旋转专题训练

旋转专题训练------------------------------------旋转专题训练------------------------------------旋转专题训练旋转专题训练旋转专题训练一．选择题（共10小题）1．（2012•十堰）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③2．（2012•金牛区二模）如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A． B．6 C． D．2+3．（2012•武汉模拟）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E=∠BAC；④DC=DB+DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2006•绵阳）如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D：DB′=（）A．1：2 B．1：2 C．1： D．1：35．（2015•罗田县校级模拟）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15度得到△AEF，若AC=，则阴影部分的面积为（）A．1 B． C． D．6．（2015•松北区一模）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一个锐角α到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则旋转角α的度数为（）A．40° B．50° C．30° D．35°7．（2015•梧州二模）如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心顺时针旋转，使点A刚好落在AB上（即：点A′），若∠A=55°，则图中∠1=（）A．110° B．102° C．105° D．125°8．（2015春•成武县期末）将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A． B． C． D．9．（2015春•张家港市校级期中）如图，将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．310．（2015春•鄄城县期中）如图所示的各图中可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的图形的是（）A． B． C． D．二．填空题（共9小题）11．（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．12．（2011•莱芜）如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为．13．（2011•宜宾）如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正确的是（写出正确结论的序号）．14．（2010•梧州）如图，边长为6的正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转30°后得到正方形EBGF，EF交CD于点H，则FH的长为（结果保留根号）．15．（2007•衢州）一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是．16．（2002•济南）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．17．（2015春•崇安区期中）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=5，PC=4，则∠APC=°．18．（2014•绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．19．（2014•历下区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么=．三．解答题（共8小题）20．（2015•游仙区模拟）如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB．（1）判断△ABE形状？并说明理由；（2）若AB=2，AD=3，求PE的长．21．（2015春•肥城市期末）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD与BC上，∠EAF=45°．（1）求证：EF=DE+BF；（2）作AP⊥EF于点P，若AD=10，求AP的长．22．（2015秋•罗田县期中）如图所示，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想AM与GN有怎样的数量关系？并证明你的结论．23．（2015秋•云浮校级期中）如图，点P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转，使其与△CBP′重合，若PB=3，求PP′的长．24．（2014•江西模拟）正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是，∠AFB=∠（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．25．（2014•重庆模拟）如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=5，求梯形ABCD的周长；（2）求证：ED﹣FC=BE．26．（2014•无棣县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=8．AD=6．将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°，转动3s后停止，则顶点A经过的路程为多长？27．（2014春•海门市校级期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD=EF．求证：∠EAF=∠BAD．

2015年12月23日526564352的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2012•十堰）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．【解答】解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选：A．【点评】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．2．（2012•金牛区二模）如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A． B．6 C． D．2+【考点】旋转的性质；正方形的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】由边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，可求三角形与边长的差B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．【解答】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，∴B′在对角线AC上，∵AB=AB′=2，在Rt△ABC中，AC==2，∴B′C=2﹣2，在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=2﹣2，在直角三角形OB′C中，OC=（2﹣2）=4﹣2，∴OD=2﹣OC=2﹣2，∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=4+2﹣2+2﹣2=4．故选A．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接B′C构造等腰Rt△OB′C是解题的关键，注意旋转中的对应关系．3．（2012•武汉模拟）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E=∠BAC；④DC=DB+DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】压轴题；转化思想．【分析】（1）设∠1=x度，把∠2=（60﹣x）度，∠DBC=（x+60）度，∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；（2）根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°﹣60°=60°，可知DC平分∠BDA；（3）由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．（4）由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．【解答】解：①设∠1=x度，则∠2=（60﹣x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60﹣x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°﹣60°=60°，∴DC平分∠BDA；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+BA．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、圆周角定理等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．4．（2006•绵阳）如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D：DB′=（）A．1：2 B．1：2 C．1： D．1：3【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】旋转60°后，AC=AC′，旋转角∠C′AC=60°，可证△ACC′为等边三角形；再根据BC′=CC′=AC，证明△BC′D为30°的直角三角形，寻找线段C′D与DB′之间的数量关系．【解答】解：根据旋转的性质可知：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=60°，∵旋转角是60°，即∠C′AC=60°，∴△ACC′为等边三角形，∴BC′=CC′=AC，∴∠B=∠C′AB=30°，∴∠BDC′=∠C′AB+∠AC′B′=90°，即B′C′⊥AB，∴BC′=2C′D，∴BC=B′C′=4C′D，∴C′D：DB′=1：3．故选D．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．5．（2015•罗田县校级模拟）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15度得到△AEF，若AC=，则阴影部分的面积为（）A．1 B． C． D．【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【分析】首先求得∠FAD的度数，然后利用三角函数求得DF的长，然后利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，又∵∠CAF=15°，∴∠FAD=30°，又∵在直角△ADF中，AF=AC=，∴DF=AF•tan∠FAD=×=1，∴S阴影=AF•DF=××1=．故选C．【点评】本题考查了图形的旋转以及三角函数，正确理解旋转角的定义，求得∠FAD的度数是关键．6．（2015•松北区一模）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一个锐角α到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则旋转角α的度数为（）A．40° B．50° C．30° D．35°【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=70°，再根据旋转得性质得AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′的度数即可．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=70°，∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转一个锐角α到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∴∠CAC′=180°﹣70°﹣70°=40°，∴旋转角α的度数为40°．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2015•梧州二模）如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心顺时针旋转，使点A刚好落在AB上（即：点A′），若∠A=55°，则图中∠1=（）A．110° B．102° C．105° D．125°【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先利用互余计算出∠B=35°，再根据旋转的性质得CA=CA′，∠ACA′=∠BCB′，∠B′=∠B=35°，则利用等腰三角形的性质得∠CA′A=∠CAA′=55°，于是利用三角形内角和可计算出∠ACA′=70°，则∠BCB′=70°，然后根据三角形外角性质计算∠1的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠A=35°，∵Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心顺时针旋转，使点A刚好落在AB上（即：点A′），∴CA=CA′，∠ACA′=∠BCB′，∠B′=∠B=35°，∴∠CA′A=∠CAA′=55°，∴∠ACA′=180°﹣2×55°=70°，∴∠BCB′=70°，∴∠1=∠BCB′+∠B′=70°+35°=105°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．（2015春•成武县期末）将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A． B． C． D．【考点】生活中的旋转现象．菁优网版权所有【分析】根据旋转的意义，找出图中阴影三角形3个关键处按顺时针方向旋转60°后的形状即可选择答案．【解答】解：将图绕中心按顺时针方向旋转60°后得到的图形是．故选：A．【点评】考查了生活中的旋转现象，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．9．（2015春•张家港市校级期中）如图，将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．3【考点】旋转的性质；正方形的性质．菁优网版权所有【分析】根据正边形的性质求出DM的长，再求得四边形ADMB′的面积，然后由旋转的性质求得阴影部分面积．【解答】解：设CD、B′C′相交于点M，连接AM，DM=x，∵将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，∴∠MAD=30°，AM=2x，∴x2+3=4x2，解得：x=1，∴SADMB′=，∴图中阴影部分面积为：3﹣．故选B．【点评】本题要把旋转的性质和正方形的性质结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，注意方程思想的运用．10．（2015春•鄄城县期中）如图所示的各图中可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的图形的是（）A． B． C． D．【考点】利用旋转设计图案．菁优网版权所有【分析】本题可利用排除法解答．根据A、C与D选项都不能绕一个顶点顺时针旋转90度相互重叠，即可做出选择．【解答】解：该题中A选项顺时针旋转不重叠，可排除；A、C选项顺时针旋转对角线是相交而不是重叠，可排除．故选B．【点评】本题的难度一般，主要是考查旋转对称图形的性质．二．填空题（共9小题）11．（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为1.6．【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．【解答】解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6．故答案为：1.6．【点评】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．12．（2011•莱芜）如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．【考点】旋转的性质；坐标与图形性质；勾股定理．菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型．【分析】如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③、④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨、⑩10的直角顶点为（36，0）．【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴图③、④的直角顶点坐标为（12，0），∵每旋转3次为一循环，∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），∴图⑨、⑩的直角顶点为（36，0）．故答案为：（36，0）．【点评】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键．13．（2011•宜宾）如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正确的是①②④（写出正确结论的序号）．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等；②根据ASA可得出△A1BF≌△CBE，再由A1B﹣BE=BC﹣BF即可得出结论；③∠CDF=α，而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等，所以DF与FC不一定相等；④用角边角证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE．【解答】解：①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）∴∠CDF=∠C1BF=α，故结论①正确；②∵AB=BC，∴∠A=∠C，∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，∴△A1BF≌△CBE（ASA），∴BF=BE，∴A1B﹣BE=BC﹣BF，∴A1E=CF，故②正确；③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，故结论③不一定正确；④∠A1=∠C，BC=A1B，∠A1BF=∠CBE∴△A1BF≌△CBE（ASA）那么A1F=CE．故结论④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查旋转的性质，其中涉及三角形全等的定理和性质：角角边证明三角形全等，全等三角形对应边相等．14．（2010•梧州）如图，边长为6的正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转30°后得到正方形EBGF，EF交CD于点H，则FH的长为6﹣2（结果保留根号）．【考点】旋转的性质；正方形的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】连接BH，将求FH长的问题转化到Rt△FBH中解决，根据旋转角，旋转的性质可求∠EBH的度数，已知BE=6，解直角三角形可求EH，从而得到FH的值．【解答】解：连接BH，由已知可得，旋转中心为点B，A、E为对应点，旋转角∠ABE=30°，∴∠EBC=90°﹣∠ABE=60°，由旋转的性质可得：△EBH≌△CBH，∴∠EBH=∠EBC=30°，在Rt△EBH中，EH=EB•tan30°=6×=2．∴FH=6﹣2．故答案为：6﹣2．【点评】本题考查了旋转角的表示方法，解直角三角形的知识．15．（2007•衢州）一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是45，135，165，30，75．【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题；分类讨论．【分析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算．【解答】解：分5种情况讨论：（1）当AC边与OB平行的时候α=90°﹣45°=45°；（2）AD边与OB边平行的时候α=90°+45°=135°；（3）DC边与OB边平行的时候旋转角应为α=165°，（4）DC边与AB边平行时α=180°﹣60°﹣90°=30°，（5）DC边与AO边平行时α=180°﹣60°﹣90°+45°=75°．故答案为：45，135，165，30，75．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．16．（2002•济南）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为1.44cm2．【考点】旋转的性质；勾股定理；相似三角形的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据△PSC∽△ABC，相似比PC：AC=2：4=1：2，可求S△PSC；已知PC、S△PSC，可求PS，从而可得PQ，CQ，再由△RQC∽△ABC，相似比为CQ：CB，利用面积比等于相似比的平方求S△RQC，用S四边形RQPS=S△RQC﹣S△PSC求面积．【解答】解：根据旋转的性质可知，△PSC∽△RSF∽△RQC∽△ABC，△PSC∽△PQF，∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，∴BC=5，PC=2，S△ABC=6，∵S△PSC：S△ABC=1：4，即S△PSC=，∴PS=PQ=，∴QC=，∴S△RQC：S△ABC=QC2：BC2，∴S△RQC=，∴SRQPS=S△RQC﹣S△PSC=1.44cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．据此得判断出相等的对应角，得到相似三角形，利用相似三角形的性质解答．17．（2015春•崇安区期中）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=5，PC=4，则∠APC=150°°．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有【分析】将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△CEA，根据旋转的性质得EC=BP=5，AE=AP=4，∠PAE=60°，则△APE为等边三角形，得到PE=PA=3，∠APE=60°，在△EPC中，PE=3，PC=4，EC=5，根据勾股定理的逆定理可得到△EPC为直角三角形，且∠CPE=90°，即可得到∠APC的度数．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△CEA，连EP，如图，∴EC=BP=5，AE=AP=4，∠PAE=60°，∴△APE为等边三角形，∴PE=PA=3，∠APE=60°，在△EPC中，PE=3，PC=4，EC=5，∴CE2=PE2+PC2，∴△EPC为直角三角形，且∠CPE=90°，∴∠APC=90°+60°=150°．故答案为150°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．18．（2014•绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为2．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，∴2BC=4，∴BC=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．19．（2014•历下区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么=．【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根据余弦的定义得到cosB==，设BC=3x，则AB=5x，再根据勾股定理计算出AC=4x，在Rt△HBC中，根据余弦的定义可计算出BH=x，接着根据旋转的性质得CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，所以根据等腰三角形的性质有B′H=BH=x，则AB′=x，然后证明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可计算出B′D与DC的比值．【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB==，设BC=3x，则AB=5x，AC==4x，在Rt△HBC中，cosB==，而BC=3x，∴BH=x，∵Rt△ABC绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，∴CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，∵CH⊥BB′，∴B′H=BH=x，∴AB′=AB﹣B′H﹣BH=x，∵∠ADB′=∠A′DC，∠A′=∠A，∴△ADB′∽△A′DC，∴=，即=，∴=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形相似的判定与性质以及锐角三角形函数．三．解答题（共8小题）20．（2015•游仙区模拟）如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB．（1）判断△ABE形状？并说明理由；（2）若AB=2，AD=3，求PE的长．【考点】旋转的性质；矩形的性质．菁优网版权所有【分析】（1）先根据旋转的性质得出△PAD是等边三角形，进而得出∠PDC=∠PAE=30°，∠DAE=∠DAP﹣∠PAE=30°，∠BAE=60°，又CD=AB=EA，结论显然；（2）连接CE，则△CPE是等边三角形，过点E作EF⊥BC于点F，算出EF、BF、CF，进而算出CE，而PE=CE．【解答】解：（1）△ABE是等边三角形，理由如下：由题意可知∠APD=60°，PA=PD，∴△PAD是等边三角形，∴∠DAP=∠PDA=60°，∴∠PDC=∠PAE=30°，∴∠DAE=∠DAP﹣∠PAE=30°，∴∠PAB=30°，即∠BAE=60°，又∵CD=AB=EA，∴△ABE是等边三角形．（2）过点E作EF⊥BC于点F，连接CE，∵△ABE是等边三角形，∴AB=BE=2，∠EBA=60°，∴∠EBC=30°，在Rt△EBF中，EF=1，FB=，∵AD=BC=，∴CF=2，在Rt△CEF中，=，∵∠CPE=60°，CP=PE，∴△CPE是等边三角形，PE=CE=．【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，难度中等．清楚旋转的特征是解答的关键．21．（2015春•肥城市期末）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD与BC上，∠EAF=45°．（1）求证：EF=DE+BF；（2）作AP⊥EF于点P，若AD=10，求AP的长．【考点】旋转的性质；正方形的性质．菁优网版权所有【分析】（1）延长CB到G，使BG=DE，连接AG，证明△ABG≌△ADE，即可证得AG=AE，∠DAE=∠BAG，再证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；（2）证明△ABF≌△APF，根据全等三角形的对应边相等即可证得AP=AB=AD，即可求解．【解答】解：（1）延长CB到G，使BG=DE，连接AG．∵△ABG和△ADE中，，∴△ABG≌△ADE，∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAF=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°．∴△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE，∴GF=EF=BG+BF，又∵DE=BG，∴EF=DE+BF；（2）∵AFG≌△AFE，∴∠AFB=∠AFP，又∵AP⊥EF，∴∠ABF=∠APF，∴△ABF和△APF中，，∴△ABF≌△APF，∴AP=AB=AD=AD=10．【点评】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．22．（2015秋•罗田县期中）如图所示，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想AM与GN有怎样的数量关系？并证明你的结论．【考点】旋转的性质；正方形的性质．菁优网版权所有【分析】先根据正方形的性质得到OB=OD，AD=AB，∠BDA=∠ABD=45°，再根据旋转的性质得OF=OD，∠F=∠BDA，GF=AD，则OB=OF，∠F=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△OBM≌△OFN，所以BM=FN，再利用AB=AD=GF，即可得到AM=GN．【解答】解：AM=GN．理由如下：∵点O为正方形ABCD的中心，∴OB=OD，AD=AB，∠BDA=∠ABD=45°，∵△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，∴OF=OD，∠F=∠BDA，GF=AD，∴OB=OF，∠F=∠ABD，在△OBM和△OFN中，∴△OBM≌△OFN（ASA），∴BM=FN，∵AB=AD=GF，∴AB﹣BM=GF﹣FN，即AM=GN．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．23．（2015秋•云浮校级期中）如图，点P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转，使其与△CBP′重合，若PB=3，求PP′的长．【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【分析】根据旋转不变性，可得BP=BP′，∠PBP′=90°，进而根据勾股定理可得PP′的值．【解答】解：根据题意将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP'重合，结合旋转的性质可得BP=BP′，∠PBP′=90°，根据勾股定理，可得PP′===3．【点评】此题考查了同学们的阅读分析能力和应用数学知识解决实际问题的能力，根据旋转不变性，得到∠PBP′=90°，是解答此题的关键．24．（2014•江西模拟）正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是BF，∠AFB=∠AED（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有【分析】（1）直接根据旋转的性质得到DE=BF，∠AFB=∠AED；（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，则∠PAE=45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；（3）根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2．【解答】解：（1）∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，∵DE=BF，∠AFB=∠AED．故答案为：BF，AED；（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，则∠D=∠ABE=90°，即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，∵∠PAQ=45°，∴∠PAE=45°，∴∠PAQ=∠PAE，在△APE和△APQ中∵，∴△APE≌△APQ（SAS），∴PE=PQ，而PE=PB+BE=PB+DQ，∴DQ+BP=PQ；（3）∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，∴△BMK为直角三角形，∴BK2+BM2=MK2，∴BM2+DN2=MN2．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．25．（2014•重庆模拟）如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=5，求梯形ABCD的周长；（2）求证：ED﹣FC=BE．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；梯形．菁优网版权所有【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠ECB=15°，然后求出∠DCF