欧氏几何公理体系

年4月19日欧氏几何公理体系文档仅供参考，不当之处，请联系改正。第一讲欧氏几何公理体系目录一、几何概述P1二、公理化方法的内涵与意义P1三、欧几里得《几何原本》简介P2四、完备化的希尔伯特公理体系P5五、中学几何公理系统P8一、几何概述二、公理化方法的内涵与意义1．什么是公理化方法公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统的方法。”一般由4部分组成：原始概念的列举定义的叙述公理的列举定理的叙述和证明4个部分不是独立地叙述和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开的。原始概念和公理决定几何体系的基础，不同的基础决定不同的几何体系。如欧氏几何、罗氏几何等。原始概念包含原始元素(图形)和原始关系两类．原始元素如点、直线和平面等，原始关系如结合关系、顺序关系、合同关系等。原始概念没有定义，但它们的属性隐含在公理中，如平面的属性，中学给出三个公理：一直线上的两点在一个平面内，则直线上所有点都在平面内；两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过公共点的直线；过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。公理是“在一个系统中已为重复实践所证实而被认为不需要证明的真理，具有自明性.”。一般来说，公理被人们普遍接受，无须证明，但后来发现，有些公理并非十分显然，如第五公设。因此，人们选用某些命题作为一种演绎推理的出发点，并非一定要自明，只要大家能接受就行，实质在于符合经验。2．公理系统的三个基本问题(1)相容性(无矛盾性)若由公理系统不能推出两个矛盾的命题，则称该公理系统是相容的。靠演绎推理的方法证明系统(∑)的无矛盾性是不可能的，因为无论推出多少个命题没有出现矛盾，也不可能保证继续推下去保证永远不会发生矛盾。要证明无矛盾性，数学上用解释(即作模型)的方法。先找一个模型M，使M的事物与∑的命题形成一一对应关系，我们先确定M的事物是存在的，或假设它是存在的，后一情况，我们只证明了公理系统在M存在的条件下是无矛盾的，即∑相容是有条件的，如欧氏几何的相容性归结为自然数的皮亚诺公理的相容性，而它又归结为集合的相容性，而集合的无矛盾性至今也没有解决。(2)独立性(公理数量最少问题)确定∑中每个公理是必要的，不是多余的，不能由其它公理导出，保证公理是最少个数问题。解决起来很困难，如第五公设。在实际教学中，从学生的现有知识水平出发，为了提高教学效率，故意多列一些公理，便于论证。(3)完备性(公理个数最大化问题)公理个数尽可能多，保证每个定理均能推出。《几何原本》所列的公理是不够的，证明中借助了几何直观和其它默契，如无顺序性等。公理的完备性相当复杂，到当前为止，希尔伯特在《几何基础》中才将欧氏几何的公理完备性解决。一般地，多数数学理论是以不完备的公理系统为基础的，如群论(存在不同构的群)。对于一个∑，要求必须是相容的，最好是独立的，，是否完备则视需要而定。3．公理化方法的意义和作用关于公理化思想方法的作用，徐利治归结为以下4点：这种方法具有分析、总结数学知识的作用。凡取得了公理结构形式的数学，由于定理和命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便。公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性不同，并能促使和推动新理论的创立。数学公理化方法在科学方法上有示范作用。这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用。例如，19世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化；而物理学家亦把相对论表述为公理化形式……公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学的要求，因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例。三、欧几里得《几何原本》简介欧几里得是柏拉图的学生，以其《几何原本》闻名于世，但身世不详，没有哪位伟人能象她那样声誉持久。其贡献在于对前人的材料加以整理，并在书中作了系统阐述，于公元前3完成《几何原本》。本人是一个温和敦厚的教育家，受托勒密一世之邀，长期在亚历山大城进行教学和研究工作。她反对学数学投机取巧，也反对狭隘的实用观点。一次，托勒密问她有无学习几何的捷径，回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”成为千古传诵的学习箴言。又一个学生问学习几何后能得到什么，欧几里得回答说：“给她三个钱币，因为她想在学习中获得实利。”《几何原本》先以手抄本流传，在有印刷术后，先后有1000多种版本，在西方是仅次于《圣经》的出版量最多的书，其影响之深远，以致使欧几里得和几何学成了同义词。1．《几何原本》简介《几何原本》由希腊数学家欧几里得﹝Euclid，公元前3前后﹞所著，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。

《几何原本》共13卷。每卷﹝或几卷一起﹞都以定义开头。第—卷

首先给出23个定义，摘要列举如下：(1)点没有大小．(2)线有长度没有宽度；(3)线的界是点．(4)直线是与其上的点看齐的线．(5)面只有长度和宽度．(6)面的界是线．(7)平面是与其上的直线看齐的面．(8)平面角是平面上两相交直线的倾斜度．(15)圆是包围在一(曲)线里的平面图形，使从其内某一点到该线的所有直线段彼此相等．(16)于是那一点便叫做圆的中心(简称圆心)．(23)平行直线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长时，在两个方向上都不会相交．接着给出五条公设：I．从每个点到另一点可引直线．II．每一直线都可无限延长．III．以任意点为中心可用任意半径作圆．Ⅳ．所有直角彼此相等．V．(在同一平面内)如果两条直线与第三条直线相交，某一侧的两个内角之和小于二直角，则把两条直线向该侧充分延长后一定相交．

接着给出五条公理：

I．等于同一量的量相等．

II．等量加等量其和相等．

Ⅲ．等量减等量其差相等．

Ⅳ．彼此重合的量相等．

V．整体大于部分．

这里，欧几里得把公设看成仅适于几何的公理，把公理看成既适用于算术又适用于几何．现在的几何学把两者都称为公理，不再区分公设和公理，而后五条算术公理一般不再明文列出．

第一卷的后面提出49个命题和证明等论述，讨论有关平行线的判别和性质，三角形的全等和边角关系，垂线、平行四边形、多边形面积和勾股定理等．

第二卷

本卷编写的是用几何方法研究代数恒等式，即几何中的代数．共提出14个命题，其中包括线段的计算，黄金分割，多边形变形为等积正方形等．

第三卷

本卷编写了与圆有关的定理，共提出37个命题．其中有关于弦、圆心角、圆周角、切线、割线、圆幂等定理，这些就是现在中学几何中所提出的定理，证法也基本相同．第四卷

本卷编写了圆的内接和外切多边形的性质，以及正多边形的作图等，最后一个命题是作圆的内接正十五边形，共提出16个命题．第五卷

本卷编写了比例论，是在欧多克斯研究成果的基础上发展而成的．欧几里得首先给出同类的两个量之比，四个量成比例等定义，提出更比、反比、合比、分比等性质，共提出25个命题．第六卷

本卷编写了相似形理论，以及求作一些比例量的作图，共提出33个命题．大部分和现行中学几何教材一致，其中第31命题是毕达哥拉斯定理的推广．第七、八、九卷

是有关数论的知识，讨论了整数及整数比的性质，是纯粹讨论数的，其论证不依赖于几何．第十卷

本卷叙述了整数开平方的几何运算，以及对无理数度量的分类，共提出115个命题．第十一到十三卷编写的是立体几何，以及求面积、体积的“穷竭法”．第十一卷

叙述了立体几何的基本定理，包括空间点、直线、平面相互位置关系的一系列定理；关于多面角的理论；相似立体形、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等概念和性质．其中大部与现行中学立体几何课本的内容相同．第十二卷

本卷编写了几何体的表面积和体积的有关定理，包括曲线和曲面所围成的形体的面积和体积．集中研究了欧多克斯研究过的“穷竭法”．本卷共提出18个命题．所谓“穷竭法”，举例说，为证明两圆面积之比等于其直径平方之比，能够经过圆的内接正多边形，当边数不断增加时，正多边形的面积逐渐接近圆的面积，而定理对正多边形成立，就证明它对圆也成立．“穷竭”一词起因于相继作圆的内接多边形，当边数无限增多时，穷竭了圆的面积，不过欧几里得避开了极限的概念．欧几里得把这种方法推广到求空间图形的体积上．第十三卷

编写了正多边形本身的性质及内接于圆的性质、球的内接正多面体的性质和作图，以及确定五种类型正多面体等．共提出19个命题．正多面体不能多于五种的证明，是根据第十一卷命题21“多面角各面角之和小于360°”来完成的．假设正多面体各面都是正三角形时，当时每个顶点都有三个正三角形时，则正四面体;当过每个顶点都有四个正三角形时，则得正八面体；当过每个顶点都有五个正三角形时，则得正二十面体．过每个顶点不能有六个以上的正三角形，因为这时多面角之和就要等于或者大于360°．假设正多面体的面都是正方形，过每个项点的正方形只能有三个，这便是正六面体；假设正多面体的面都是正五边形，过每个顶点只能有三个正五边形，这便是正十二面体．另外再不能有其它情形了。2．《几何原本》的伟大贡献

《几何原本》内容是相当丰富的．我们说《几何原本》是一部不朽的经典著作，能够举出很多事例，但归纳起来主要有三个方面：

第一，从科学和数学本身来看，它是历史上第一部真正的、系统的数学科学理论著作．它把公元前3世纪以前所积累的经验几何和早期推理几何的庞大的几何知识，加工整理成理论体系，为后来几何发展奠定了坚实的基础．实际证明，它是几何学发展的一个重要的里程碑，是人类文明遗产中的瑰宝．

第二，从科学方法论的角度来看，欧几里得吸取了亚里士多德的关于建立科学理论的思想，总结了古希腊各个学派对几何学方法的研究成果，在《几何原本》中确立了古典公理化方法．《几何原本》从少数基本概念和公理出发，运用形式逻辑的原理，把几何学编排成由概念、公理、命题组成的演绎体系．她的思想方法和示范性的工作，为几何学的研究开创了史无前例的新的途径，为公理化方法奠定了良好的开端．在此基础上公理化方法逐步发展成为近代公理化方法，并超越几何学的界限，被应用到整个数学和其它科学领域．

第三，从数学教育方面来看，由于《几何原本》已把几何知识编排成系统的科学著作，自然就成为传播几何知识的重要教材，它在世界上引起的巨大影响，使欧几里得的名字几乎成为几何学的代名词了．世界上各国的中学几何教材，几乎都是以《几何原本》的内容、方法编排而成的．3．《几何原本》不足之处

《几何原本》虽是不朽的著作，但由于时代和当时科学发展的局限性，难免存在许多缺陷．主要的是以下三个方面：

第一，欧几里得在《几何原本》中试图对每个概念都给出定义，实际上是不可能的．因此一些定义，如开头的7个定义不过是对点、线、面等几何概念的直观描述，它们在以后的推理论证中根本不起作用；还有一些定义含糊不清，令人费解，如“直线”“平面”等概念；还有一些定义利用了未加定义的概念，如“界限”“长度”等等．总之，在概念的处理上存在一些问题．

第二，《几何原本》中作为演绎、推理基础的公设不够用．希尔伯特对欧几里得几何给出了20条公理，不多不少正好够用，而《几何原本》仅给出5条公理(即5条公设，不含算术公理)，显然缺少很多，有许多命题的证明由于缺少论据，不得不借助于图形的直观感觉或未加证明的一些事实为根据，即离不开几何实体．后来过了多年的时间，才逐步补齐了所缺的公理．第三、叙述上格式单调、割裂；有的命题的证明过于烦琐、重复，以特例证明一般，甚至出现逻辑错误等．四、完备化的希尔伯特公理体系《几何原本》的公理系统尽管具有伟大的历史意义，成为表述科学真理的典范，但毕竟是初创时期，存在许多的不足之处，那该怎样修改、补充《几何原本》中的定义、公理才能使几何成为逻辑上完美无缺的科学呢？如何建立几何学牢固的逻辑基础？两千年来，数学家们致力于研究的重要课题，一方面增加或改换公理，促使几何基础的严密化；另一方面，试证第五公设，导致非欧几何的产生。在前一方面，做出伟大贡献的是德国数学家希尔伯特。1．结合公理原始元素和关系点

用大写拉丁字母、、、等表示直线

用小写字母、、、等表示平面

用希腊字母、、等表示

结合关系（属于关系）

用“”“”等术语表示。

公理I1

对于任意两点、，恒存在直线经过它们。（两点指不同的点）公理I2

对于任意两点、，至多存在一条直线经过它们。

上面两条公理肯定了经过任意两点存在惟一一条直线。

公理I3

在一条直线上至少有两个点，；至少存在三个点不在一条直线上。

以上三条公理只确定点与直线的结合关系，是平面几何的结合公理，建立空间几何还需要引进以下公理I4~I8

公理I4

对于任意三个不在一条直线上的点、、，存在平面经过它们。每个平面上至少有一个点。公理I5

对于任意三个不在一条直线上的点、、，至多有一个平面经过它们。公理I6

如果直线上的两个点、在平面上，则直线上的每个点在平面上。公理I7

如果两个平面有一个公共点，则它们至少还有另一个公共点。公理I8

至少有四个点不在同一平面上。该公理所能导出的定理很少，不能证明点、直线、平面的集合是无限的，甚至不可能证明“每直线上至少有三个点”。在中学教材中，绝大部分是直观承认了。2．顺序公理顺序公理是确定原始关系“介于”或“一点在两点之间”的公理公理II1

如果介于点和点之间，则、、是直线上三点，而且也介于和之间。公理II2

对任意两点、，在直线上至少存在一个点，使介于和之间公理II3

在一直线上的任意三点中，至多有一点介于其余两点之间.

以上三条公理是直线上的顺序关系。公理II4

（帕施Pasch公理）设、、是不在一条直线上的三个点，是、、三点所决定平面上的一条直线，而且不经过三点中任何一个。如果直线经过线段的一个内点，则直线一定要经过线段或线段之一的一个内点。3．合同公理合同公理所涉及的原始关系是“线段相等”和“角相等”，它们的属性由下列公理来制约。公理III1

设是直线上的两点，是同一直线或另一直线上的一点。则在上的已知一侧，一定能够找出一个点，使线段合同于（或相等于）线段，记做。对于每个线段有。（这里的线段是无向线段，即长度）公理III2

如果两线段都合同于第三线段，则这两个线段也合同。公理III3

设和是直线上的两个线段，没有公共的内部点。又设和是同一直线或另一直线上的两条线段，没有公共的内部点。如果，，则。这条公理肯定了合同线段的可加性。公理III4

如果在平面上已知，在同一个或另一个平面上给定一直线，而且在平面上指定了直线的确定一侧，以及上从一点出发的射线。则在平面上直线予先指的那一侧，存在惟一一条以为端点的射线，使得合同于（或相等于）。公理III5

如果两个三角形和之间有合同关系，，则必有，4．连续公理Ⅳ公理Ⅳ1

（阿基米德命题）设是任意两个线段，则在直线上存在有限个点，它们排成顺序：点介于和之间，点介于点和之间等等，又，而且使得点介于点和点之间。（康托尔命题）公理Ⅳ2

（康托尔命题）设直线上存在线段的无穷序列，其中后一线段都在前一个线段的内部，且对于任何线段，恒有使则必有一点，落在所有线段的内部。前面合同公理Ⅲ中讨论二线段比较大小的问题，是进行直接的比较，而非比较它们的长度。因为只用前三组公理不能说明每条线段有长度，只有引入了连续公理后同，才能做到这一点。这以后，两线段大小的比较转化为两个数目的比较，在实践中方便多了。不但如此线段与数目的对应沟通了形与数，使我们在必要时可把几何问题转化为代数问题，或把代数问题转化为几何问题，解析几何就是这样。有了公理Ⅰ到公理Ⅳ之后，可建立空间直角坐标系，进而解析几何的根本问题解决了。在有了长度概念、角的测量问题之后，可推导直线的连续性命题及直线上的点与实数之间能建立一一对应关系，也能推导直线交圆命题(在平面上过圆内部的点的直线交圆于两点)和圆交圆命题(在一平面上一圆经过圆内部一点和外部一点，则两圆必有两交点)，从而解决了初等几何的尺规作图问题。5．平行公理公理V（欧几里得平行公理）

在平面上，经过直线外一点至多存在一条直线与已知直线不相交。五、中学几何公理系统1.中学几何属于欧几里得几何范畴中学几何是以欧几里得《几何原本》为原型建立的。其方法采用了欧几里得实体公理化方法，即以不完备的公理系统加上一些直观承认的客观事实为基础，经过逻辑推理建立演绎体系，其内容基本上是《几何原本》的内容2.中学几何的原始概念i）原始元素：点、线、面、体。ii）原始关系：a）结合关系（例：点在线上）

b）顺序关系（例：两点间的关系）c）运动关系（例：绕一点旋转）d）度量关系（例：线段长度）e)合同关系3.中学几何学的公理系统

3.1平面几