原子物理学杨福家部分课后答案

`第三章题解3-1

电子的能量分别为10eV，100eV，1000eV时，试计算相应的德布罗意波长。解：依计算电子能量和电子波长对应的公式p2e由德布罗意波长公式:1.226nmE

h

2mEe

k

h2mEe

K1

1.22610

nm0.388nm

2

1.226100

nm0.1226nm3

1.2261000

nm0.0388nm3-2设光子和电子的波长均为0.4nm，试问：1）光子的动量与电子的动量之比是多少？（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？解：（1）由

hp

可知光子的动量等于电子的动量，即p

光子

:p

电子

=1:1（2）由

光子动能与波长的对应的关系

光子

E

1.24(KeV)光子

nm电子动能与波长的关系

电子

1.226E电子

nm

E电子

(

1.226电子

)2nm则知

E光子E电子

1.241030.41.2262

329.963-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：(1)该电子的速度1电子的能量:Ek2m电子的能量:Ek2mpp（为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少?解：

（1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是：Emc2

EEmc2k0mc22mc20mm0v21c2

m2m02m0

1v21c2

414

1

v2c2

34

v2c2所以v

34

c0.866c（2）根据电子波长的计算公式：

1.226nmE(eV)k

1.226nm511103eV

0.001715nm3-4

把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量．若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18nm，一级布喇格掠射角(入射束与布喇格面之间的夹角)为30°,试求这些热中子的能量．解：根据布喇格衍射公式

nλ=dsinθλ=dsinθ=0.18×sin30°nm=0.09nm1.226nmE(eV)k1.226nmE(

)213.6222eV185.56eV3-5

电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度2kk很大，因而必须考虑相对论修正．试证明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为：

1.226Vr

nm式中Vr=V(1+0.978×10-6V)，称为相对论修正电压，其中电子加速电压V的单位是伏特．分析:考虑德布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗意关系式和相对论能量关系式,求出相对论下P即可解.证明：根据相对论质量公式

m

m0v1()2c

将其平方整理乘c2,得其能量动量关系式vm2[1()2]c2m2c20

m2c2p2c2m2c20E2p2c2m2c40

EEmc2k0

EEEk0p

1c

E2m2c40

1c

(Emc2)2m2c4k00

1c

E(E2mc2)kk0

hp

hcE(E2mc2)kke

hc2mc2e

2mc2eE(E2mc2)kke

1.226E(E2mc2)kke2mc2e

V(

1.226V2mc2e

1)

1.226V(10.9785106V)

1.226Vr题意得证.3-6

(1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于3ccEE

1式中Eo和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量．(康普顿波长λc=h/m0c,m0为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论)(2)当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?证明：根据相对论能量公式

m

m0v1()2c

将其平方整理乘c2vm2[1()2]c2m2c20

m2c2p2c2m2c20E2p2c2m2c401pE2m2c40

1c

EEEk0k01(Emc2)2m2c4E(E2mc2)k00kk0p

1c

E2m2c40

1c

(Emc2)2m2c4k00

1c

E(E2mc2)kk0

1c

(EE)(EE)00（1）相对论下粒子的德布罗意波长为：

hp

hc(EE)(EE)00

hcE2E20粒子的康普顿波长为

c

hmc0

hcmc20hc

hcE0c

E0(E2E2)0

(E2E2)0E0

(

EE0

)21（2）若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长(

EE0

)211

4ccEEmc2chcccEEmc2chc(

EE0

)22,E2E0E2E2511722.55KeV0EEE722.55511211.55(KeV)k0则电子的动能为211.55KeV.则电子的动能为211.55KeV注意变换：1.ΔP转化为Δλ表示;2.ΔE转化为Δν表示;3-7一原子的激发态发射波长为600nm的光谱线，测得波长的精度为

107，试问该原子态的寿命为多长?解：依

Eth

求ΔtEhh

c

Ehc

2tE

2t

2E

2hc

4c

60010910743.143108

1.6109s3-8一个电子被禁闭在线度为10fm的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能．解：

xpx

2

粒子被束缚在线度为r的范围内，即Δx=rx

2x∵∴

p[(pp)2]xxx1x平均

p0x5那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为：p(p)2平均(p2那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为：p(p)2平均(p2)3∴电子的最小平均动能为

Ek

328mr2

2.848108eV3-9

已知粒子波函数

|x|2a

|y|2b

|z|2c常数N；(2)粒子的x坐标在0到a之间的几率；(3)粒子的y坐标和z坐标分别在-b→+b和-c→+c.之间的几率．解:(1)因粒子在整个空间出现的几率必定是一,所以归一化条件是:

dv=1即:

2

2

x2a

2

y2b

2

z2c

dz

0

xa

xa

yb

yb

zc

dN28abc1zc所以N

18abc(2)

粒子的

x

坐标在0a区域内几率0

xya222a2bN24abc111(11)

2e

2

z2c

dz(3)粒子的

y(b,b),z(c,c)区域内的几率为:2b2c2bcee3-10若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为ψ(x，y，z；x，y，z)，其中足标1，2分别代表质子111222和电子，试写出：(1)在同一时刻发现质子处于(1，0，0)处，电子处于(0，1，1)处的几率密度；(2)发现电子处于(0，0，0)，而不管质子在何处的几率密度；(3)发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小6Nexp，试求：(1)归一化dvN2edxedyeN22aed2be0d2ce0N2edxedyNexp，试求：(1)归一化dvN2edxedyeN22aed2be0d2ce0N2edxedye为:eN2e2adxe2bdye2cdzN8abc(1)2(1)2xyz1123-11对于在阱宽为a的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态ψn中的平均值x及(xx)，并证明：当n→∞时，上述结果与经典结果相一致．3-12求氢原子1s态和2P态径向电荷密度的最大位置．第三章习题13,143-13设氢原子处在波函数为(r,,)

1a

e

ra

1玻尔半径，试求势能U(r)

14

er

的平均值．3-14证明下列对易关系：yx[x,L]iyz[p,L]0xxyz第三章习题15解3-15设质量为m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动,此方阱的表达式为:

x00xa

0

xa试求:(1)粒子能级表达式;(2)证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是,阱深V和阱宽a之间满足关系式:0Va20

232m解:(1)在x<0时,由薛定谔方程可得:22m

2V(r)E因为

V(x)

所以

(x)01

(1)7的基态，a为第一[y,p]i[x,p]0[x,L]0的基态，a为第一[y,p]i[x,p]0[x,L]0x[p,L]iPV(x)=0V0xa,

V(x)=0,体系满足的薛定谔方程为:

2d22mdx2

2E

2

(2)2

2

2

2因为(0)0所以波函数的正弦函数:Asin(kx)22x>a,V(x)V薛定谔方程为:0

2d22mdx2

3V0

3

(3)E

3(4)2

3

令k2m(VE)/02

3

方程的解为:Bek'x3

(5)(a)(a)23将(3),(5)式代人得:

kctgkk'

(6)(2):证明:令

uka

vk'

则(6)式可改为:uctguv(7)同时,u和v还必须满足下列关系式:u2v2(k2k'2)a22mva2/h20

(8)联立(7)

(8)可得粒子的能级的值..用图解法求解:在以v为纵轴u为横轴的直角坐标系中(7)分别表示超越曲线和圆,其交点即为解.

(8)两式因k

k’都不是负数,故u和v不能取负值,因此只能取第一象限.由图可知(7)(8)两式