哈尔滨中考压轴题既27、28题

#在RtAAOB中，由勾股定理有筋=,Q42+O52=5,/.sinZABCAB516[2)・・•点七在1轴上,AAOE3：.-AOxOE^—在RtAAOB中，由勾股定理有筋=,Q42+O52=5,/.sinZABCAB516[2)・・•点七在1轴上,AAOE3：.-AOxOE^—(Q:.E-,0或E--,0E-,0由可知D[6,4)4=6k+bQO=-k+b

3解得7 6k——5, 16O———56 16———X- DE八寸,6 16- X+ 13 131NAOE=90,在中，04=4,田|OE0A在△AQD中,Z0AD=90,04=4,0D=60A0D在△AQD中,Z0AD=90,04=4,0D=60A0D:.△NOE^ADAOF(3,8)；F(-3,0)；〔3〕满足条件的点有四个，1 275 ,1422、f42_44<-25，-25说明：本卷中所有题目，假设由其它方法得出正确结论，可参照本评【5】如图，以BC为直径的。。交4CFB的边CF于点A,BM平分NABC交AC于点M,ADLBC于点D,AD交BM于点N,MELBC于点E,AB2=AF-AC,cosZABD=2,AD=12.5⑴求证：^ANM^4ENM；⑵求证：FB是。O的切线；⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S.【5】⑴证明：・・・BC是。O的直径・・・NBAC=90oXVEMXBC,BM平分NABC,•・AM=ME,NAMN=EMNXVMN=MN,AAANM^AENM(2)・:AB2=AF•ACABAF = ACABXVZBAC=NFAB=90oAAABF^AACBAZABF=ZCXVZFBC=ZABC+ZFBA=90o・・FB是。O的切线⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,NAMN=EMN,又•・・AN〃ME,，NANM=NEMN,•・/AMN=ZANM，.二AN=AM,，AM=ME=EN=AN•・四边形AMEN是菱形3VcosZABD=5，/ADB=90oBD3•.AB-5设BD=3x那么AB=5x,,由勾股定理AD=Ax二O=4x而AD=12,；.x=3，BD=9,AB=15「MB平分/人乂£,，8£二人8=15••・DE=BE-BD=6・・ND〃ME,，NBND=NBME,又•・・/NBD=NMBEND_BD_...△BNDs^BME,那么ME—BE12—%9 15 _— —设ME=x，那么ND=12-x, % 15，解得x=215.•・S=ME•DE=2X6=456.如图，矩形OABC中，A〔6,0〕、C〔0,2月〕、D〔0,3门〕，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足nPQO=60°.售用图⑴①点B的坐标是[6,2,却_刀/CAO=30度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为[3,3.1]_；〔直接写出答案〕〔2〕设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使MMN为等腰三角形？假设存在，请直接写出点P的横坐标为m；假设不存在，请说明理由.〔3〕设点P的横坐标为xJOPQ与矩形OABC的重叠局部的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；梯形；解直角三角形。专题:代数几何综合题。分析：〔1〕①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得nCAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；〔2〕分别从MN=AN,AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；〔3〕分别从当0VXV3时，当3<xV5时，当5<xV9时，当x>9时去分析求解即可求得答案.解答：解：⑴①•.四边形OABC是矩形，•.AB=OC,OA=BC,.A〔6,0〕、C〔0,2 ,.•点B的坐标为:〔6,2点〕;②,「tariNCAO二区二区!二亚,0A6 3•.nCAO=30°；③如下列图：当当点Q与点A重合时，过点P作PE±OA于E,.nPQO=60。，D〔0,3%•.PE=3.；,•.AE=—鱼—二3,tanGO-1•.OE=OA-AE=6-3=3,.•点P的坐标为［3,3月〕；故答案为：①〔6,2舍〕，②30,③〔3,3仃〕；〔2〕情况①：MN=AN=3,那么/AMN=nMAN=30°,・•.nMNO=60°,・•・nPQO=60°,即nMQO=60°,.••点N与Q重合，.•点P与D重合，,此时m=0,情况②，如图AM=AN,作MJ，x轴、PI，x轴；MJ=MQ・sin60°=AQ・sin60°=[OA-IQ-OI]*sin60°=2Z!〔3-m〕2二_!am二"!an=3,2 2 2可得工![3-m]=3,2 2解得:m=3-3,情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5,过点P作PK^OA于K,过点M作MG^OA于G,••MG冷，•・QK=—_=2^=3,GQ=—皎—=1,tan6CTV_3 tan6CT2•.KG=3-0.5=2.5,AG=1AN=1.5,2・•.OK=2,，m=2,尸 』⑶当0VxV3时，如图，OI=x,IQ=PI・tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x;由题意可知直线IllBCllOA,可得理工工二」，OQ_PO_DO_3Vs_3EF=A〔3+x〕,此时重叠局部是梯形，其面积为：S梯形巧〔EF+OQ〕・OC=W〔3+x〕，当3<XV5时，S=S梯形-SaHAQ=S梯形-得AH・AQ=1^1[3+x]<^[x-3]20 IAU点评：此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．26.如图，甲、乙两人分别从A(1,、巧)、B(6,0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行.(2)当t为何值时，△OMNdOBA?(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN2,求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形。分析：(1)用反证法说明．根据条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明；(2)根据两个点到达。点的时间不同分段讨论解答;(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题．解答：解：⑴因为A坐标为(1,立),所以0人=2，/AOB=60°.因为OM=2-4t,ON=6-4t,2-4t6-当2―6时，解得t=0,即在甲、乙两人到达。点前，只有当t=0时，△OMNdOAB,所以MN与AB不可能平行；(2)因为甲到达。点时间为""乙到达。点的时间为"用二"所以甲先到达TOC\o"1-5"\h\z1 3。点，所以t二马或"反时，O、M、N三点不能连接成三角形，1 2-416-41 ]①当t＜无寸，如果△OMNdOAB,那么有6二2，解得t=2＞"所以，△OMN不可能相似aOBA;3②当弓＜t＜瓦寸，nMON＞nAOB,显然△OMN不相似△OBA;4t-2 -6③当t＞可时二，解得t=2＞"所以当t=2时，△③当t＞可时2(3)①当时，如图1,过点M作MH，x轴，垂足为H,在RbMOH中，因为nAOB=60°,2/3所以MH=OMsin60°=(2-4t)x2二6(1-2t),2OH=0Mcos60°=(2-4t)x2=1-2t,所以NH=(6-4t)-(1-2t)=5-2t,所以s=[.1:(1-2t)]2+(5-2t)2=16t2-32t+283②当工＜tv工时，如图2,作MH，x轴，垂足为H,退1在RbMNH中，MH=~^(芈-2)=*(2t-1),NH二月(4t-2)+(6-4t)=5-2t,所以s=[.1:(1-2t)]2+(5-2t)2=16t2-32t+28_当t>工时，同理可得s=[V3(1-2t)]2+(5-2t)2=16t2-32t+28,综上所述,s=[.3(1-2t)]2+(5-2t)2=16t2-32t+28.因为s=16t2-32t+28=16(t-1)2+12,所以当t=1时，s有最小值为12,所以甲、乙两人距离最小值为2遮km.点评：此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点，难度较大．23.如下图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点〔不与点A、点D重合〕将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH.〔1〕求证：nAPB=nBPH;〔2〕当点P在边AD上移动时，aPDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；〔3〕设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由．考点：翻折变换〔折叠问题〕；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。分析：〔1〕根据翻折变换的性质得出nPBC=nBPH，进而利用平行线的性质得出nAPB二nPBC即可得出答案；〔2〕首先证明△ABPm^QBP,进而得出△BCHm^BQH，即可得出pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8；〔3〕利用得出△EFMmaBPA，进而利用在RfAPE中，〔4-BE〕2+X2=BE2，利用二次函数的最值求出即可.解答：〔1〕解：如图1,「PE=BE,，nEBP=nEPB.又二/EPH=nEBC=90°,，nEPH-zEPB=zEBC-zEBP.即/PBC=nBPH.XvADhBC,，nAPB=nPBC.，nAPB=nBPH.〔2〕^PHD的周长不变为定值8.证明：如图2,过B作BQ±PH，垂足为Q.由〔1〕知nAPB=nBPH,又「/A=nBQP=90。，BP=BP,•.△ABP2QBP.••AP=QP,AB=BQ.XvAB=BC,••BC=BQ.又「/C=nBQH=90。，BH=BH,•.△BCH2BQH.,CH=QH..△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.〔3〕如图3,过F作FM^AB，垂足为M，那么FM=BC=AB.又〈EF为折痕，aEF±BP.•・nEFM+nMEF=nABP+nBEF=90。，•.nEFM=nABP.又「/A=nEMF=90。，•.△EFM2BPA..•.EM=AP=x.・在RfAPE中，〔4-BE〕2+X2=BE2.**2-CF=BE-EM=24—82解得，BE二2+三Cl又四边形PEFG与四边形BEFC全等，(EE+CF)BC=-1 X4*即*,配方得，・•・当x=2时，S有最小值6*点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键*26.如图1,A.D分别在x轴和y轴上，CDllx轴，BClly轴.点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周.记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts.S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示.〔1〕求A.B两点的坐标；〔2〕假设直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两局部，求直线PD的函数关系式.人yfcm)GH便1） （图2）考点：动点问题的函数图象；一次函数综合题。分析〔1〕先连接AD,设点A的坐标为〔a,0〕，由图2得出DO=6-AO和S△AOD=4,即可得出工DO・AO=4,从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标，2再延长CB交x轴于M,根据D点的坐标得出AB=5cm,CB=1cm，即可求出AM=:92.皿2=4，从而得出点B的坐标.⑵先设点P〔x,y〕，连PC.PO,得出S四边形DPBC的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，再由A,B点的坐标，求出直线AB的函数关系式，从而求出x、y的值，即可得出P点的坐标，再设直线PD的函数关系式为y=kx+4，求出K的值，即可得出直线PD的函数关系式.解答：解：〔1〕连接AD,设点A的坐标为〔a,0〕，由图2知，DO+OA=6cm,DO=6-AO，由图2知黑产，・・tdO・AO=4,，a2-6a+8=0,解得a=2或a=4,由图2知，D0>3,•.A0<3,，a=2,•.A的坐标为〔2,0〕，D点坐标为〔0,4〕，在图1中，延长CB交x轴于M,由图2,知AB=5cm,CB=1cm,•.MB=3,••AM-：起2一皿2=4..•.0M=6,B点坐标为〔6,3〕；〔2〕显然点P一定在AB上.设点P〔x,y〕，连PC.P0,那么S四边形DPBC—Sadpc+SaPBC—aS五边形oABCD—义〔S矩形OMCD-SaABM〕=9.•[x6x[4-y]+Ax1x[6-x]=9,2 2即x+6y=12,同理，由S四边形dpao=9可得2x+y=9，由A〔2,0〕，B〔6,3〕求得直线AB的函数关系式为y=3,-2,4 2

/6产L/6产L2[或.2s+y=9s+6y=123 3或12s+y=93 3]解得X=卷,y=yy-..P〔里，西，1111设直线PD的函数关系式为y=kx+4,那么至二驾k+41111.•直线PD的函数关系式为.•直线PD的函数关系式为y=-骂+4.42点评：此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意设出函数关系式，是难点，也是中考的重点，需熟练掌握．24.:如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M,过M作ME^CD于点E,n1=n2.〔1〕假设CE=1,求BC的长;〔2〕求证：AM=DF+ME.考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。解答〔1〕解：二•四边形ABCD是菱形，••ABIICD,az1=zACD,・21=n2,azACD=z2,••MC=MD,vME±CD,•.CD=2CE,•・CE=1,•.CD=2,,BC=CD=2;⑵证明：如图，:F为边BC的中点，abf=cf=1bc,,CF=CE,在菱形ABCD中，AC平分/BCD,•.nACB=nACD,在4EM和aCFM中，rCE=CF二zacb=zacd,、CM二5•.△CEM2CFM〔SAS〕,••ME=MF,延长AB交DF于点G,•・ABllCD,・nG=n2,・21=n2,az1=zG,••AM=MG,在△CDF和ABGF中，rZG=Z2:ZBFG=ZCFD（对顶角相等）二CF•.△CD邑△BGF〔AAS〕，••GF=DF,由图形可知，GM=GF+MF,••AM=DF+ME.26〔2021重庆〕：如图，在直角梯形ABCD中，ADllBC/B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.⑴当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；〔2〕将〔1〕问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B'EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B'D,B’M,DM，是否存在这样的t,使aB'DM是直角三角形？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由；〔3〕在〔2〕问的平移过程中，设正方形B'EFG与△ADC重叠局部的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.何 普用国考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形。解答：解：〔1〕如图①，设正方形BEFG的边长为x,那么8£=FG=BG=x,•・AB=3,BC=6,••AG=AB-BG=3-x,•・GFllBE,•.△AGF“ABC,AGGF.^^—二 ,ABBC即口洛3 6解得：x=2,即BE=2;〔2〕存在满足条件的t,理由：如图②，过点D作DH^BC于H,那么BH=AD=2，DH=AB=3,由题意得：BB,二HE=t,HB'=|t-2|,EC=4-t,在RfBWE中，B,M2=ME2+B,E2=22+[2-It]2二工2-2t+8,2 4・•・EFllAB,・•.△MEJABC,.•妈晏，即

AB-BCME=4-t,aME=2-Lt,在RfDHB'中，B'D2=DH2+B'H2=32+[t-2〕2=t2-4t+13,过点M作MN^DH于N,那么MN=HE=t,NH=ME=2/t,2•.DN=DH-NH=3-[2-It]=2t+1,2 2在RfDMN中，DM2=DN2+MN2=&2+t+1,〔工〕假设NDB,M=90。，那么DM2=B'M2+B'D2,即显+t+l=[It2-2t+8〕+即-4t+13〕，解得：t二爷,〔口〕假设nB'MD=90。，那么B'D2=B'