汽车控制理论与技术第二章

汽车控制理论与技术第二章目前一页\总数一百零四页\编于二十二点2023/5/242第二章自动控制系统的时频域分析及设计方法目前二页\总数一百零四页\编于二十二点本章主要内容引言第一节自动控制系统的代数稳定判据第二节自动控制系统的时域分析方法第三节自动控制系统的频域分析方法目前三页\总数一百零四页\编于二十二点引言：稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下进行自动控制理论的基本任务分析系统的稳定性问题提出保证系统稳定的措施目前四页\总数一百零四页\编于二十二点定义：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定-平衡状态的稳定

线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关目前五页\总数一百零四页\编于二十二点常用的稳定性分析方法有：1.劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.2.根轨迹法这是一种图解求特征根的方法。它是根据系统开环传递函数以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。

目前六页\总数一百零四页\编于二十二点3.奈魁斯特（Nyquist）判据这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。

4.李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，更适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。目前七页\总数一百零四页\编于二十二点稳定性与微分方程的关系：由于系统的稳定性由系统的结构、参数，即数学模型决定，与外界因素无关(如输入信号)，所以判断系统稳定只需要列出系统的数学模型，再加以分析即可。目前八页\总数一百零四页\编于二十二点传递函数：建立的数学模型性能分析：稳定性、动态性能和稳态性能分析分析方法：时域分析法、根轨迹法、频域分析法

时域分析法：直接在时间域中对系统进行分析，具有直观，准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息频域分析法：线性系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率关系的特性目前九页\总数一百零四页\编于二十二点时域分析法分析过程系统微分方程(t)拉氏变换传递函数(S)稳定性输入信号(t)拉氏变换拉氏变换量(S)拉氏变换量(S)输出信号(S)反拉氏变换输出信号(t)目前十页\总数一百零四页\编于二十二点2

主要内容 一、自动控制系统稳定的充分必要条件

二、劳斯判据

三、赫尔维茨判据

第一节自动控制系统的代数稳定判据目前十一页\总数一百零四页\编于二十二点线性定常系统(SISO)：做拉氏变换，且在零初始状态下有输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比为系统特征方程，决定系统稳定性目前十二页\总数一百零四页\编于二十二点特征方程为：求解该方程，可以得到方程的根，称之为系统的极点。目前十三页\总数一百零四页\编于二十二点一、稳定的充分必要条件线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面充要条件目前十四页\总数一百零四页\编于二十二点如果系统的所有极点在S平面的左半边，也就是系统特征根方程的根全部具有负实部，则系统稳定。如果系统的有极点在S平面的虚轴上，也就是系统特征根方程的根具有零实部，则系统处于稳定和不稳定的临界状态，称为临界稳定。如果系统的有极点在S平面的右半边，也就是系统特征根方程的根具有正实部，则系统处于不稳定状态。一、稳定的充分必要条件目前十五页\总数一百零四页\编于二十二点目前十六页\总数一百零四页\编于二十二点注意：由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。目前十七页\总数一百零四页\编于二十二点(一)系统稳定性的初步判别已知系统的闭环特征方程为

式中所有系数均为实数，且an>0，则系统稳定的必要条件是上述系统特征方程的所有系数均为正数。

二、劳斯判据目前十八页\总数一百零四页\编于二十二点

根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件，而不是充分必要条件。

目前十九页\总数一百零四页\编于二十二点

(二)劳斯判据这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。1.若系统特征方程式设an>0，各项系数均为正数。2.按特征方程的系数列写劳斯阵列表：目前二十页\总数一百零四页\编于二十二点表中直至其余bi项均为零。目前二十一页\总数一百零四页\编于二十二点按此规律一直计算到n-1行为止。在上述计算过程中，为了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不会影响稳定性结论。3.考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。相应的系统是不稳定的。

目前二十二页\总数一百零四页\编于二十二点例2.1

设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;

试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。

1234500解：列劳斯表第一列元素符号变化两次，因此系统不稳定性。

目前二十三页\总数一百零四页\编于二十二点例2.2系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解从系统特征方程看出，它的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表如下目前二十四页\总数一百零四页\编于二十二点

1126

6110

61/66

455/610

6

第一列系数均为正实数，故系统稳定。事实上，从因式分解可将特征方程写为其根为-2，-3，，均具有负实部，所以系统稳定(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0

目前二十五页\总数一百零四页\编于二十二点3.两种特殊情况在劳斯阵列表的计算过程中，如果出现：(1)劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数不为零（或没有其余项），这时可用一个很小的正数e来代替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去（否则下一行将出现∞）。如果e的上下两个系数均为正数，则说明系统特征方程有一对虚根，系统处干临界状态；如果e的上下两个系数的符号不同，则说明这里有一个符号变化过程，则系统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。目前二十六页\总数一百零四页\编于二十二点

(2)若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。在这种情况下可做如下处理：a.利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的；b.求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行；c.继续计算劳斯阵列表；d.关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得。目前二十七页\总数一百零四页\编于二十二点系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!特征方程各项系数全>0或全<0-s2-5s-6=0稳定吗？有两个正实部根该系统不稳定劳斯(routh)判据小结目前二十八页\总数一百零四页\编于二十二点设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1=-8-8

4121、劳斯稳定判据（首项为０）劳斯表特点4

每两行个数相等1

右移一位降两阶2

行列式第一列不动第二列右移3

次对角线减主对角线5

分母总是上一行第一个元素6第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。7

一行可同乘以或同除以某正数ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε1246357目前二十九页\总数一百零四页\编于二十二点s4

111s3

33s2

01s∞D(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0特殊情况１：第一列某行出现0某行的第一列项为0，其余各项不为0或不全为0。（１）用（s+a）因子乘原特征方程（a为任意正数），（２）或用很小的正数代替零元素。劳斯表第一列为零

方法１：(s+3)乘原式，得D(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0

s5

11010s4

663s3

99.5s2

-0.333s1

91.40s0

3s4

111s3

33s2

1s2

s３1代替了０(3-3)/方法２目前三十页\总数一百零四页\编于二十二点劳斯表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s4517566601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助方程:①

有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:2s1继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!劳斯表出现零行系统一定不稳定这是零行2由综合除法或比较系数法可得另两个根s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根:

s1,2=±j注意：纯虚根为重根时，系统不再等幅振荡，而是振荡发散。特殊情况2：目前三十一页\总数一百零四页\编于二十二点劳斯阵列出现全零行:系统在s平面有对称分布的根大小相等符号相反的实根对称于实轴的两对共轭复根共轭虚根目前三十二页\总数一百零四页\编于二十二点注意两种特殊情况的处理：

1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。

2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。目前三十三页\总数一百零四页\编于二十二点

(三)劳斯判据的应用(自学)应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。目前三十四页\总数一百零四页\编于二十二点Routh稳定判据的应用稳定判据只回答了系统决定稳定性问题系统的稳定度如何解决？目前三十五页\总数一百零四页\编于二十二点Routh稳定判据的应用由于一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半边，而虚轴是系统的临界稳定边界，因此，以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离来表示系统的相对稳定性和稳定裕度。目前三十六页\总数一百零四页\编于二十二点Routh稳定判据的应用如何利用Routh判据确定系统的稳定裕度？具体做法：把代入原系统的特征方程，得到以Z为变量的方程，然后利用Routh判断新方程。如果满足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在稳定裕度的左半边。目前三十七页\总数一百零四页\编于二十二点胡尔维茨稳定判据(一)写出关于S的多项式方程式中的系数为实数，并且an≠0，即排除存在零根情况。(二)系统稳定的必要条件：设多项式中所有的系数都存在，并且均大于零。目前三十八页\总数一百零四页\编于二十二点(三)利用各项系数写成主行列式形式充分条件：Δi>0（i=1,2,…,n-1,n-2）胡尔维茨稳定判据目前三十九页\总数一百零四页\编于二十二点例2.3

已知系统特征方程S4+2S3+3S2+4S+5=0，试用胡尔维茨判据分析系统稳定性。解:(1)必要条件满足(2)写出Δ(3)求Δi(4)按照充分条件系统不稳定。赫尔维茨稳定判据目前四十页\总数一百零四页\编于二十二点第二节时域分析

时域分析的目的

设法从微分方程判断出系统运动的主要特征而不必准确地把微分方程解出来——从工程角度分析系统运动规律。时域：用拉普拉斯变换求解动态响应的过程曲线目前四十一页\总数一百零四页\编于二十二点2.1、概述2.2、一阶系统的阶跃响应

2.3、二阶系统的阶跃响应

2.4、高阶系统的响应 小结第二节时域分析目前四十二页\总数一百零四页\编于二十二点动态过程和稳态过程在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程组成

动态过程的定义：过渡或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出从初始到最终状态的响应过程动态过程产生的原因：惯性、摩擦等动态过程除了表明系统的稳定性外，还可以提供系统的响应速度及阻尼大小情况

2.1、概述目前四十三页\总数一百零四页\编于二十二点动态过程和稳态过程稳态过程：指系统在典型输入信号下，当时间趋于无穷，系统输出量的表达方式表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息

目前四十四页\总数一百零四页\编于二十二点动态性能测试的典型信号：阶跃函数动态性能的定义：描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下动态过程随时间变化状况的指标假定条件：假定系统在单位阶跃函数作用前处于静止状态，并且输出量及其各阶导数等于零

目前四十五页\总数一百零四页\编于二十二点h(t)h(∞)0.9h(∞)0.5h(∞)0.1h(∞)t误差带超调量延迟时间td上升时间tr峰值时间tp调节时间0目前四十六页\总数一百零四页\编于二十二点1)

延迟时间Td：指响应曲线第一次达到其终值一半所需时间2)

上升时间Tr：指响应从终值10%上升到终值90%所需时间。对没有振荡的系统，可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间3)

峰值时间Tp：指响应超过终值达到第一个峰值所需时间4)

调节时间Ts：指响应到达并保持在终值5%内所需最短时间5)

超调量：指响应的最大偏离量与终值之差的百分比目前四十七页\总数一百零四页\编于二十二点稳态性能稳态性能：假设时间趋于无穷，系统输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差输入信号：阶跃函数、斜坡函数、加速度稳态误差：系统控制精度或者抗干扰的一种度量目前四十八页\总数一百零四页\编于二十二点2.2一阶系统阶跃分析

自动控制系统的传递函数是一个复变量S的真有理分式，若分母的阶数为1，则称其为一阶系统。K0/S1R(S)C(S)－

其闭环传递函数为

式中目前四十九页\总数一百零四页\编于二十二点K0/(T0S+1)1R(S)C(S)－

其闭环传递函数为

式中2.2一阶系统分析目前五十页\总数一百零四页\编于二十二点

可见一阶系统可以表示成为一个一般形式

同一数学模型的线性系统，对同一输入信号的时间响应相同，但其物理意义不同。 为了研究方便令K=1，对线性系统，其时间响应必须乘以实际的K值

2.2一阶系统分析目前五十一页\总数一百零四页\编于二十二点

在单位阶跃信号作用下，时间响应为稳态分量暂态分量2.2一阶系统分析目前五十二页\总数一百零四页\编于二十二点h(t)h(∞)0.9h(∞)0.5h(∞)0.1h(∞)t误差带超调量延迟时间td上升时间tr峰值时间tp调节时间02.2一阶系统分析目前五十三页\总数一百零四页\编于二十二点

性能指标－延迟时间td（DelayTime）

性能指标－上升时间tr（RiseTime）2.2一阶系统分析目前五十四页\总数一百零四页\编于二十二点

性能指标－调节时间ts(SettingTime)

取Δ＝-5%时

取Δ＝-2%时

性能指标－稳态误差

所以一阶系统为无差系统2.2一阶系统分析目前五十五页\总数一百零四页\编于二十二点输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。目前五十六页\总数一百零四页\编于二十二点2.3二阶系统分析

自动控制系统的传递函数是一个复变量S的真有理分式，若分母的阶数为2，则称其为二阶系统。研究意义：1、实际控制系统中，二阶系统的典型应用极为普遍2、高阶系统经过简化可以用二阶系统的特性来表示目前五十七页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的一般形式K02/SR(S)C(S)－K01/(T0S+1)目前五十八页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的一般形式

将上式进行整理可得

式中目前五十九页\总数一百零四页\编于二十二点

可见二阶系统可以表示成为一个一般形式

为了研究方便可以令K=1。由于讨论的是线性系统，所得到的时间响应必须乘以实际的K值。二阶系统的一般形式目前六十页\总数一百零四页\编于二十二点

式中－阻尼比－无阻尼振荡频率或者自然频率

再令

则有二阶系统的一般形式目前六十一页\总数一百零四页\编于二十二点其传递函数结构图R(S)C(S)R(S)C(S)二阶系统的一般形式－目前六十二页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的特征根

特征方程

或者

特征根：目前六十三页\总数一百零四页\编于二十二点两个特征根都有正实部，系统不稳定

如果

负阻尼二阶系统的特征根目前六十四页\总数一百零四页\编于二十二点

负阻尼二阶系统的特征根目前六十五页\总数一百零四页\编于二十二点

如果两个特征根都没有实部，系统不稳定

无阻尼二阶系统的特征根目前六十六页\总数一百零四页\编于二十二点

无阻尼二阶系统的特征根目前六十七页\总数一百零四页\编于二十二点

如果两个特征根都有负实部，系统稳定

欠阻尼二阶系统的特征根目前六十八页\总数一百零四页\编于二十二点

欠阻尼二阶系统的特征根目前六十九页\总数一百零四页\编于二十二点

如果两个特征根都有负实部，系统稳定

临界阻尼二阶系统的特征根目前七十页\总数一百零四页\编于二十二点

临界阻尼二阶系统的特征根目前七十一页\总数一百零四页\编于二十二点

如果两个特征根都有负实部，系统稳定

过阻尼二阶系统的特征根目前七十二页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的特征根

过阻尼目前七十三页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的特征根

临界阻尼与过阻尼趋于稳定的时间不一样目前七十四页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的单位响应－欠阻尼

欠阻尼

令－阻尼振荡频率－衰减系数目前七十五页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的单位响应－欠阻尼

当输入量

输出量式中目前七十六页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的单位响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两个部分组成，稳态分量为1，说明稳态误差为0，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，取决于包络线收敛的速度包络线目前七十七页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的单位响应

无阻尼

输出振荡曲线平均值为1，振荡频率为Wn的等幅振荡曲线振荡频率为无阻尼振荡目前七十八页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的单位响应

临界阻尼

输出量其二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，其斜率为目前七十九页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的单位响应

过阻尼

输出量目前八十页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的单位响应

其中其二阶系统的单位阶跃响应不会超过稳态值1，是一个非振荡环节目前八十一页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统单位阶跃响应目前八十二页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统单位阶跃响应目前八十三页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标

延迟时间采用试探法：用wntd为设定值代入上式，求响应的阻尼值，可以作出相应的关系曲线，然后采用曲线拟合法可以得出目前八十四页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标

上升时间按照tr的定义，可知即目前八十五页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标

峰值时间得当按照tr的定义，可知目前八十六页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标

超调量目前八十七页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标

调节时间目前八十八页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标

总结：β越大，ξ＝cosβ越小则延迟时间，上升时间，峰值时间越小，响应越快2)Wn越大，Wd越大则延迟时间，上升时间，峰值时间越小，响应越快3)超调量仅与ξ有关，ξ越小，超调量越大目前八十九页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标

例：系统如图所示，要求性能指标试确定系统参数K、A，并计算K/S(S+1)1+ASR(S)C(S)－目前九十页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标

解：由图知该系统传递函数与标准形式对比可知1）目前九十一页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标2）3）确定系统参数K、A目前九十二页\总数一百零四页\编于二十二点二阶系统的性能指标4）计算其他性能指标目前九十