中考数学高频考点突破-二次函数与线段周长

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——二次函数与线段周长1．如图，抛物线与轴交于点，交轴于点，直线过点与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，作轴于点.设点是直线上方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线，交直线于点，作于点.（1）填空：__________，__________，__________；（2）探究：是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设的周长为，点的横坐标为，求与的函数关系式，并求出的最大值.2．如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．（1）点A的坐标为，线段OB的长=；（2）设点C的横坐标为m．①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，在抛物线对称轴上取两个点G、H（G在H的上方），且满足GH=1，连接CG，AH，求四边形CGHA的周长的最小值；（3）如图，点P是抛物线第一象限的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点D，PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．4．如图1，抛物线y＝﹣与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）如图2，E为抛物线的顶点，F为AC上方的抛物线上一动点，M、N为直线AC上的两动点（M在N的左侧），且MN＝4，作FP⊥AC于点P，FQ∥y轴交AC于点Q．当△FPQ的面积最大时，连接EF、EN、FM，求四边形ENMF周长的最小值．（3）如图3，将△BCO沿x轴负方向平移个单位后得△B'C'O'，再将△B'C'O'绕点O'顺时针旋转α度，得到△B″C″O'（其中0°＜α＜180°），旋转过程中直线B″C″与直线AC交于点G，与x轴交于点H，当△AGH是等腰三角形时，求α的度数．5．如图所示，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，且点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C，对称轴直线x＝2与x轴相交于点D，点P是抛物线对称轴上的一个动点，以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点E向下运动，设点P运动的时间为t（s）．（1）点B的坐标为，抛物线的解析式是；（2）求当t为何值时，△PAC的周长最小？（3）当t为何值时，△PAC是以AC为腰的等腰三角形？6．如图，过点的抛物线的对称轴是，点是抛物线与轴的一个交点，点在轴上，点是抛物线的顶点.（1）求、的值；（2）当是直角三角形时，求的面积；（3）设点在直线下方且在抛物线上，点、在抛物线的对称轴上（点在点的上方），且，过点作轴的平行线交直线于点，当最大时，请直接写出四边形的周长最小时点、、的坐标.7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，m），C（1，0）．（1）求m值；（2）设点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）．①过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，求出对应的点P坐标．8．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1

，0）、B（x2

，0）两点，且x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x1

，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x1+x2=﹣，x1•x2=）(1)求m的取值范围；(2)若OA=3OB，求抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．9．如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．（1）求a值及A，B两点坐标；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物找正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，分别过点P，点D作x轴的垂线，交x轴于R，S两点，问：四边形PRSD的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如图2，把点B向下平移两个单位得到点T，过O，T两点作⊙Q交x轴，y轴于E，F两点，若M、N分别为弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．11．如图，抛物线与轴交于，两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（3）设抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时点的坐标.12．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（电B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，直线BE⊥BC与点B，与抛物线的另一交点为E．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，若点P为x轴下方抛物线上一动点，过P作PG⊥BE与点G，当PG长度最大时，在直线BE上找一点M，使得△APM的周长最小，并求出周长的最小值．（3）如图3，将△BOC在射线BE上，设平移后的三角形为△B′O′C′，B′在射线BE上，若直线B′C′分别与x轴、抛物线的对称轴交于点R、T，当△O′RT为等腰三角形时，求R的坐标．14．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与y轴交于点，顶点为，点是点关于对称轴的对称点，过点作轴交轴于点，交线段于点.（1）连接，求的周长；（2）如图2，点是线段上方抛物线上的一点，过作轴交轴于点，交线段于点，当四边形的面积最大时，在线段上有一动点，在线段上有一动点，在轴上有一动点，且满足，连接，求的最小值；（3）如图3，将抛物线沿直线进行平移，平移过程中的点记为，点记为，连接所形成的直线与轴相交于点，请问是否存在这样的点，使得为等腰三角形？若存在，求出此时的长度，若不存在，请说明理由.15．如图，边长为3的正方形OABC的两边在两坐标轴上，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C，与x轴交于另一点D，P为第一象限内抛物线上一点，过P点作y轴的平行线交x轴于点Q，交AC于点E.(1)求抛物线解析式及点D的坐标；(2)过E点作x轴的平行线交AB于点F，若以P，E，F为顶点的三角形与△ODC相似，求点P坐标；(3)过P点作PH⊥AC于H，是否存在点P使△PEH的周长取得最大值，若存在，请求出点P坐标及△PEH周长的最大值，若不存在，请说明理由.16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，其中点，交y轴于点直线过点B与y轴交于点N，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线BD下方的抛物线上一动点不与点B、D重合，过点P作y轴的平行线，交直线BD于点E，过点D作轴于点M．求抛物线的表达式及点D的坐标；若四边形PEMN是平行四边形？请求出点P的坐标；过点P作于点F，设的周长为C，点P的横坐标为a，求C与a的函数关系式，并求出C的最大值．17．已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，－4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；（3）若P（t，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．①设线段DE的长为h，当0＜t＜3时，求h与t之间的函数关系式；②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线经过点B，与直线交于点C（4，－2）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作MEy轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．(3)将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1），，；（2）存在，点的坐标是和；（3），的最大值是15.【分析】（1）将A，B两点分别代入y=−x2+bx+c求出b，c，将A代入y=kx-求出k；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的判定得出PM=CE时四边形PMEC是平行四边形，得出等式方程求解并判断即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△DCE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．【解析】解：（1）：（1）把A（2，0），B（0，）代入y=x2+bx+c得，解得；把A（2，0）代入y=kx-得2k-=0，解得k=，∴，，，（2）设的坐标是，则的坐标是，∴，解方程，得：，，∵点在第三象限，则点的坐标是，由得点的坐标是，∴，由于轴，所以当时四边形是平行四边形.即，解这个方程得：，，符合，当时，，当时，，综上所述：点的坐标是和；（3）在中，，由勾股定理得：∴的周长是24，∵轴，∴，∴，即化简整理得：与的函数关系式是：，，∵，∴当时，的最大值是15.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定以及二次函数的最值问题等，熟练掌握函数图像上的点满足函数解析式是解题关键．2．（1）A（4，0），5；（2）①；②当m=时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．【分析】（1）根据y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程组，可得B（5，5），进而得出OB的长；（2）①根据C（m，m），F（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m2﹣4m），根据D（m，m），E（m，（m）2﹣4（m）），可得DE=m[（m）2﹣4（m）]，最后根据当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，求得m的值即可；②先过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，得出AC=DG，再作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，根据当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，可得此时AC+AD最短，然后求得直线A'G的解析式为yx+4，解方程组可得D、C的坐标，最后根据两点间距离公式，求得△ACD的周长的最小值．【解析】（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，解得：x1=0，x2=4，∴A（4，0），解方程组，可得：或，∴B（5，5），∴OB．故答案为（4，0），5；（2）①∵点C的横坐标为m，且CF∥DE∥y轴，∴C（m，m），F（m，m2﹣4m）．又∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，∴D（m，m），E（m，（m）2﹣4（m）），∴CF=m﹣（m2﹣4m），DE=m[（m）2﹣4（m）]．∵当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，∴m﹣（m2﹣4m）=m[（m）2﹣4（m）]，解得：；②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，∴AC=DG，作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，∴当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，此时AC+AD最短．∵A（4，0），AG=CD=2，∴A'（0，4），G（4），设直线A'G的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴直线A'G的解析式为yx+4，解方程组，可得：，∴D（，）．∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，∴C（，），∴点C的横坐标m=．∵AD=A'D，AC=DG，CD=AG=2，∴△ACD的最小值为A'G+AG==6+2=8，故当m=时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的计算，两点间的距离公式，待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据平行四边形的对边相等以及两点之间线段最短进行计算求解．解题时注意方程思想和数形结合思想的运用．3．（1）（2）++1．（3）点P的坐标为（2，3）时，S取最大值，最大值为．【分析】（1）由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的函数表达式；（2）将抛物线的函数表达式变形为顶点式，可得出抛物线的对称轴，在y轴上截取CC′=GH（点C′在点C的下方），连接BC′交抛物线对称轴于点H，此时四边形CGHA的周长取最小值，由点C的坐标结合GH=1可得出点C′的坐标，由点A，C，B，C′的坐标利用勾股定理可求出AC，BC′的长度，将其代入四边形CGHA的周长的最小值=AC+BC′+GH中，即可求出结论；（3）由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，设点P的坐标为（m，-m2+m+2）（0＜m＜4），则点D的坐标为（m，-m+2），进而可得出PD的长度，由PE⊥BC，PQ⊥x轴及∠PDE=∠BDQ可得出∠DPE=∠DBQ，结合tan∠DPE=可得出PE=2DE，PD=DE，再利用三角形的面积公式可得出S=PD2，由PD=-m2+2m，利用二次函数的性质可求出PD的最大值，代入S=PD2中即可求出S的最大值．【解析】（1）将A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x+2．（2）∵y=-x2+x+2=-（x-）2+，∴抛物线的对称轴为直线x=．如图2，在y轴上截取CC′=GH（点C′在点C的下方），连接BC′交抛物线对称轴于点H．∵CC′∥GH，∴四边形CC′HG为平行四边形，∴C′H=CG．又∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，∴BH=AH，∴AH+CG=BH+C′H=BC′，即此时四边形CGHA的周长取最小值．∵点C的坐标为（0，2），GH=1，∴点C′的坐标为（0，1）．∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），∴AC==，BC′==，∴四边形CGHA的周长的最小值=AC+BC′+GH=++1．（3）设直线BC的函数表达式为y=kx+d（k≠0），将B（4，0），C（0，2）代入y=kx+d，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y=-x+2．设点P的坐标为（m，-m2+m+2）（0＜m＜4），则点D的坐标为（m，-m+2），∴PD=-m2+m+2-（-m+2）=-m2+2m．∵PE⊥BC，PQ⊥x轴，∴∠PED=∠BQD=90°．∵∠PDE=∠BDQ，∴∠DPE=∠DBQ，∴tan∠DPE=，∴PE=2DE，PD=DE，∴S=DE•PE=×PD×PD=PD2．∵在PD=-m2+2m=-（m-2）2+2中，-＜0，∴当m=2时，PD取最大值，最大值为2，∴当点P的坐标为（2，3）时，S取最大值，最大值为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、轴对称-最短路径问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质、三角形的面积以及解直角三角形，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）利用两点之间线段最短找出点H的位置；（3）利用二次函数的性质求出PD的最大值．4．（1）6（2）（3）α的值为15°或60°或105°或150°【分析】（1）根据抛物线的解析式求出A，C两点坐标，可得OA＝3，OC＝3，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2﹣1中，延长FQ交OA于D．设F（m，﹣m2﹣m+3），构建二次函数求出FQ的值最大时的点F的坐标，如图2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作点F′关于直线AC的对称点F″，连接FF″交直线AC于点M，连接FM，EN，EF，此时四边形ENMF的周长最短．再求出点M．N的坐标即可解决问题．（3）分四种情形分别画出图象求解即可．【解析】（1）由题意：A（﹣3，0），B（，0），C（0，3），∴OA＝3，OC＝3，∴AC＝＝6．（2）如图2﹣1中，延长FQ交OA于D．设F（m，﹣m2﹣m+3），∵tan∠CAO＝＝，∴∠CAO＝30°，∵FQ∥y轴，FP⊥AC，∴∠ADQ＝∠FPQ＝90°，∴∠AQD＝∠FQP＝60°，∴当FQ最大时，△FPQ的面积最大，∵直线AC的解析式为y＝x+3，∴Q（m，m+3），∴FQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴m＝﹣，FQ的值最大，即△PFQ的面积最大，此时F（﹣，），如图2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作点F′关于直线AC的对称点F″，连接FF″交直线AC于点M，连接FM，EN，EF，此时四边形ENMF的周长最短．由题意点F向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F′（，），∵F″与F′关于直线AC对称，∴F″（，），∴M（），N（），∵抛物线顶点E（﹣，4），∴FM＝，EN＝＝，EF＝＝，∴四边形ENMF的周长的最小值为.（3）①如图3﹣1中，当AG＝AH时∵AG＝AH，∠HAG＝30°，∴∠AHG＝∠AGH＝75°，∵∠AHG＝∠HO′B″+∠O′B″H，∠O′B″H＝60°∴∠HO′B″＝15°，∴α＝15°②如图3﹣2中，当HA＝HG时，∵AG∥O′C″，∴∠HO′C″＝∠GAO＝30°，∴∠HO′B″＝60°，∴α＝60°．③如图3﹣3中，当AG＝AH时，∵∠AGH＝∠AHG＝15°，∵∠O′C″B″＝∠C″O′H+∠AHG，∴∠HO′C″＝15°，∴∠HO′B″＝105°，∴α＝105°．④如图3﹣4中，当GA＝GH时，同法可得∠OO′B″＝150°，α＝150°．综上所述，满足条件的α的值为15°或60°或105°或150°．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，勾股定理，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）（3，0），y＝﹣x2+4x﹣3；（2）t＝2；（3）t＝4或4+或4﹣.【分析】（1）把A点坐标与对称轴x=1代入解析式即可求出b，c的值，即可求出解析式,故求出B点坐标；（2）由图可知，AC是定长，故只要求出PA+PC最小时，则△PAC的周长最小，又点A关于对称轴x=2的对称点是点B，故连接BC与抛物线对称轴的交点即为P点，此时PA+PC最小，则求出直线BC的解析式与x=2的交点即为P点坐标继而求出t的值；（3）根据AC为腰可分两种情况，①CP＝AC，可作图，根据AC＝CP＝，CF＝2，利用勾股定理可求出PF的长，继而求出时间t，注意还要要分两种情况，②AC＝AP，可作图，利用Rt△OAC≌Rt△DAP，得出DP=CO=3，故而求出EP的长，即可求出时间t.【解析】解：（1）根据题意得：解得：b＝4，c＝﹣3∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3当y＝0时，0＝﹣x2+4x﹣3∴x1＝1，x2＝3∴点B（3，0）故答案为（3，0），y＝﹣x2+4x﹣3（2）如图：∵△PAC的周长＝AC+PA+PC且AC是定长，∴PA+PC最小时，△PAC的周长最小∵点A，点B关于对称轴直线x＝2对称∴连接BC交对称轴直线x＝2于点P∵y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，点E为抛物线的顶点∴点C（0，﹣3），点E（2，1）∴OC＝3，点D（2，0）即DE＝1∵点B（3，0），点C（0，﹣3）∴直线BC解析式：y＝x﹣3当x＝2时，y＝﹣1∴点P（2，﹣1）∴t＝＝2（3）若CP＝AC时，如图：过点C作CF⊥ED于点F∵点A（1，0），点C（0，﹣3）∴OA＝1，OC＝3∵AC＝＝∵CF⊥DE，DE⊥OD，OC⊥OD∴四边形ODFC是矩形∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3∵AC＝CP＝，CF＝2∴PF＝＝∴DP＝3±∴EP＝4±∴t1＝＝4+，t2＝＝4﹣若点AC＝AP时，如图∵点A（1，0），点D（2，0）∴OA＝AD＝1，且AC＝AP∴Rt△OAC≌Rt△DAP（HL）∴OC＝DP＝3∴EP＝4∴t＝＝4综上所述：t＝4或4+或4﹣.【点评】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是根据题意正确作出辅助线进行求解.6．（1），（2）或，（3），，.【分析】（1）把点代入抛物线得，再根据对称轴是，即可求出a、b的值；（2）设点的坐标是，根据抛物线得顶点的坐标是，点的坐标是，再根据是直角三角形分三种情况讨论利用勾股定理来求出相应的m值；（3）设P点（x，），Q（x,）,求得，当时，最大，此时点坐标是，要使四边形的周长最小，已求出，为定长，，故只需最小即可，将点向下平移3个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线与对称轴的交点就是符合条件的点，此时四边形的周长最小，利用待定系数法确定过和点的直线，求出与二次函数对称轴的交点即为N点，点的坐标为，故可求出点、、的坐标【解析】解：（1）∵过点的抛物线的对称轴是，∴解之，得（2）设点的坐标是.由（1）可得抛物线，∴抛物线的顶点的坐标是，点的坐标是.当时，有.∴，解之，得，∴；当时，有.∴，解之，得，∴；当时，有.∴，此方程无解.综上所述，当为直角三角形时，的面积是或.（3）设直线过点，可得直线.由（1）可得抛物线，设P点（x，），Q（x,）∴，∴当时，最大，此时点坐标是.∴最大时，线段为定长.∵，∴要使四边形的周长最小，只需最小.将点向下平移3个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线与对称轴的交点就是符合条件的点，此时四边形的周长最小.设直线过点和点，则解之，得∴直线过点和点.解方程组得∴点的坐标为，∴点的坐标为，所以点、、的坐标分别为，，.【点评】此题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的基础知识，综合利用直角坐标系的坐标变化来综合求解，属于较难题.7．（1）m的值为3；（2）①点P坐标为（﹣，）；②点P的坐标为（）、（﹣1﹣，2）、（﹣2，3）【分析】（1）只需把点A、C的坐标代入y=﹣x2+bx+c，就可求出抛物线的解析式，就可求出m的值．（2）①易得△PDE是等腰直角三角形，PE最大时△PDE的周长就最大．用待定系数法求出直线AB的解析式，设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，则点P、E的纵坐标就可用a的代数式表示，PE的长度也就可以用a的代数式表示，然后运用二次函数的最值性就可求出PE最大（即△PDE的周长最大）时，点P的坐标．②等腰直角△APQ的三边都可能是底边，故分三种情况进行讨论，然后构造全等三角形，得到相等线段，然后用一个字母表示一条线段，从而将点P的坐标用该字母表示，然后代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标．【解析】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（1，0），∴．解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵点B（0，m）在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴m=3，∴m的值为3．（2）①如图1．∵OA=OB=3，∠AOB=90°，∴∠AB0=45°．∵PF⊥OA，PD⊥AB，∴∠PDA=∠EFA=90°=∠AOB，∴EF∥OB，∴∠PED=∠ABO=45°，∴PD=PE•sin45°PE，DE=PE•cos45°PE，∴△PDE的周长为（1）PE．设直线AB的解析式为y=mx+n，则有．解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3．设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，∴yP=﹣a2﹣2a+3，yE=a+3，∴PE=yP﹣yE=（﹣a2﹣2a+3）﹣（a+3）=﹣a2﹣3a=﹣（a）2．∵﹣1＜0，∴当a时，PE取到最大值，△PDE的周长也就取到最大值．此时yP=﹣（）2﹣2×（）+3，∴当点P坐标为（）时，△PDE的周长取到最大值．②Ⅰ．若AQ为等腰直角△APQ的底边，如图2，则有AP=PQ，∠APQ=90°．过点P作PG⊥OA，垂足为G，过点P作PT⊥QH，垂足为T．∵∠PGH=∠GHT=PTH=90°，∴四边形PGHT是矩形，∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT，∴∠APG=90°﹣∠GPQ=∠TPQ．在△AGP和△QTP中，，∴△AGP≌△QTP，∴AG=TQ，PG=PT，∴PG=GH．∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x1，∴OH=1．设PG=t（t＞0），则OG=GH+OH=PG+OH=t+1．∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣t﹣1，t）．∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴t=﹣（﹣t﹣1）2﹣2（﹣t﹣1）+3．整理得：t2+t﹣4=0．解得：t1（舍去），t2，∴点P的坐标为（）．Ⅱ．若PQ为等腰直角△APQ的底边，如图3，则有AP=AQ，∠PAQ=90°．过点P作PG⊥OA，垂足为G，则有∠APG=90°﹣∠PAG=∠HAQ．在△AGP和△QHA中，，∴△AGP≌△QHA，∴PG=AH．∵AH=AO﹣OH=3﹣1=2，∴PG=2，∴yP=2．解﹣x2﹣2x+3=2得：x1=﹣1，x2=﹣1．∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣1，2）．Ⅲ．若AP为等腰直角△APQ的底边，如图4，则有AQ=PQ，∠AQP=90°．过点P作PT⊥QH，垂足为T，则有∠AQH=90°﹣∠PQT=∠TPQ．在△AHQ和△QTP中，∵∠AQH=∠TPQ，∠AHQ=∠QTP，QA=QP，∴△AHQ≌△QTP，∴AH=QT，QH=PT．∵AH=2，∴QT=2．设QH=PT=p（p＞0），则TH=p+2．∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣p﹣1，p+2）．∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴p+2=﹣（﹣p﹣1）2﹣2×（﹣p﹣1）+3．整理得：p2+p﹣2=0．解得：p1=﹣2（舍去），p2=1，∴点P的坐标为（﹣2，3）．综上所述：点P的坐标为（）、（﹣1，2）、（﹣2，3）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的最值性、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，还考查了分类讨论的思想，有较强的综合性，有一定的难度．而正确分类及构造全等三角形是解决最后一小题的关键．8．(1)m＞﹣1；(2)y=﹣x2﹣2x+3；(3)存在点Q（﹣1，2）使得△BQC的周长最短.【分析】（1）将抛物线的问题转化到一元二次方程中，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决；（2）先用一元二次方程的两根表示出OA，OB，再用根与系数的关系即可；（3）先由于点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，连接AC与PD的交点就是使△BQC的周长最短，然后确定出直线AC解析式，最后将抛物线的对称轴代入直线AC解析式中即可．【解析】(1)令y=0，则有﹣x2﹣2x+m+1=0，即：x1

，x2是一元二次方程x2+2x﹣（m+1）=0，∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1

，0）、B（x2

，0）两点，∴x1•x2=﹣（m+1），x1+x2=﹣2，△=4+4（m+1）＞0，∴m＞﹣2∵x1＜0，x2＞0，∴x1•x2＜0，∴﹣（m+1）＜0，∴m＞﹣1，即m＞﹣1(2)解：∵A（x1

，0）、B（x2

，0）两点，且x1＜0，x2＞0，∴OA=﹣x1

，OB=x2

，∵OA=3OB，∴﹣x1=3x2

，①由(1)知，x1+x2=﹣2，②x1•x2=﹣（m+1），③联立①②③得，x1=﹣3，x2=1，m=2，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3(3)存在点Q，理由：如图，连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，（∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，）连接BQ，由(2)知，抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；x1=﹣3，∴抛物线的对称轴PD为x=﹣1，C（0，3），A（﹣3，0），∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，当x=﹣1时，y=2，∴Q（﹣1，2），∴点Q（﹣1，2）使得△BQC的周长最短【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，极值的确定，解本题的关键是将函数问题转化到一元二次方程中去，此种方法是解二次函数中求与线段长度有关的题目中常用的方法．9．（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（，-2）【分析】(1)把点C坐标代入抛物线解析式即可求出a,令y=0可得抛物线与x轴的交点坐标.(2)根据题意可知,当点P在圆外部的抛物线上运动时,∠CPD为锐角,由此即可解决问题.(3)存在.如图2中,将线段C'A平移至D'F,当点D'与点H重合时,四边形AC'D'E的周长最小,求出点H坐标即可解决问题.【解析】解：（1）∵抛物线y=a（x-）2+经过点C（0，-2），∴-2=a（0-）2+，∴a=-，∴y=-（x-）2+，当y=0时，-（x-）2+=0，∴x1=4，x2=1，∵A、B在x轴上，∴A（1，0），B（4，0）．（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-（x-）2+，∴C、D关于对称轴x=对称，∵C（0，-2），∴D（5，-2），如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），∴AC=，AD=2，∴AC2+AD2=CD2，∴∠CAD=90°，∴CD为⊙M的直径，∴当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，则AF=C′D′=CD=5，∵A（1，0），∴F（6，0），作点E关于直线CD的对称点E′，连接EE′正好经过点M，交x轴于点N，∵抛物线顶点（，），直线CD为y=-2，∴E′（，-），连接E′F交直线CD于H，∵AE，C′D′是定值，∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，则当点D′与点H重合时，四边形AC′D′E的周长最小，设直线E′F的解析式为y=kx+b，∵E′（，-），F（6，0），∴可得y=x-，当y=-2时，x=，∴H（，-2），∵M（，-2），∴DD′=5-=，∵-=，∴M′（，-2）【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，及二次函数与圆、四边形的综合，综合性大，需综合运用所学知识求解.10．（1）y=-x2+4x；（2）当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值10；（3）MG+NH=4．【分析】（1）根据旋转变换的性质求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点P的坐标为P（a，-a2+4a），根据抛物线的对称性求出RS，根据二次函数的性质计算；（3）作TK⊥x轴于K，TJ⊥y轴于J，连接TF，TE，延长NH交⊙Q于R，证明△ETK≌△FTJ，根据全等三角形的性质得到EK=FJ，得到OE+OF=8，根据垂径定理得到NH=NR=OF，计算即可．【解析】解：（1）设y=ax2+bx+c，∵OA=4，AB=2，∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，-2），△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，∴点C的坐标为（2，4），则解得．所以抛物线的解析式为y=-x2+4x；（2）有最大值．理由如下：设点P的坐标为P（a，-a2+4a），PR=DS=-a2+4a，由抛物线的对称性知OR=AS，RS=PD=4-2a，矩形PRSD的周长=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，所以当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值10；（3）作TK⊥x轴于K，TJ⊥y轴于J，连接TF，TE，延长NH交⊙Q于R，由题意得，点T的坐标为（4，-4，），即TJ=TK=4，∴点T在∠EOF的平分线上，∴=∴TE=TF，在Rt△TKE和Rt△TJF中，，∴△ETK≌△FTJ（HL），∴EK=FJ，∠EOF=∠KTJ=90°，∴OE+OF=OK-EK+OJ+FJ=OJ+OK=8，∴EF为⊙Q的直径，∴，∵N为的中点，∴，∴，∴NR=OF，∴NH=NR=OF，同理MG=OE，∴MG+NH=（OE+OF）=×8=4．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质定理，掌握二次函数的性质，垂径定理是解题的关键．11．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在；M（1，﹣2）；（3）（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）.【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值；（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=1代入即可得到点M的坐标；（3）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．【解析】（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，设直线BC的解析式为y=kx+t（k≠0），则，解得：，∴直线AC的解析式为y=x﹣3，∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，y=﹣2，∴抛物线对称轴上存在点M（1，﹣2）符合题意；（3）设P的纵坐标为|yP|，∵S△PAB=8，∴AB•|yP|=8，∵AB=3+1=4，∴|yP|=4，∴yP=±4，把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1±2，把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1，∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．【点评】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．12．（1）A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5），x=2；（2）；（3）存在，点P的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．【分析】（1）分别令x=0和y=0代入抛物线的解析式中，可得A、B、C点坐标，根据对称性，可得对称轴；（2）根据矩形周长公式表示四边形EHDF周长，并根据二次函数的顶点式可得四边形EHDF周长的最大值；（3）分三种情况：①当∠CBP=90°时，如图2，根据△PDB∽△BOC，列比例式得：PD=DB，可得结论；②当∠BCP=90°时，如图3，根据△PCG∽△BDG，则=，可得PG的长，从而写出P的坐标；③以AB为直径画圆，交对称轴于P1、P2，如图4，根据△P1DB∽△CHP1，则，列方程可得结论．【解析】解：（1）当x=0时，y=﹣5，∴C（0，﹣5），当y=0时，x2﹣4x﹣5=0，x1=5，x2=﹣1，∴A（﹣1，0），B（5，0），由对称性得：抛物线的对称轴是：（2）如图1，∵E（m，n），且2＜m＜5，∴E在第四象限，∴EF=m﹣2，EH=n=﹣m2+4m+5，设四边形EHDF周长为W，则W=2（EF+EH）=2（m﹣2﹣m2+4m+5）=﹣2m2+10m+6∵﹣2＜0，∴当时，四边形EHDF周长的最大值是；（3）设P（2，y），分三种情况：①当∠CBP=90°时，如图2，∴∠PBO=∠OCB，∵∠PDB=∠COB=90°，∴△PDB∽△BOC，∴∴PD=DB，∴y=5﹣2=3，∴P（2，3）；②当∠BCP=90°时，如图3，∵∠OBC=45°，∴△GDB是等腰直角三角形，∴BD=DG=3，∴∵∴∵△PCG∽△BDG，∴∴∴PG=4，∴P（2，﹣7）；③以AB为直径画圆，交对称轴于P1、P2，如图4，则∠CP1B=∠CP2B=90°，过C作CH⊥对称轴于H，∴△P1DB∽△CHP1，∴,∴∴y1=﹣6（舍），y2=1，∴P1（2，1），同理得：P2（2，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系求对应点；（2）中利用矩形的周长得出二次函数是解题关键；（3）分类讨论证明两三角形相似是解题关键．13．（1）E（﹣4，）；（2）；（3）R（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．【分析】（1）求出直线BE的解析式，利用方程组求出交点E坐标；（2）如图2中，作PK∥OC交BE于K．因为∠PKB是定值=60°，推出当PK的值最大时，PG的值最大，设P（m，m2+m﹣），则K（m，﹣m+），可得PK=﹣m2﹣m+，可知当m=﹣时，PK的值最大，此时P（﹣，﹣）．如图2﹣1中，作A关于BE的对称点A′，连接PA′交BE于M，连接AM、AP，此时△PAM的周长最小；（3）如图3中，设BB′=m，则BR=2m，R（1﹣2m，0），O′（﹣m，m），分三种情形①当O′T=RT时；②当O′T=O′R时；③当RT=RO′时，分别构建方程即可解决问题.【解析】（1）∵抛物线y=x2+x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，令y=0，得到x2+x﹣=0，解得x=﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x=0，得到y=﹣，∴C（0，﹣），∴直线BC的解析式为y=x﹣，∵BE⊥BC，∴直线BE的解析式为y=﹣x+，由，解得或，∴E（﹣4，）；（2）如图2中，作PK∥OC交BE于K．∵∠PKB是定值=60°，∴当PK的值最大时，PG的值最大，设P（m，m2+m﹣），则K（m，﹣m+），∴PK=﹣m2﹣m+，∵﹣＜0，∴当m=﹣时，PK的值最大，此时P（﹣，﹣）．如图2﹣1中，作A关于BE的对称点A′，连接PA′交BE于M，连接AM、AP，此时△PAM的周长最小，∵A（﹣3，0），可得A′（﹣1，2），∴△PAM的周长的最小值=PM+MA+PA=PA+PM+MA′=PA+PA′=+=；（3）如图3中，设BB′=m，则BR=2m，R（1﹣2m，0），O′（﹣m，m），设直线BB′的解析式为y=x+b，把R（1﹣2m，0）代入，得到b=（2m﹣1），∴直线B′C′的解析式为y=x+（2m﹣1），∴T（﹣1，2m﹣2），∴O′R2=（m﹣1）2+（m）2，O′T2=（1﹣m）2+（2﹣m）2，RT2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，①当O′T=RT时，（1﹣m）2+（2﹣m）2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，整理得：7m2﹣11m+3=0，解得m=，∴R（，0）或（，0）．②当O′T=O′R时，（m﹣1）2+（m）2=（1﹣m）2+（2﹣m）2，整理得：2m2﹣5m+6=0，△＜0无解．③当RT=RO′时，（m﹣1）2+（m）2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，整理得15m2﹣31m+15=0解得m=，∴R（，0）或（，0）．【点评】本题考查二次函数综合题、轴对称最短问题、一次函数的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．14．(1)；（2）最小值=；（3）OG=或.【解析】分析：（1）根据解析式求得A、B、C的坐标，进而求得D的坐标，再求出直线AC的解析式，进而求得点E的坐标，分别求出△DCE的边长，从而得解;(2)设,求出即可得解.（3）进行分类讨论即可.解析：（1）可得,对称轴=-1AC:

（2）设当PQ最大时，四边形面积最大

当

此时面积最大，将AM向MN方向平移个单位得到过轴作的对称点,连接,交DG于点N,交y轴于点E,过N作MN∥于轴交PH于点M,此时最小，最小值=（3）过点D’作D’E⊥轴D点的运动轨迹平行于AC，∵∠DCA=60°

DC∥∴∠CG=60°

∠AG=120°∵∠CAO=30°∴∠=30°∵∠=90°∴D’E=∴①时，

∴OG=0(舍)②时，

∴OG=③时，

∴OG=综上所述：OG=或.点评：考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，15．（1）D（－1，0）；（2）点P坐标为（，）；（3）存在为P使△PEH周长取得最大值，点P坐标为（1.5，3.75），△PEH周长最大值为.【解析】分析：（1）由正方形边长是3，得到A、C的坐标，然后把A、C的坐标代入，解方程即可得到抛物线解析式，令y=0，解一元二次方程即可得到点D的坐标．（2）设P（m，-m2+2m+3）(0<m<3)，先用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x+3，设E(m，3-m)，得到PE=-m2+3m，EF=3-m．因为∠PEF=∠COD=900，故要使△PEF与△COD相似，只需或，分别解方程即可得出结论．（3）由正方形的性质可以得到∠PEH=∠AEQ=450．在Rt△PEH中，PH＝，EH＝．设△PEH的周长为l，则l＝PE+PH+EH=()PE，故当PE取最大值时l有最大值．而PE=-m2+3m，配方即可得出结论．解析：（1）∵正方形边长是3，∴A（3，0），C（0，3）．∴．解得．∴y=-x2+2x+3．由-x2+2x+3＝0得x1=3，x2=-1．∴D（－1，0）．（2）设P（m，-m2+2m+3）(0<m<3)．设AC的解析式为：y=kx+b，则．解得：．∴AC：y=-x+3，E(m，3-m)．∴PE=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m，EF=3-m∵∠PEF=∠COD=900，∴要使△PEF与△COD相似，只需或．①当时，．解得：m1=m2=3．∵0<m<3，所以舍去．②当时，，解得：m1=，m2=3．∵0<m<3，所以m=．当x=时，y=∴点P坐标为（）．（3）∵OABC是正方形，∴∠OAB=900，AC平分∠OAB．∴∠OAC=450．又∵∠PQA=900，∴∠AEQ=900-∠OAC=450．∠PEH=∠AEQ=450．在Rt△PEH中，PH＝PEsin450=，EH＝PEcos450=．设△PEH的周长为l，则l＝PE+PH+EH=()PE，∴当PE取最大值时l有最大值．PE=-m2+3m＝－(m-1.5)2+2.25，即当m=1.5时PE有最大值2.25．l最大＝()PE=．当m=1.5时，-m2+2m+3＝3.75答：存在为P使△PEH周长取得最大值，点P坐标为（1.5，3.75），△PEH周长最大值为．点评：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的最值、相似三角形的判定，表示出线段PE的长是解题的关键．16．（1）,；（2）点P的坐标是和；（3）当时，C的最大值是15．【解析】分析：（1）将B、C两点的坐标代入抛物线函数解析式，列出关于b、c的方程组，解方程组求得b、c的值即可求得抛物线的解析式；将点B的坐标代入直线求得m的值，从而得到直线BD的解析式，把直线BD的解析式和抛物线的解析式组成方程组，解方程组即可求得点D的坐标；（2）由题意结合（1）中所得结论易得MN的长度，由抛物线的解析式和BD的解析式表达出线段PE的长，结合题意可知，当PE=MN时，四边形PEMN是平行四边形，由此即可列出方程，解方程即可求得此时点P的坐标；（3）由题意结合点D和点N的坐标易得△DMN的周长，结合（2）可把线段PE的长度用含“a”的代数式表达出来，再证△PEF∽△DNM，即可由相似三角