结构力学李廉锟结构动力学

§14-1

概述§14-2结构的振动自由度§14-3单自由度结构的自由振动§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§14-6多自由度结构的自由振动第十四章结构动力学§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-8振型分解法§14-9无限自由度结构的振动§14-10计算频率的近似方法静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。

注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构产生的影响。一、结构动力计算的特点和任务1.动力荷载与静力荷载的区别：随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载§14-1概述结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速度，必须考虑惯性力的作用。考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。

结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布规律，与时间无关。2.结构动力计算的特点3.结构动力计算可分为两大类：自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。

4.结构动力计算的任务：(2)分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。(1)分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；§14-1概述周期荷载——

随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。二、动力荷载的分类简谐荷载1.周期荷载非简谐性周期荷载

例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。

§14-1概述在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。2.冲击荷载

3.突加常量荷载突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重物时所产生的荷载。上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。

§14-1概述

随机荷载（非确定性荷载）——荷载的变化极不规则，在任—时刻的数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。随机荷载（非确定性荷载）4.随机荷载§14-1概述结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目单自由度结构多自由度结构（自由度大于1的结构）§14-2结构振动的自由度当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构确定绝对刚性杆件上三个质点的位置只需杆件转角(t)便可，故为单自由度结构。§14-2结构振动的自由度虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移x和竖向位移y两个独立参数才能确定，因此振动自由度等于2，为多自由度体系。三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷大，结构振动时横梁不能竖向移动和转动而只能作水平移动，故振动自由度等于3，多自由度体系。§14-2结构振动的自由度分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的振动自由度。刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。具有两个集中质量，加入三根链杆即能使各质量固定不动其振动自由度为3。注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。§14-2结构振动的自由度实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者有限多自由度的问题进行计算集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量(实际上是质点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨论集中质量法。水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成以x(t)为位移参数的单自由度结构。§14-2结构振动的自由度凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是无限自由度体系。

例：用集中质量法将连续分布质量的简支梁简化为有限自由度体系。将梁二等分，集中成三个集中质量，单自由度体系。将梁三等分，质量集中成四个集中质量的两个自由度体系。§14-2结构振动的自由度自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。初始干扰的形式:（1）结构具有初始位移（2）结构具有初始速度（3）上述二者同时存在1.不考虑阻尼时的自由振动对于各种单自由度体系的振动状态,都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述。梁在质点重量W作用下的挠曲线称为“静平衡位置”。§14-3单自由度结构的自由振动取图示质点弹簧体系中质点的静力平衡位置为计算位移的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为k11，称为弹簧的刚度；单位力作用下弹簧产生的位移为δ11

，称为弹簧的柔度，k11与δ11二者之间满足：无重悬臂梁、无重简支梁简化单弹簧体系时，弹簧的刚度系数k11各等于多少？思考：简支梁：悬臂梁：答：§14-3单自由度结构的自由振动为了崖寻求验结构宇振动玻时其兆位移班以及相各种供量值啦随时暮间变饥化的猴规律遵，需暗要先族建立货其振动辛微分植方程，然后纽奉求解把。振动统微分壮方程渔的建端立方退法：（1）刚猪度法膨。即列紧动力养平衡膏方程婶。设阅质点m在振显动的乓任一车时刻扮位移左为y，取揉质点m为隔裙离体嫁，不抚考虑菜质点炒运动暗时受唱到的硬阻力甜，则全作用趟于质佩点m上的力绝有：(a箩)弹簧喂恢复击力该力声有将唱质点贵拉回逢静力锤平衡尤位置易的趋双势，胸负号叉表示续其方龙向恒陶与位豆移y的方亿向相观反，胸即永述远指旨向静今力平娘衡位腐置。(b冲)惯性绸力负号表示其方向恒与加速度的方向相反对于贷弹簧吨处于产静力丹平衡盗位置修时的洲初拉慰力，四恒与热质点颜的重瓦量mg向平诸衡而蠢抵消错，故桐振动胁过程旬中这格两个灾力都衡毋须咏考虑晶。§14鞭-3单自兄由度桂结构织的自岛由振和动质点飞在惯档性力F1和恢丛复力Fc作用瓦下维劳持平吹衡，物则有才：或将F1和Fc的表达式代入令（14-1）有（14-2）单自气由度王结构译自由久振动稻微分疤方程§14欢-3单自投由度忧结构隔的自被由振抵动（2）柔样度法初。即列陪位移妄方程犬。当译质点m振动候时，洁把惯仆性力浅看作枣静力夜荷载圈作用啦在体系的裕质量瞎上，犬则在区其作胸用下蜘结构元在质教点处章的位揉移y应当理为：即同刚度法所得方程此二潜阶线晕性常邪系数宋齐次辟微分研方程凭的通夏解为吵：(a码)(b帖)由初始条件t=0时，有可得到有(14-3)§14珍-3单自悔由度变结构闷的自孩由振蚕动可见:单自荷由度局体系聪无阻亦尼的津自由觉振动蓝是简璃谐振小动。令,有（14-4）

（14-6）其中（14逼-5）位移刃满足棒周期牙运动摘的下隐列条冰件：a表示教质量m的最肠大动宗位移宾，称信为振叶幅。壤其由常数ω、初始旋条件y0和v0决定众的。φ是初麻始位芳置的锐相位娘角，丹称为医初相精角。虹它也眠取决朽于常负数ω、初搂始条宋件y0和v0。T称为名结构筑的自半振周织期，纠其常躁用的亚单位脖为秒(s)。自振铲周期榴的倒闸数代恶表每爸秒钟待内的策振动滨次数洒，称句为工程冰频率辟，记作f，其单析位为1／秒(s-1份)，或曾称为赫兹(H僚z)。(14-7)§14冻-3单自伙由度灭结构顾的自哪由振申动表示2π秒内恨的振秩动次汁数，株是结证构动济力性坦能的荷一个铃很重浮要的判标志。ω的单哈位为弧度千／秒(ra胖d／s)，亦常分简写非为1／s布(s-1)。从圆青周运冈动的率角度居来看炭，称誉它为圆频俯率，一般端称ω为自振亩频率。根据袭式(1涝4-截1)，可住给出每结构校自振龄频率ω的计豪算公第式如椒下：相应萌地，旷结构厘的自见振周费期T的计跟算公咳式为虏：式中g表示伐重力股加速症度，Δst表示蝴由于蔑重量mg所产殃生的亭静力惜位移指。结构景的自渗振频隔率和好周期削只取率决于检它自掩身的禾质量个和刚乓度，虎与初乏始条尿件及杨外界效的干殖扰因村素无吧关，的它反执映着详结构庭固有轮的动佩力特盏性。（14灶-8）§14理-3单自以由度纵结构撤的自桂由振温动解：跑三种帐支承悄情况屯的梁唉均为皂单自柳由度竞体系拔。例14露-1图示策为三都种不捐同支制承情喝况的肠单跨叹梁，EI＝常数絮，在岭梁中丧点有病一集捎中质量m，当不唐考虑殊梁的垒质量缘瑞时，缩慧试比慎较三删者的财自振着频率壮。据此可得随着令结构她刚度辨的加开大，校其自眼振频粱率也语相应因地增胁高。§14粉-3单自背由度找结构路的自浓由振找动2.考虑缓阻尼箱时的培自由咐振动物体辉的自榨由振参动由保于各设种阻堤力的司作用刮将逐哈渐衰倾减下驴去而凶不能披无限睛延续搭。阻力访可分恐为两燥种：南一种棒是外练部介湿质的瞒阻力敢；另穷一种违来源岩于物乞体内妄部的樱作用闭。这伙些统钟称为医阻尼苏力。菌通常始引用陷福格投第假迅定，唐即近富似认欲为振抢动中件物体戴所受云阻尼毒力与尤其振引动速企度成炼正比庄，称烛为粘绳滞阻绍尼力神，即桃：其中拦：β为阻谊尼系挖数，惩负号弊表示例阻尼科力的蹦方向省恒与牛速度惕方向挪相反考虑己阻尼父时，苏质点m的动茶力平犹衡方石程为即：令有(14-9)§14鱼-3单自镜由度搞结构思的自术由振攀动这是贱一个轿常系僚数齐订次线馋性微昌分方快程，底设其愚解的拾形式淹为解得其特晨征方扯程为庄：根据锯阻尼拥大小页不同宾，现浓分以处下3种情凡况讨溪论：(1澡)k<ω，即小村阻尼是情况，此嘉时r1和r2为两热个共反轭复腹数，式(1滴4-漂9)通解沫为：(14-9)（14蕉-1跟0）（14进-1陪1）有阻寸尼自弓振频件率（14禽-1沾2）式（14朴-1婶0）可姜改写斗为：§14秩-3单自常由度赠结构喝的自执由振距动式中（14局-1楼2）

小阻尼情况自由振动时的y-t曲线小阻上尼时悦自由朱振动婚曲线振为衰生减的芳正弦鱼曲线充，其童振幅奶按e-k魔t的规炊律减奋小，脱故k为衰眼减系粗数。§14幸-3单自村由度板结构廊的自偏由振杀动由式(14-11)有工程台中ξ的值系很小拘（对笨于钢盖筋混骆凝土婶结构ξ大约床为5%，钢郊结构妖的大烛约为1%拥-2串%）。术于是吴有ω=ω'相隔恰一周贵期后鱼的两治个振握幅之吃比为违一常伟数，伶振幅紫是按澡等比婚级数济递减授的。若用yn表示预某一环时刻tn的振幅垂，yn+1表示棋经过温一个蚀周期T'后的哄振幅密，则秘有上式纠两边职取对锣数，佳得振幅谱的对悄数递纵减量同理陆，经球过j个周变期后盆，有由实绩测各限周期赞的振棋幅可医求出蚀阻尼敲比。§14赚-3单自挣由度喝结构徐的自柏由振强动(2犬)k>ω，即大早阻尼悔情况，此裳时r1和r2为两泰个负遭实数层，式(1骨4-工9)通峰解为父：y(t)不是匆一个朴周期朵函数,即在钞大阻些尼情屑况下盏不会抹发生景振动搂。（14蛛-1买3）（14吃-1泪4）(3)

k=ω，即临界阻尼情况此时r1,2=-k，方程(14-9)的解为y-t

曲线以上逆两种攻情况宪均不甩属振晃动，狗位移平时程刃曲线秀（y-猜t曲线）表示万体系魄从初症始位汪移出滋发，项逐渐狗返回前到静玻平衡拉位置俱而无舰振动赚发生誉。y(t)不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻尼系数§14壶-3单自匀由度柴结构凳的自厌由振拖动强迫酿振动宣：结构滤在动营力荷盘载即凤外来巾干扰撑力作奖用下杯产生身的振芒动。设质研点m受干害扰力F（t）作蜓用，粮则质呀点m的动框力平鬼衡方虑程为择：即：或(14-18)§14气-4单自绵由度陶结构尸在简罗谐荷蝴载作月用下摩的强莫迫振深动方程享的解科包括浴两部多分：丹对应振齐次洁方程星的通盖解和季对应愚干扰灵力F(浩t)的特冬解(14-18)通解特解随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：(14-19)其中为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式(14-18)写为：(14-20)设方程的特解为：（b）（a）§14桨-4单自扶由度速结构属在简唱谐荷津载作指用下狮的强赶迫振耍动式(b深)代入杠式(1偶4斥-2死0)，得宿到式(a叼)+式(b怕)，并吩引入悠初始艇条件究，得匹到(1离4-肯21棚)由初膜始条坊件决位定的深自由太振动伴生习自由吐振动按干忍扰力耻频率θ振动绍的纯柄强迫驴振动凉或稳疑态强驼迫振催动由初守始条铸件决跟定的方自由导振动完阶段切和伴急生自昂由振划动阶烘段会欧随时夸间很秃快衰灭减掉蹄，故梨称为帅过渡望阶段勤；最竿后只废剩下包按干转扰力锡频率田振动念的纯栗强迫井振动刊，故察称为祥平稳那阶段票。实扫际问滑题中火，一舍般只菠讨论况纯强据迫振醉动。§14振-4单自停由度贞结构例在简熟谐荷设载作鸦用下秤的强阿迫振姐动1.不考圆虑阻哨尼的犁纯强讽迫振弹动(1帝4-亡22唱)因此潮，最盗大动灿力位钱移（些振幅窗）为(1新4-坦23龙)其中:代表冬将干诵扰力干最大雷值F作为状静载成作用馒于结舱构上轧时引哭起的俗静力翅位移位移除动力忌系数，代饱表最已大动步力位哑移与哑静力净位移季之比当θ<宾ω时，μ值为兰正，神动力科位移讽与动浪力荷术载同贱向；录当θ>纲ω时，μ值为上负，摔表示递动力酬位移攻与动鬼力荷糟载的渐指向石相反,这种幼现象乔仅在银不计蹄阻尼完时出肝现。§14化-4单自俯由度摄结构悉在简抖谐荷郊载作辨用下剪的强票迫振脊动

动力反应谱（动力放大系数μ随频比θ/ω变化的关系曲线）动力钳放大惕系数μ的大溉小反侮映了肺结构宾动力椅反应眉的强疼弱。背单自肌由度堤结构脚，当竭干扰册力与凝惯性葵力的店作用修点重眠合时存，位采移动灰力系趟数与灿内力左动力哑系数架是完拖全一断样的融。当，通常,当动雪力荷弦载(即干婚扰力)的周期大于培结构嘴自振枯周期亿的五、娃六倍以上付时，护可将傍其视为蜻静力租荷载。(1呼)当θ<<ω时，隐即θ/ω→0，这时μ→1。这种不情况亚相当坊于静掉力作准用。§14梳-4单自来由度蚂结构核在简命谐荷搭载作睁用下伪的强黄迫振骗动

动力反应谱(2喘)当θ≈ω时，塌即θ/泊ω≈1，这时μ→∞。即振班幅趋险于无述限大,这种辅现象孩称为共振闭。2)实际贫上由凶于阻默尼的牛存在单共振厅时振敬幅不耐会无粘限增神大。1)共振徐现象叹的形同成有赴一个党过程伟，振资幅是趟由小裂逐渐热变大出的。注意:3)应避训开0.待75六<θ/当ω<1膏.2量5共振往区。(3烛)当θ>地>ω时，来即θ/溪ω>>唉1，这时μ值为选负值,并且碗趋近毁于零渐。这表访明高陷频简扶谐荷镜载作粱用下懂，振猪幅趋叔近于愈零，炎体系复处于饼静止授状丈态。工程闲设计畜中，家要求划的是津振幅鼓绝对遥值,动力拉反应故谱中θ/粉ω>1部分状的μ画在增横坐筑标的叼上方献。注意:§14永-4单自拘由度伍结构锡在简凯谐荷永载作喷用下享的强揉迫振阳动在单桶自由嘉度体受系上侧，当炊干扰抱力作毯用在装质量刚上、许扰力税作用之线与天质体洪的振妥动位堪移方稼向重介合时卧，其侧位移孙动力腾系数机与内蝴力动导力系倘数是馅完全哀相同畅的，帮结构挎的最璃大动低内力轮可以梳采用想动力等系数饱法求窄得。如果棕干扰印力不腹作用叶在质鱼量上址，体蛾系的牵位移颜和内丘力没你有一眯个统梯一的崇动力际系数书。这杜种情困况下许的结子构动善内力帜、动债位移傻的计加算，打可用建立寸动力颜微分拌方程绵的方法寺计算群。见书P8骑9图14记-1础5§14颗-4单自决由度既结构挤在简吴谐荷渗载作滩用下途的强良迫振蜓动解：践在发沿电机塔重量害作用秧下，术梁中点的搂最大兴静力婶位移至为：故自偿振频们率为例14坊-2简支洪梁中寇点装李有一裹台电在动机输，电电动机栽重量G=35斧kN。已蚕知梁晒的惯大性矩I=8捕.8×10-5m4，E=2庙10险GP俯a。发溜电机护转动杰时离健心力魄的垂迟直分泡力为F=si猎nθt，奏且F=贝10楚KN。不胖计阻唇尼，矿求当务发电乱机每鬼分钟腰转数矿为n=考50窄0r作/m旗in时，阿梁的灶最大晓弯矩恩和挠壶度。干扰浑力频腥率:动力病系数:梁中司点的斗最大慕弯矩昌为梁中画点的禽最大电挠度惊为§14阶-4单自芒由度痛结构怒在简风谐荷缠载作尘用下碑的强事迫振灵动质体反的动乒位移y(t)是以叉静力魄平衡昌位置狸为零慢点来番计算灯的，叮因此y(t)中不塔包括始质体臣的重把力影烧响，与但在丹确定接质体倘的最金大竖妙向位挪移时舒，应订加上确这部杯分（Δst=δ11G）的影兵响。注意让：§14和-4单自拆由度丹结构扮在简屈谐荷崇载作懂用下饭的强逮迫振邻动运用图乘法可求得

(a)

(1存)设惯嘉性力探和动粥力荷没载分碍别为各单位漫力和朝单位汁力偶经作用务在体朱系上例，并棕绘出购相应璃的弯未矩图.例14醒-3图示正简支速梁跨菌中有崇一集旬中质俱量m，支座A处受孝动力捉矩Msi桨nθt的作序用，不计属梁的杀质量侨，试堪求质及点的励动位宏移和沃支座A处的踏动转日角的衣幅值怀。解：耳该体附系不清能直铲接用桌放大焰系数击求动汽位移饶，可袜由建滥立体趋系的镇振动哄方程长来求洋解。§14效-4单自惊由度蜜结构匹在简渔谐荷骂载作咳用下化的强忧迫振脱动式中

代δij入上式，经整理后得(b)解式(b)得稳态解为(c)(2记)根据叠加北原理列出抖动位正移质点焰的动苹位移很是惯浅性力FI(t)和动退力荷慎载共兄同作宪用下倡产生跃的，狗按叠醋加原剃理可社表示谊为§14摆-4单自忠由度趟结构斤在简块谐荷爽载作仁用下谁的强希迫振彩动这说炊明质建体动篇位移秋尚可卡应用李放大芳系数车计算。质点的动位移幅值为，其中为动荷载幅值M所引起的质点静位移yst，μ动力系数。支座A处的邀动转熊角也下是由胳惯性僚力FI(t)和动雁力荷棵载共尝同作呆用下心产生者的，历按叠也加原迁理可化表示纹为由稳能态解窜式(c颂)可知§14解-4单自敲由度桑结构阅在简纳谐荷嗓载作浮用下碧的强蚀迫振外动对式(c哑)求导位两次政后代风入上右式，麦可得将式(a默)和F*=3M/l代入洪上式,得(c)§14伞-4单自穿由度钓结构文在简还谐荷必载作卧用下躁的强念迫振学动可见,质点欲位移珠的动号力系神数μ和支泡座处邻动转腾角的桑动力惨系数μφ是不槐同的肚。支座A处的动转角幅值为,

为动荷载幅值M所引起的静转角，μφ为该动力系数。其中而动荷屠载不宁作用锻在质催量上缴时，幻玉体系丝式不能跨用一军个统洞一的娃动力幻玉系数少来表慕示。§14该-4单自阅由度党结构摇在简币谐荷吓载作务用下印的强馅迫振相动由式(14-21)的第三项，有：命（14-27）（14-28）令潜和子，则膨振幅A可写狼为（14-29）2.有阻殃尼的模强迫老振动§14塌-4单自擦由度胸结构插在简穴谐荷密载作压用下录的强烤迫振脚动动力冒系数μ不仅罢与频练比β有关遥，而种且还渔与阻直尼比ξ有关广。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在0.阴75删<β<1欣.2趣5共振故区范董围内呜，阻各尼力表大大陡地减递小了μ的峰播值。但地在这特范围芳以外兵，阻扭尼对μ的影另响较听小，狂可按严无阻博尼来役计算竟。当θ>>ω时，召则μ很小爬，表克明质怖量m接近印于不授动或液只作炒极微临小的扰振动取。(1仔)阻尼铅对简什谐荷疲载的蜂动力门系数μ影响监较大简谐炎荷载控作用寒下有碌阻尼尿稳态谋振动倒的主哥要特甚点：§14胃-4单自乐由度阶结构列在简姨谐荷乳载作绝用下亮的强保迫振就动(2肿)在β=1的共壳振情纵况下,动力喘系数梢为动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在考群虑阻炎尼的亦影响族时，笨共振宇时动逮力系螺数不剑是无样穷大,而是羡一个荒有限瘦值。陡在研故究共住振时醋的动跑力反失应时胜，阻垄尼的小影响狡是不剪容忽虫略的爸。§14唇-4单自灭由度残结构烘在简元谐荷傍载作庄用下冶的强浊迫振扒动

用求极值的方法确定μ的最大值发生在处,因ξ的值通常都很小，近似地将β=1时的值作为最大值。(3睛)μ最大认值并请不发虹生在β=1处。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图§14损-4单自册由度什结构副在简嫁谐荷认载作该用下擦的强吩迫振警动当β<1时，0<φ<π/2；当β>1时，π/2<φ<π；当β=1时，φ=π/2。(4竞)阻尼慰体系扶的位潜移y(t)=As斗in(θt-φ)和干揭扰力F(t)=屯si页nθt不同菌步，其相务位角枝为φ。只要铜有阻昆尼存嚷在,位移是总是捷滞后稀于振发动荷乔载。§14押-4单自因由度膏结构址在简束谐荷茄载作霉用下患的强紫迫振瓶动共振城时,φ=π/2,位移煮方程拖式为y(t)=–ystμcosθtμ=争1/陵(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξm傲ω阻尼笼力为注意口到共诉振时可见戴共振池时干唇扰力硬与阻网尼力景互相锄平衡伯。共振突时受糊力特丹点讨扶论:§14吨-4单自务由度利结构盏在简尽谐荷售载作胆用下互的强肢迫振合动为了狭减小限动力浆放大绞系数μ，当β=θ/背ω<1时（阔称为规共振缺前区阔），钻应设绩法加析大结且构的厚自振钳频率ω。这种麦方法齿称为堂“刚但性方姐案”吗。当β=θ/谅ω>1时称胶为(共振父后区)，这班时，线应设坚法减线小结墨构的唤自振想频率ω。这种旷方法腾称为机“柔统性方透案”雹。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图讨论据：§14保-4单自疾由度汗结构填在简夸谐荷何载作捏用下想的强贺迫振坊动采用康冲量咱方法哑首先扣讨论帽瞬时泊冲量删的动拐力反毫应，厘在此愧基础央上讨垒论一汪般动辉力荷处载下震的动章力反罩应。1.强迫林力为桂一般污动力青荷载--无阻齿尼(1烛)瞬时倡冲量策的动娃力反套应假定舌冲击吨荷载遗作用倡之前市体系裂的初垄位移跳及初宿速度幼均为叔零。由于月荷载溜作用效时间洽极短储，可棚以认汇为在疫冲击扎荷载远作用完毕拨的瞬透间，哭体系现的位狐移仍真为零您。但换冲击刑荷载忌有冲幻玉量，登可以眉使处骨于静说止状槽态的称质点押获得踩速度仅而引折起自争由振忙动。思考尤：体系庭在冲罪击荷翻载作迫用下茶获得泳的是授位移直还是月速度敏？§14倡-5单自遥由度声结构构在任仆意荷扇载作逗用下荡的强塘迫振浩动根据隔动量丛定律庸，质黑点在峡瞬时举冲量F·快Δt作用唉下的绿动量榴变化就为由于v0=0,所以有原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为的自由振动问题。由(14-30)得§14掉-5单自装由度兔结构胡在任富意荷笑载作众用下败的强丹迫振蝇动若冲洲击荷的载不皱是在t＝0，而是贷在t＝τ时作备用，爸则上怨式中抛的t应改划为(t规-τ)。(14-31)

由式(1分4-痕30脉)可得割在t＝τ时作碌用瞬吉时冲筐量S引起将的动辽力反宫应。(14-30)§14贩-5单自馅由度苍结构愉在任终意荷他载作削用下发的强骆迫振塌动(2馋)一般被动力贺荷载F(t)的动饶力反病应。把整逆个加均载过苗程看缎成是柜由一喘系列圈瞬时朝冲量通所组者成的厘。在酷时刻t＝τ作用骄的荷盟载为F(t)，此荷蚁载在炭微分隐时段dτ内产酬生的妥冲量晒为dS=F(t)·dτ。根据残式(1坊4-霉31联)，此伏微分跪冲量父引起恐的动途力反炉应为盆：(g)对加垦载过糖程中葛产生吊的微法分反啄应进四行叠谢加，逝得出宰总反逐应如父下：——称为杜哈降梅(Du热ha孕me臣l)积分。

(14-32)§14响-5单自灶由度辜结构例在任谷意荷狮载作可用下参的强是迫振焦动——棍(1伍4-掉33副)式中观第一骆、二窄项代趋表自作由振唇动部惨分，践第三额项代多表强粪迫振叨动部勤分。(14-32)如果顿初始开位移y0和初刃始速佛度v0不为乖零，区则总可位移搏应为尿：§14南-5单自痒由度柜结构土在任赞意荷扒载作最用下母的强诸迫振缩慧动2.几种抵动荷裤载的送动力讲反应(1粘)突加臂长期赴荷载o

F(t)t0F突加填长期易荷载更就是湿指突解然施啦加于网结构鸡并继气续作包用在爬结构奋上的卷荷载佳，它琴可表漂示为宇：如果航原结泼构的稳初始盟位移泽和初帅始速摇度都依等于胞零，敬将式原（h）代入朋式(9补-3摧2)并进鹅行积我分后芬，可冠得动剑力位下移如奇下：（h）

(14-34)

(14-32)§14刊-5单自雅由度茎结构乌在任她意荷口载作竿用下下的强穿迫振拘动当t=T/2时，[y(t)]ma丸x=2yst，动力勺系数们为μ=2。位移时程曲线图

(14-34)

式中表示在静力荷载F0作用下所产生的静力位移。当突瞎加荷辛载作染用在捕系统饱上的舌时间歇超过t=T/2时就浊算作票长期没荷载,这时或引起挡的最瞧大动也力位差移为古相应借静力电位移跟的两断倍。§14苍-5单自轧由度赴结构跟在任御意荷违载作忧用下速的强龙迫振且动其特宗点是卖当t=0时，敞在质档体上锋突然辫施加顿常量仍荷裁F0，而且咱一直期保持径不变紫，直钱到t=t1时突钩然卸裕去。(2松)突加慢短期扯荷载体系轿在这良种荷迎载作诉用下推的位苍移反雨应，预可按讲两个未阶段骨分别比计算显再叠至加。第一除阶段兵（0≤t≤t1）：此阶红段与矿突加决长期抛荷载漏相同振，因颤此动棕力位孙移反币应仍龟按公绑式(9册-3铲4)计算疯。荷载今可以书看作秤突加在长期涛荷载F0(图中书坐标蒙上方董实线亲及所雁续虚冈线部立分)叠加托上t=t1时突控加上果来的暴负长育期荷滚载(－F0)(图坐咸标下过方虚榆线部粗分)。§14敢-5单自震由度岸结构经在任炒意荷般载作秋用下辞的强绑迫振汽动(14-35)第二兆阶段(t≥t1)：荷载条可以秒看作清突加啄长期胆荷载F0(图中漏坐标淹上方唐实线洞所续评虚线剩部分)叠加亚上t=t1时的与负突碑加长累期荷倾载(-F0)(图9中坐永标下恢方虚乏线部休分)。当t≥t1时，滨有第一配阶段逝（0≤t≤t1）与突架加长跃期荷橡载相虏同，上动力汪位移丽反应摇为§14捐-5单自松由度虹结构吵在任详意荷副载作效用下蜓的强蝴迫振护动质点腔位移霜反应豪可分袍为两矿个阶雪段按役式（14计-3恋3）积颈分求课得。(3趋)爆炸妹冲击作荷载变化弯规律各为第一纱阶段（0≤t≤t1）§14免-5单自相由度习结构宝在任厚意荷垃载作朵用下杂的强皱迫振绕动——币(1该4-递37干)第二幕阶段论（t≥t1）当(t1／T)>0.初4时，最大按位移猴反应颂在第形一阶秀段出怒现，否则物就出确现在谎第二锋阶段忽出。从前躬面几罢种动氏力荷容载作太用下仍单自被由度对体系垦的位批移反仅应可知，膊最大柳位移驴反应邀与与t1／T有关搭。最大籍位移王反应或可用虫速度丙为零猪（即防位移乡丰的导挑数）梳这个于条件穗下的皂时间馋值来摊计算凯。§14拢-5单自掌由度焦结构泳在任张意荷周载作堂用下肌的强捷迫振穴动3.当强级迫力衣为一丝式般动钩力荷洋载情赛况--有阻糠尼有阻朝尼体亏系在哭一般煤动力韵荷载F(t)作用残时，损其动慨力位难移也涂可表着示为牲杜哈换梅积咽分。由于瓣冲量S=mv0，故在榆初始呀时刻便由冲叛量S引起能的振老动为（9-46）单独由初始速度v0(初始位移为零)所引起的振动为§14薪-5单自霸由度罚结构内在任胁意荷译载作基用下垂的强链迫振衣动把一遇般动区力荷宣载F的加已载过驴程看尼作是廉由无超限多盯个瞬岩时冲梦量所项组成贵，对t=τ到t唐=τ+dτ的时姑间分泰段上丸的微召分冲紫量dS=F(τ)dτ来说乏，它黑所引艳起的窑动位椒移为(t>τ)积分婚后即第得开爪始处袋于静甘止状四态的售单自挖由度直体系讲有阻圆尼的灯受迫井振动堂方程夹为(1夸4-敢47裕)§14共-5单自迁由度蔽结构炮在任羊意荷属载作忽用下污的强涉迫振贫动如果箱还有军初始临位移y0和初扯始速璃度v0，则总悬位移眼为(1池4-刚47乏)(1拒4-乏48莲)这就印是有陕阻尼迎情况依下的休杜哈势梅积涉分。§14脾-5单自衬由度结结构旱在任楼意荷介载作歌用下保的强骆迫振童动工程公实际雷中有款很多谋结构胸是不督宜简萄化为烈单自脉由度符体系嗓计算巴的。荣例如险多层病房屋从、多恳跨不扬等高筝工业泪厂房连以及遮烟囱晃等,都必邻须按珍多自疗由度东体系宰来处寸理。图示帜等截墓面烟找囱，它将其帮分为佳八段泰，从仪上到郑下将浴每两申段的疾质量杰集中孤于其爱中点路，将爆一个些无限箩自由足度的根体系敬简化挺为四泰个自乒由度恳体系侦。§14疮-6多自皇由度殿结构肆的自功由振困动图示边简支卖梁的伞自重批略去土不计,体系缓有n个振辣动自伶由度瞒，y1、y2、…、yi…、yn分别伍代表石这些拌质点随自静殊平衡倾位置始量起来的位镜移。1.振动臂微分佣方程曾的建薪立（匹刚度苏法、甩柔度拌法）刚度润法（1）首矩先加针入附元加链述杆阻扎止所茅有质邻点的吊位移,则在疼各质易点的陷惯性塑力作用食下，炉各链馒杆产逃生和架惯性雄力大暗小相吉等、扬方向愈相反斥的反港力；可按盐照位畏移法纵的步嚷骤来仿处理§14勿-6多自最由度蠢结构泥的自那由振乘动（2）其碗次令渗各链肺杆发世生与搁各质命点实沃际位塌置相矮同的副位移叙，此贴时各祝链杆遍上所矮需施眠加的力养为FRi(i=1林,2肝,…济,n维)。（3）不辰考虑胶阻尼帅时，嫌将上策述两眠种情溉况叠趋加，直各附拿加链膊杆上桂的总呢反力歉为零纵，由蛇此可列恳出各执质点算的动粒力平惑衡方争程。计以质缺点mi为例鞠：即：§14障-6多自驶由度论结构车的自叫由振段动

(14-46)同理追，体工系中沙的每炎一个夺质点珠都可赵以列伴出相奖应的梢动力畅平衡妖方程头式，毫有写成厨矩阵痰形式疤：(14-48)简写为：§14膨-6多自例由度刑结构群的自录由振谨动Y和Ÿ分别哗是位起移向贷量和湖加速泉度向倍量：M和K分别胶是质创量矩侍阵和症刚度移矩阵唤：§14兵-6多自氧由度艺结构思的自岂由振搭动体系四中某钻质点i产生筛位移yi可看什成是扑系统锻内各百质点企运动互时的踢惯性丢力共丘同引夏起的抬。即柔度坚法考虑决每一承个质锋点的译位移柏，可秆得一掌组运效动微恭分方糖程式救：FI1，FI2，…，FIn为质丧点1，2，……笑n的惯宅性力饮。体系洒的柔换度系偏数δij为作猾用在禁质点j上的片单位季力引率起质渣点i的位盖移。§14衰-6多自名由度炮结构剂的自愧由振进动写成查矩阵悲形式旺：δ称为赵体系痛的柔垒度矩垮阵,I—单位张矩阵控。或(14-51)所以藏，由柱刚度津法建核立的公式捉（14饼-4孩8）与吴公式预（14辽-5隶1）是完币全相转通的赞。因为客：§14慈-6多自压由度犯结构膀的自配由振末动设公蹈式（14草-5叶1）的特谅解为完：2.按柔遍度法原求解(14-51)即所挤有质舱点按络同一露频率信同一航相位岭作同着步简俯谐振购动，蜡但各顺质点哭的振晚幅值巩各不饶相同(1球4-志53苍)(14-54)有(f)柔度册法的狱振幅远方程§14遗-6多自芳由度捐结构互的自腹由振妈动柔度纤法的今频率书方程振幅陪向量A存在型非零霸解的闯条件高为(1弄4-繁56牢)(14-55)

根据频率方程可得到n个自振频率，将它们由小到大排列，分别称为第一，第二，…，第n频率，并总称为结构自振的频谱。注意:体系日自振险频率苗的个伙数和崇它的材自由及度数腰目相脂同。§14妨-6多自魂由度俘结构凝的自沟由振烈动此时各质点按同一频率作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一自振频率进行的简谐振动称为主振动，与其相应的特定振动形式称为主振型(振型)将代回式(14-53)，得到：(14-59)将n个自振频率中的任一个代入式(f)，得到特解为(1衣4-污57驰)§14骗-6多自迹由度歼结构下的自合由振折动n个主困振动斯的线发性组君合，捎构成僻振动馆微分眯方程副的一愈般解岩：(1市4-柱60势)和取决于初始条件。然而自振频率和振型与外因干扰无关，只取决于结构的质量分布和柔度系数，因而反映着结构本身固有的动力特性。由于此时系数行列式为零，因此n个方程中只有（n-1）个是独立的，因而不能求得的确定值，但可确定各质点振幅间的相对比值，便确定了振型。振型呆向量规准踢化振照型向锈量§14景-6多自弓由度屠结构势的自挽由振农动对于生两个少自由累度结芦构，押振幅侄方程烤（14起-5朴3）为阿：令纤，客将上采式展旷开得烟：频率恰方程岸为：(1先4-矛61茶)§14绒-6多自共由度登结构贷的自昨由振酬动两个述自振杯频率产为：(1沈4-倍62恩)两个胞主振咏型为测：(1饥4-栽63苦)(1窝4-溉64草)§14意-6多自相由度烧结构峡的自申由振吨动例14穗-3图示鲁简支搞梁在唉跨度蜘的三胃分之孤一处樱有两庭个大壳小相恶等的驾集中随质量m，试分星析其地自由色振动建。设称梁的剂自重垄略去烘不计削，EI＝常数首。解:择(1列)计算谊柔度腾系数δij§14乘-6多自毁由度沾结构色的自逗由振也动求得将δij和m值代人上式(2献)求频馆率：§14瓣-6多自袖由度证结构杨的自础由振粱动将ωi和δij值代皇上入炭式得第击一主折振型雷为第二壤主振率型为(3义)分析路振型§14惕-6多自过由度慢结构警的自州由振款动可以卵看出购，如撇果结从构本岸身和虏质量遮分布势都是腰对称永的，探则其午振型往不是汁正对培称的临便是片反对至称的浓。第一潜主振色型第二的主振性型§14药-6多自梁由度棉结构旱的自攀由振慈动例14挤-4图示鹿刚架夕，在回梁跨缺中D处和洲柱顶A处有升大小馅相等城的集源中质榴量m，支座C处为针弹性觉支承妻，弹春簧的假刚性死系数k=(顿3EI)/l3。试求自振所频率掌和振迟型。1.求柔曲度系较数解：嘉体系论有两没自由燃度，A处质窜点的达水平劈燕位移业和D处质俗的竖挤向位球移。绘制M1、M2图,由图挺乘及豪弹簧蠢内力扫虚功峡计算型得§14币-6多自济由度轿结构保的自胃由振良动2.写出圣振型典方程（a）3.写出公频率叠方程控，求西频率展开式为解得相应辣的频情率为§14弱-6多自堂由度皱结构建的自催由振董动当λ=夜λ1=27夸.0怪83时，皆设A1(1忽)=1,得第一田主振型为第二惭主振啊型为当λ=λ2=2.期91捐7时，竭设A1(2泪)=1，得4.求振谁型并愈绘出倡振型泉图由所贴得结利果绘示出振辽型§14挠-6多自袋由度胆结构受的自装由振名动3.按刚切度法叨求解(14-66)

(14-65)振幅继方程频率别方程将得到的n个自振频率代回振幅方程，得：(14-67)同样临可确枝定n个主熊振型附。对于辞两个婆自由愧度结寇构，模频率锣方程坛为：§14鲁-6多自炒由度暮结构盘的自顶由振臭动展开龙得：两个支主振煮型为晴：§14涛-6多自炸由度常结构穗的自掀由振注动例14傍-5三层薯刚架绑如图权所示丽。设桑自上乡丰到下红，各鱼层楼旷面的基质量(包括厚柱子耗质量)分别为m1=1糕80爱00钱0k矮g，m2=2偶70歪00融0k浩g，m3=2贪70扫00包0k廊g；各层烘的层返间侧骆移刚掀度(即该魔层柱良子上衔、下委两端聋发生屋单位悲相对用位移惜时，蓝该层耳各柱戚剪力警之和)分别为k1=9童8M悟N/腾m，k2=1市96记MN舌/m，k3=2忍45草MN寒/m。求刚挽架的厘自振抢频率程和振型。伸设横哄梁的担刚度EI＝∞。解:灭(1)求频指率。体系充的自碰由度句数为3。振型寒方程谅为频率才方程肾为§14励-6多自浩由度狭结构谨的自谱由振直动建立扮刚度集矩阵产和质呈量矩浙阵由图b可得：

由图c可得：

由图d可得：

§14膜-6多自阿由度率结构茅的自捐由振扔动得刚没度矩如阵：质量虫矩阵缺为：§14鸽-6多自辈由度誉结构惹的自劣由振持动频率扒方程饮：引入符号η

,则展开龄式为§14烫-6多自讯由度宜结构援的自尊由振绪动解方程得：由求得三个自振频率为：§14源-6多自顾由度脾结构微的自斤由振钱动将代入式(K-ω2M)φ=0，为求标准化振型，规定φ1(j)=1。2.求振旬型：第三振型第二振型第一振型§14扯-6多自然由度犹结构朋的自李由振歪动(4送)与单灭自由庆度体成系相移同，距多自稳由度灯体系底的自支振频步率和今主振情型也念是体努系本晨身的骂固有翁性质炸。对于购多自解由度购体系:(1顷)在多田自由夫度体古系自疼由振波动问义题中扫，主肚要问眠题是获确定盒体系狮的全抛部自服振频铁率及梯其相病应的冻主振活型。(2幼)多自井由度群体系球自振淘频率煎不止性一个完，其变个数执与体刻系自呼由度越的个是数相辞等。膛自振培频率喘可由垂特征把方程室求出盛。(3疼)每个告自振菜频率鞠有自码己相撕应的宜主振网型。绞主振庭型是映多自渴由度裂体系委能够韵按单谷自由骆度振泳动时祥所具诞有的化特定天形式饿。§14边-6多自裙由度揉结构临的自竞由振殊动对上墨述两膀式分万别两冰边同然时左刷乘攀和隶，塘有对其储中任柜两个墙不同毫的主显振型扔向量Xi和Xj，有4.主振悔型的蒙正交副性n个自雕由度姿结构锐具有n个自趋振频学率及n个主禾振型孙，每郊一频属率及蚁其相划应主文振型阻都满牙足(14-67)(b量)(a罩)(d口)(c古)（d）式凯两边弊转置彼，有(e祖)（c）式-（e）式贿，有§14示-6多自溜由度要结构挺的自帖由振夹动当(i≠j)时，虏有这说激明，滨对于授质量及矩阵M，不栏同频纷率的纪两个蛇主振粪型是菜彼此阻正交菜的。同理潜可以步证明豪，对右于质伏量矩飘阵K，不梅同频置率的凭两个腥主振通型彼脸此也搏是正叨交的除。对于壁标准哄化的赞振型凭向量护，也紫同样导具有客正交方性，救即振型议正交施性的纳物理抄意义:体系伴按某砌一振财型振汤动时益，它催的惯虎性力易不会之在其盒它振身型上什作功骡。也冲就是踏说它末的能着量不胁会转窄移到册其它估振型似上去婚，说宫明各狸个主飞振型宾都能样够单准独出储现，留彼此购线形缴无关品。主振扬型的死正交绳性是阅结构聚本身叙的固拐有特杂性，核它不要仅可绘以用记来简份化结劣构的呜动力伸计算顿，而促且还要可以短用来抓检验冠所求食的主筐振型嫌是否善正确潮。§14耕-6多自除由度灭结构霸的自帜由振户动计算撒结构贱在动遥力荷漫载作沾用下亦的位戏移和踪蝶内力,即结猪构的射动力帜反应镇。本趴节只奴研究倡结构束在简托谐荷港载作宵用下夸的动逐力反污应问鼓题。明求解饭的方锹法只扮讨论耍直接枯法。若干撒扰力闻频率冠处于尼共振转区以泥外，尾则阻淋尼的没影响怠不大项。本傍节不迈考虑坑阻尼勉。体系兆强迫社振动屋要解荐决的愧问题§14仅-7多自殃由度驶结构率在简糖谐荷相载作涌用下疾的强湾迫振姜动振动标过程木中的夸任一摇时刻t，引起醋体系材位移针的力熊有两旗种：1.各质舞点的么惯性层力FI1(t)、FI2(t)、…、FIn(t)2.干扰蝴力F1si肾nθt、F2si桶nθt、…、Fksi估nθt一、决柔礼度法束建立盲振动逗微分晕方程驱式体系省中任渗一质墙点mi的位姐移yi为：yiP为所纤有干筹扰力冈在质盲点mi处引肥起的从位移挨。§14歪-7多自铜由度因结构非在简料谐荷旺载作级用下持的强徒迫振怪动动力镜荷载惧达到疯最大押值时亭在质萄点mi处所睬引起新的静娇力位附移。注意摔到F(t)=－miÿi，有对于n个自堂由度窃体系浮，可旋以建袜立n个这椅样的滥方程困。写成厦矩阵织形式挪为：δMÿ+y=∆Psi吹nθt(1胃4-产73耳)(1萌4-截72痕)∆P=[∆1P∆2P…∆nP]T为动它荷载吼幅值掉引起傲的静扇力位求移列蛇向量晶。δ为结厉构的嘴柔度咽矩阵饰。§14换-7多自碍由度超结构捎在简估谐荷挪载作筛用下脉的强瓦迫振瓶动是一斯个非结齐次屿线性牧微分栏方程厘组。泉它的常一般缩慧解由阴两部医分组阿成：胃一部慰分是伶对应讯齐次贫微分彩方程窝的解唤；另菊一部饲分则负是某惕一特也解。岔齐次拐解对译应于狼自由谋振动阴部分竭，这眼部分晓将很株快衰包减掉翻。在撇研究鲜强迫想振动毕问题削时，组着重妈讨论肠式(1端4-刻79坚)的特悄解,即稳乏定强私迫振拌动的呈解。δMÿ+y=∆Psi泄nθt(1惹4-咱73免)设方环程的疤特解法为：y=Asi姻nθt(1谎4-鸦74令)A=[A1A2…An]TA为强坦迫振戴动位或移幅寺值列爸向量菜：A1、A2、…迁、An.将y连同ÿ=－Aθ2si微nθt代入塔式(1庸4-俯73乓)，化泰简后槽得(14-76)解方敏程组及可求器出各犬质点牛在纯感强迫闪振动嫂中的颈振幅巧：由式(1像4-潮74伙)可得困各质粪点的会振动接方程店。§14淘-7多自织由度慕结构志在简盖谐荷姜载作酷用下右的强住迫振重动令FI0=θ2MAFI=－Mÿ职=螺θ2MAsi铜nθt=FI0si亲nθtFIi0=巩θ2miAi(i=1,读2,…粱,贷n)y=Asi械nθtFI0称为