中考数学高频压轴题突破-二次函数与相似三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages99页试卷第=page88页，共=sectionpages99页中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求点A、B，C的坐标；(2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和与x轴交于点A，C两点（A在C左侧），与y轴交于点B．(1)求抛物线M的解析式及A，C两点的坐标；(2)将抛物线M平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，直线交x轴于点N，点P为抛物线的顶点，在x轴下方是否存在点P，使得与相似？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，说明理由．3．如图，已知抛物线与x轴交于点点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标．4．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)求线段的最大值及此时点P的坐标；(3)若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P和点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点，与y轴交于点，连接AC，BC．点E是线段OB上动点（不与O、B两点重合），过点E作x轴的垂线l，设直线l与BC交于点D，与抛物线交于点P．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AP，当和相似时，求点P的坐标；(3)过点Р作，垂足为F，求面积的最大值6．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．(1)求这条抛物线的表达式；(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？(3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；(3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线经过点于，两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，若点是第二象限内抛物线上的一点，直线与相交于点，连接，，若的面积3，求点的横坐标；(3)如图②，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线交轴于点，点在平面内，以点，，为顶点的三角形与相似且时，请直接写出符合条件的点的坐标．9．抛物线过，，三点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，点K与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线上一点D在线段AK的上方，交AK于点E，若满足，求点D的坐标；(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动．是否存在这样的点P、Q，使得与相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线与x轴交于O，A两点，是抛物线的顶点，轴于点D．(1)求抛物线的解析式．(2)P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点P的坐标．(3)Q为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OQ，作轴于点E，是否存在点Q使得与相似．若存在，请直接写出点Q的横坐标的值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接，，当四边形面积取最大值时，求点P的坐标；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线上方抛物线上一动点，①连接，，，设交直线于点E，的面积为，的面积为．求的最大值；②过点D作，垂足为点P，连接，若以点D，C，P为顶点的三角形与相似，则点D的坐标为______．13．如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点和点，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在x轴上，且和相似，求点E的坐标；(3)若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．14．如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点．且．(1)求的值和抛物线的解析式；(2)已知过点A的直线交抛物线于另一点．若点在轴上，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，的外接圆半径等于．（直接写答案）15．已知抛物线经过，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；(2)求的余弦值；(3)直线与轴交于点，与直线的交点为，当与相似时，求点的坐标．16．如图，直线分别交轴、轴于点，过点的抛物线与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴交于点，连接交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)为抛物线上的一动点，直线交于点，是否存在这样的点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，已知，，抛物线经过、两点，交轴于点．点是第一象限内抛物线上的一点，连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？(3)试探究在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知，如图，抛物线与x轴交与A、B两点，点A在B左侧，与y轴交与点C．(1)若抛物线的对称轴为直线时求抛物线的表达式及点A、B的坐标；(2)在（1）的条件下，点D为抛物线在第一象限上的动点，连接OD，与BC相交与点E，若与相似，求点D的坐标；(3)把抛物线沿着直线翻折，得到抛物线；①抛物线的表达式为___________；（直接写出结果）②设，若抛物线与线段（包括端点）有唯一公共点，直接写出m的取值范围．答案第=page5151页，共=sectionpages5151页答案第=page5050页，共=sectionpages5151页参考答案：1．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为(2)存在，点E的坐标为，【分析】（1）令，，解方程即可；（2）根据二次函数解析式得到点D的坐标为，求得是以为斜边的等腰直角三角形，得到，如图，设交l于点G，根据轴对称的性质得到，根据相似三角形的性质即可得出结论．【解析】（1）解：在中，令，，解得，，∴点A的坐标为，点B的坐标为，在中，令，，∴点C的坐标为；（2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线，∴点D的坐标为；∵，，∴，∴是以为斜边的等腰直角三角形，∴，如图，设交l于点G，∵点E，F关于直线l对称，∴，∵，则，，∴．分两种情况讨论：当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n，则，，，将其代入中，得，解得，（舍去），∴，当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，，∴，将其代入中，得，解得，（舍去），∴，综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，∴点E的坐标为，．【点评】本题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．2．(1)抛物线，；(2)存在，抛物线的表达式为或．【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再令即可求得，两点的坐标；（2）由将抛物线平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线，设（），分当以及当两种情况讨论求解即可．【解析】（1）解：∵抛物线过点和，∴，解得，∴抛物线，令得，解得或，∵在左侧，∴；（2）解：在轴下方是否存在点，使得与相似，∵将抛物线平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线，∴设（），∵直线交轴于点，∴，∵，，∴，令中得，∴，∵，∴，当时，如图，有即，∴，∴即；当时，如图，有即，∴，∴即；综上所述，抛物线的表达式为或．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，待定系数法求抛物线，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．3．(1)(2)存在，(3)点P的坐标为或【分析】（1）由待定系数法求解即可；（2）找到点关于对称轴对称的点A，连接交对称轴于一点即为，求所在直线解析式，即可求解；（3）当与相似时，则或，故分分类讨论即可：①若，则，可推出点的纵坐标与点的纵坐标相同，由点为上方抛物线上的动点，得关于的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若，则，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，判定，，由相似三角形的性质得比例式，解得点的坐标，从而可得直线的解析式，求得直线与抛物线的交点横坐标，再代入直线的解析式求得其纵坐标，即为此时点的坐标．【解析】（1）解：抛物线与轴交于点，，，解得，抛物线的解析式为；（2）存在，如图：∵，关于对称轴对称，∴，∴，∴的最小值为，∴与对称轴的交点即为所求：由（1）可知，对称轴为：，，，，所在直线解析式为：，令，，，；（3）点，，，，在抛物线中，当时，，，，．，，当与相似时，则或，①若，则，，，点的纵坐标为2，点为上方抛物线上的动点，，解得：（不合题意，舍去），，此时点的坐标为；②若，则，，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图：，，，，，，，轴，，，，，，，，即，，，，，设直线的解析式为，令，解得：（不合题意，舍去），，把代入得：，此时点的坐标为，，综上所述，符合条件的点的坐标为或，．【点评】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．4．(1)(2)有最大值为，的坐标为(3)点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，，点坐标为，【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）设直线的解析式为，设点的坐标为，则点坐标为表示出，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．【解析】（1）将和，代入，，解得，该抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，把和，代入，，解得，直线的解析式为，设点的坐标为，则点坐标为，，，，当时，有最大值为；∴的坐标为（3）当时，，解得：，点坐标为，①当时，轴，，∴轴，点纵坐标是3，横坐标，即，解得，点的坐标为；轴，点的横坐标为2，点的纵坐标为：，点的坐标为，点的坐标为；②当时，此时，过点作于点，，，设点的坐标为，则点坐标为，则，解得：，点坐标为，，点坐标为，，综上，点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，，点坐标为，．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，运用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．5．(1)(2)(3)【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先判断只有当时，，利用相似三角形的性质得，设点P的纵坐标为m，则，表示出点P的坐标，代入函数解析式求解即可；（3）证明，可得，即当取得最大值时，最大，求出直线的表达式，设点，则点，表示出的长度，利用二次函数的性质求解即可．【解析】（1）把点B，C的坐标代入中，得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）令，解得，∴．∵，∴，∵轴，∴，∵，∴只有当时，，此时，，∴，设点P的纵坐标为m，则，∴，∴．将点P的坐标代入得，解得(舍去)或，则点；（3）在中，，轴，，，，，，，即当取得最大值时，最大，设直线的表达式为，将B、C两点的坐标代入，得，解得，∴直线的表达式为，设点，则点，则，，∴当时，取得最大值，最大值为4，故当时，最大，此时，即面积的最大值为．【点评】本题考查了待定系数法球二次函数的解析式、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，以及二次函数与几何图形结合的能力，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．(1)(2),当时，有最大值(3)存在，或【分析】（1）将，，代入，即可求解；（2）利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点E和点G的坐标，从而得出EG再根据解直角三角形求得EF，根据二次函数的最值即可得出答案；（3）分和两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点G的坐标．【解析】（1）由题意得，∴∴；（2）设直线的表达式为，∵过点，，∴，∴，∴直线的表达式为，∴点的坐标为，点的坐标为，∴，∵，∴，∵轴，∴，∴，∵，∴，∴当时，有最大值；（3）存在∵，，的坐标为，，∴①当时，，即，解得，此时的坐标为，②当时，，即，解得，此时的坐标为，所以，点坐标为或【点评】本题考查了二次函数的性质及相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．(1)(2)或(3)存在，P的坐标是,,，【分析】（1）通过解方程求出的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．（2）①当为边时，根据E在上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；（3）设，根据勾股定理的逆定理推论出，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．【解析】（1）∵是方程的两根（），解得原方程的两根分别是：，∴，设抛物线的解析式为，则，解得：，∴抛物线的解析式是．（2）∵，∴对称轴为：，①当为边时，∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴，∵E在对称轴上，∴D的横坐标是1或，∴D的坐标是或，此时E的坐标是；②当是对角线时，则和互相平分，由E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标是，由对称性知，符合条件的点D只有一个，即是顶点，此时，综合上述，符合条件的点E共有两个，分别是或．（3）假设存在，设，∵，，∴，∴，∴是直角三角形，，，∵以P、M、O为顶点的三角形和相似，又∵，∴，或，∴或，解得：或或或，∴存在P点，P的坐标是,,，．【点评】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解以及分类讨论思想的运用．8．(1)(2)(3)，，，【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）过点作轴于点，交于点，求出直线的解析式及，设，，求出，根据得到，求解即可；（3）分情况，利用相似三角形的判定和性质定理解答即可．【解析】（1）解：∵，∴∴∴；（2）过点作轴于点，交于点，∵，，∴直线的解析式为，，设，，∴，，∴，∴∴∵∴，∴，，∵，∴只取∴点的横坐标为；（3）∴点C与点D关于对称轴对称，点A与点B关于对称轴对称，∴，∴点P在射线上，∵点与点关于抛物线的对称轴对称，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∴，∴,∴，，①当时，，∴，∴，∵直线的解析式为，∴直线与y轴的交点坐标为，∴该交点与点B的距离为，所以；②当时，则，∴，∴，过点作轴于点E，∴，∴，即，解得，∴,∴；③当点与点关于直线对称时，则，，∴设直线的解析式为，则，解得，∴，设点的坐标为，∴，解得，（舍去），∴；④延长至点，使，则，设直线的解析式为，∴，解得，∴设点的坐标为，∴，解得（舍去），∴；综上，，，，．【点评】此题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键．9．(1)(2)(3)存在，，或，或【分析】（1）根据对称性，求出的值，根据过，得到，即可得出结果；（2）求出直线的解析式，设点，则，点，求出，设直线与直线交于点，勾股定理求出，根据，列式求解即可；（3）易得为等腰直角三角形，根据相似，得到为等腰直角三角形，，分在轴负半轴和在轴正半轴，两种情况，分类讨论求解即可．【解析】（1）解：∵过，∴，∵过，，又，的纵坐标相同，∴两点关于对称轴对称，∴，∴，∴；（2）解：∵点K与点C关于抛物线对称轴对称，，∴，设直线的表达式为，则：，解得：，∴直线的表达式为，设点，则，点，∴，设直线与直线交于点，∵，∴，，在中，，由，得，化简得，，解得：，（不合题意，舍去），∴．（3）解：存在；∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∵与相似，P与F为对应点∴为等腰直角三角形，，①当在轴负半轴时，如图：过P作轴，过Q作于M，过B作于N，则：，∴，又∵，∴，∴，，∵点在直线l上运动，，∴，，在中，，由勾股定理得：，∴；②当在轴正半轴时，如图：直线交轴于点，同法可得：，∴，∴，在中，，由勾股定理得：，∴．综上：当，或时，使得与相似（P与F为对应点），或．【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．10．(1)(2)(3)【分析】（1）根据顶点列对称轴等式及代入解析式求解即可得到答案；（2）根据恰好平分的面积，即可得到一定经过的中点，计算的中点，设解析式为，将中点代入求出解析式，联立抛物线解出交点即可得到答案；（3）设出点Q坐标，根据相似三角形判定，分与两类列式求解即可得到答案；【解析】（1）解：∵是抛物线的顶点，∴，，解得：，，∴；（2）解：∵，轴于点D，∴，∴中点坐标为，∵恰好平分的面积，∴一定经过的中点，设解析式为，∴，解得：，∴，联立，得，解得：，（不符合题意舍去），∴点P的坐标为：；（3）解：设，∵轴，∴，，∵，∴①当时，与相似，即，解得：，（不符合题意舍去），∴；∴②当时，与相似，即，解得：（不符合题意舍去），（不符合题意舍去），综上所述存在点Q使得与相似，点Q的横坐标的值为．【点评】本题考查二次函数综合题，主要考了待定系数法求解析式，抛物线上特殊面积问题，抛物线上相似三角形问题，解题的关键是分类讨论相似情况列方程求解．11．(1)(2)(3)或或【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；（2）过点作轴于点，交于点，先求出直线的函数表达式，再设点的横坐标为，将线段及四边形的面积用含的代数式表示，再根据二次函的性质求出四边形面积取最大值时点的坐标；（3）存在符合条件的点，设，，先求出抛物线的对称轴和点的坐标，确定是等腰三角形，则以，，为顶点的三角形也是等腰三角形，再按，和，，以及，，分别求出点的坐标．【解析】（1）解：抛物线经过点和点，，解得，该抛物线的函数表达式为．（2）如图1，过点作轴于点，交于点，抛物线，当时，，，设直线的函数表达式为，则，解得，直线的函数表达式为，设，，则，，，，，当时，四边形面积取最大值，此时，．（3）存在，设，，，，是等腰直角三角形，以，，为顶点的三角形与相似，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，点、关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线，直线，当时，，，设直线交轴于点，如图2，，，则，解得，（不符合题意，舍去），，，；如图3，，，则，，解得，（不符合题意，舍去），；如图4，，，作于点，则，，由图3可知，，，，综上所述，的坐标为或或．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题．12．(1)(2)①；②或【分析】（1）根据题意得到，代入，于是得到结论．（2）①如图1，令，解方程得到，，求得B（1，0），过点D作轴于点M，过点B作轴交于于点N，根据相似三角形的性质即可得到结论．②根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，过点D作，利用分别求出，，的长，进而求出的长，然后分和两种情况分别求解即可．【解析】（1）解：根据题意，得，，∵抛物线经过A，C两点，∴∴，，∴．（2）解：①如图1，令，∴，∴，，∴．如图1，过点D作轴于点M，过点B作轴交于于点N，∴，∴，∴．设，∴．∵，∴，∴．∴当时，的最大值是．②∵，，，∴，，，∴，∴是以为直角的直角三角形．如图2，过点D作，垂足为点P，连接，过点D作，垂足为点H．设，∴，，∴，，．∵，，∴，∴，∴，解得．同理，由可得，，∴．分两种情况进行讨论：①当时，，即，解得（舍去），，∴；②当时，，即，解得（舍去），，∴．综上可知，点D的坐标为或．故答案为：或．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质、等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．注意此题要运用分类讨论思想13．(1)(2)或(3)点F的坐标为和．【分析】（1）设出抛物线解析式，把，，代入解析式，即可解答；（2）分两种情况进行讨论，当和时，利用相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况进行讨论，当和时，利用三角形面积公式列式即可求解．【解析】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图1，过点D作轴于点N，过点C作轴于点M，∵，顶点坐标为，∵，，，，∴，∴，，，∴，，∴，当时，，不合题意，舍去；当时，，即，，当点E在点A的右边时，点E为；当点E在点A的左边时，点E为；∴点E的坐标为或；（3）解：如图2，当时，，即，解得：，则；当时，，即，解得：，∴，∴，则．综上，点F的坐标为和．【点评】本题考查了求抛物线解析式，相似三角形的性质，直角梯形，解决本题的关键是对于和相似，点F和点A、C、D构成直角梯形，进行分类讨论．14．(1)，(2)或(3)或【分析】（1）由点、，对称轴为直线，先求得点，然后用待定系数法即可得到抛物线解析式（2）与相似分两种情况讨论即可求得点的坐标（3）在（2）的条件下，分两种情况讨论可求得的外接圆半径【解析】（1）抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，，解得：，∴，将点、分别代入抛物线得：，解得：抛物线的解析式为（2）联立直线与二次函数解析式得：解得：，，，，与相似分为以下两种情况：①当时得：，②当时得：综上所述：或．（3）当点时线段的垂直平分线为线段的垂直平分线为联立方程组：解得圆心坐标为外接圆半径为同理：当点坐标为线段的垂直平分线为线段的垂直平分线为联立方程组：解得圆心坐标为，外接圆半径为综上所述：外接圆半径为或．【点评】本题是相似三角形问题(二次函数综合)综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图象和性质、一次函数的图象、相似三角形的性质及圆的基本性质；熟练掌握数形结合的数学方法是解决问题的关键15．(1)抛物线解析式为；顶点的坐标为(2)的余弦值为(3)点的坐标为或【分析】（1）根据抛物线经过，两点列出的二元一次方程组，求出的值即可，再将抛物线解析式化为顶点式即可得到顶点的坐标；（2）令对称轴直线与轴交于点，过点作，垂足为，先分别求出的长，再根据等面积法求出的长，再用勾股定理求出的长，即可求出的值；（3）与相似，分和,利用相似三角形的性质以及股股定理知识点求出点的坐标．【解析】（1）解：抛物线经过，两点，，解得：，抛物线解析式为：，，顶点的坐标为；（2）解：由（1）得，抛物线对称轴为直线，令对称轴直线与轴交于点，过点作，垂足为，如图，，，，，，，，，在Rt中，；（3）解：，和相似，当时，如图所示，此时MN平行x轴，，，点在抛物线上，当时，，的坐标为，直线与轴交于点，当时，，点坐标为，，，，设直线的解析式为：，将点的坐标代入得：，解得，直线的解析式为：，设坐标为，代入上述解析式中得：,；当时，如图所示，，。，，设坐标为，，或，在第二象限，，综上所述，点的坐标为或．【点评】本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数值的定义，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题还需要熟练运用分类讨论思想解决问题，此题有一定难度．16．(1)抛物线解析式为(2)见解析(3)存在，点的横坐标为或【分析】（1）根据直线轴于点，求出点的坐标，再利用待定系数法即可求得答案；（2）先求出直线的解析式，再根据点在抛物线对称轴上且在直线上，求出点的坐标，从而即可求出直线的解析式，根据即可得到答案；（3）运用待定系数法求出直线的解析式，根据以以为顶点的三角形与相似，分两种情况：当时，，从而得出，进而得出直线的解析式，再结合抛物线的解析式，即可求得点的横坐标；当时，利用，求出的值，进而求出点的坐标，得出直线的解析式，即可求得答案．【解析】（1）解：直线交轴于点，当时，即，解得：，点的坐标为，将，代入抛物线得，，解得，抛物线解析式为：；（2）证明：由（1）得，抛物线解析式为，对称轴为，点在抛物线对称轴上，点的横坐标为，设直线的解析式为，将，代入解析式得，，解得，直线的解析式为，当时，，点的坐标为，设直线解析式为，则，解得，直线解析式为，，；（3）解：存在，抛物线解析式为，令，即，解得，点坐标为，点坐标为，，，，，设直线的解析式为：，将，代入解析式得，，解得，直线的解析式为，当时，，如图所示，，直线的解析式为，由得，，解得：，，当时，如图所示，，，过点作轴于点，则，，，，