线性代数第一章节演示文稿

线性代数第一章节演示文稿目前一页\总数四十页\编于八点（优选）线性代数第一章节目前二页\总数四十页\编于八点性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2如果行列式中有一行(列)元素全为零，则此行列式的值为零.目前三页\总数四十页\编于八点推论3

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明目前四页\总数四十页\编于八点性质4

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如目前五页\总数四十页\编于八点性质5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如目前六页\总数四十页\编于八点二、应用举例我们将应用行列式性质来计算行列式，我们约定：目前七页\总数四十页\编于八点例１计算例2计算目前八页\总数四十页\编于八点例3

计算阶行列式解将第都加到第一列得目前九页\总数四十页\编于八点目前十页\总数四十页\编于八点例4证明目前十一页\总数四十页\编于八点证明目前十二页\总数四十页\编于八点目前十三页\总数四十页\编于八点同理：目前十四页\总数四十页\编于八点例5反对称行列式的形式为：由性质1目前十五页\总数四十页\编于八点1.5行列式按行（列）展开定义1：在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．1.5.1余子式，代数余子式定义例如目前十六页\总数四十页\编于八点1.5.2行列式按行（列）展开法则定理1

行列式D等于其任意一行（列）的元素与它的代数余子式的乘积之和，即

推论

行列式的某一行（列）的各元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。目前十七页\总数四十页\编于八点综上所述，可得到代数余子式的一个重要结论：例1设目前十八页\总数四十页\编于八点例2证明范德蒙（Vandermonde）行列式

证用数学归纳法目前十九页\总数四十页\编于八点目前二十页\总数四十页\编于八点n-1阶范德蒙德行列式目前二十一页\总数四十页\编于八点1.5.3拉普拉斯定理定义2目前二十二页\总数四十页\编于八点第1行第3行第2列第4列目前二十三页\总数四十页\编于八点定理2

拉普拉斯(Laplace)定理注：行列式按行（列）展开就是拉普拉斯定理k=1时的特殊情形。目前二十四页\总数四十页\编于八点例3

用拉普拉斯定理计算行列式解：选取第1，2行，只有三个非零二阶子式，对应的代数余子式为目前二十五页\总数四十页\编于八点例4证明目前二十六页\总数四十页\编于八点例5

计算2n阶行列式目前二十七页\总数四十页\编于八点设线性方程组则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.1.非齐次与齐次线性方程组的概念1.6克莱姆法则目前二十八页\总数四十页\编于八点定理1(Cramer法则)如果线性方程组的系数行列式不等于零，即目前二十九页\总数四十页\编于八点其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为目前三十页\总数四十页\编于八点证明在把个方程依次相加，得目前三十一页\总数四十页\编于八点由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解目前三十二页\总数四十页\编于八点由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.目前三十三页\总数四十页\编于八点二、重要推论定理1

如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.定理2

如果线性方程组无解或有无穷多个不同的解，则它的系数行列式必为零.目前三十四页\总数四十页\编于八点齐次线性方程组的相关定理定理3

如果齐次线性方程组的系数行列式

,则齐次线性方程组只有零解.目前三十五页\总数四十页\编于八点定理4

如果齐次线性方程组

有非零解,则它的系数行列式必为零.有非零解.系数行列式目前三十六页\总数四十页\编于八点