）＝0的根是x＝11;q:方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝2，试写出“p或q”.(2）p：四条边相等的四边形是正方形；q:四个角相等的四边形是正方形,试写出“p且q"。错解（1)p或q：方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝11或x＝2.（2）p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形。剖析(1）（2）两题中p,q都是假命题，所以“p或q",“p且q”也都应是假命题。而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件.正解（1)p或q:方程(x－11)(x－2）＝0的根是x＝11或方程（x－11）(x－2)＝0的根是x＝2.(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形。误区6不能正确否定结论例6p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”。错解綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根.剖析命题p的结论为“有两个相等的实数根”,所以“綈p"应否定“有"，而不能否定“相等"。正解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根。误区7对含有一个量词的命题否定不完全例7已知命题p:存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.错解一綈p:存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2〈0。剖析该命题是特称命题，其否定是全称命题,但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定。正解綈p：对任意的实数x,都有x2－x－2≥0.误区8忽略了隐含的量词例8写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线;（2）奇函数的图像关于y轴对称。错解(1）不相交的两条直线不是平行直线；(2）奇函数的图像不关于y轴对称.剖析以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词,但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意.正解（1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2）存在一个奇函数的图像不关于y轴对称.5解“逻辑”问题的三意识1。转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此,当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明。例1证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.分析本题直接证明原命题是真命题,显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题。证明命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0,则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1,则a2－b2＋2a－4b－3＝0".由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b）（a－b)＋2（a－b)－2b－3＝a－b－1＝0。∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题。故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.例2命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围.分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题。解设A＝｛x|x2－4ax＋3a2〈0(a〈0）｝＝{x｜3a〈x〈a｝，B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪｛x|x2＋2x－8>0}＝{x｜－2≤x≤3}∪｛x|x<－4或x〉2}＝{x｜x〈－4或x≥－2｝.因为q是p的必要不充分条件，所以p⇒q，qD⇒/p，由AB得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3a≥－2，a〈0））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a≤－4,a〈0））即a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0.所以实数a的取值范围是(－∞,－4]∪[－eq\f(2,3），0)。2。简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断.例3已知命题p：函数y＝log0。5（x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：