工程力学运动学与动力学

第13章点的运动与刚体的基本运动点的运动刚体的基本运动目前一页\总数三十一页\编于二十二点13.1点的运动学运动学研究模型概念：点：——不考虑质量和大小及形状时的物体点是运动学研究模型之一刚体：——不考虑质量；但是,其大小及形状不可忽略的物体刚体是运动学研究的另一物体模型目前二页\总数三十一页\编于二十二点13.1点的运动学

——作为描述物体与之相对位置的参考物体参考系1）参考体——建立在参考体上的坐标系在工程中的力学研究中，需要指明参考体；通常将参考系固定在地面上，或者机器的机架上2）参考系目前三页\总数三十一页\编于二十二点13.1点的运动学描述点运动的矢量法OM1MrM2运动轨迹v考虑点M运动：运动方程：r=r(t)(13-1)以某确定点为参考点，以参考点到动点位置为矢径来描述点的位置的方法——矢量法速度：v=drdt(13-2)单位:m/s，方向:轨迹切线加速度：a=dvdt=d2rdt2=r..(13-3)=r.单位：m/s2目前四页\总数三十一页\编于二十二点13.1点的运动学描述点运动的直角坐标法OyxzjikMrzyx考虑点M在坐标系中的坐标：(x,y,z)r=x.i+y.j+z.k(13-4)运动方程：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)(13-5)式（13-6）称为直角形式的运动方程；消去参数t得到点的轨迹方程F(x,y,z)

=0(13-6)目前五页\总数三十一页\编于二十二点13.1点的运动学描述点运动的直角坐标法OyxzjikMrzyxr=x.i+y.j+z.k(13-4)速度：v=drdt=x.i+y.j+z.k···(13-7)设：速度在直角坐标轴上的投影:(vx，vy，vz)v=vx.i+vy.j+vz.k(13-8)得到：vx=x·vy=y·vz=z·(13-9)结论：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数目前六页\总数三十一页\编于二十二点13.1点的运动学描述点运动的直角坐标法OyxzjikMrzyxr=x.i+y.j+z.k(13-4)速度：v=vx.i+vy.j+vz.k(13-8)加速度：a=v·=r··=x.i+y.j+z.k······=ax.i+ay.j+az.k(13-10)其中：(ax，ay，az)表示加速度在直角坐标轴上的投影。得到：ax=vx·ay=vy·az=vz···=x··=y··=z(13-11)点的加速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应速度投影对时间的一阶导数，或等于点的对应坐标对时间的二阶导数。结论:目前七页\总数三十一页\编于二十二点椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。求：①M

点的运动方程②轨迹③速度④加速度例13-1BACOMyxj解：：x=x(t)，y=y(t)。x=(OCcosj+CMcosj)=(l+a)coswty=AMsinj

=(l-a)sinwtta，MClBCACOCwj=====,

：已知点M作曲线运动，取坐标系xOy运动方程目前八页\总数三十一页\编于二十二点BACOMyxjx=(l+a)coswty=(l-a)sinwt消去参数t，得轨迹方程：椭圆速度：vx=x·=-

(l+a)wsinwtvy=y·=(l-a)wcoswtvM

=vx2+vy2=wl2+a2-2a.l.cos2w

tcos(v,i)=vxv

(l+a)wsinwtl2+a2-2a.l.cos2w

t=-cos(v,j)=vyv

(l-a)wcoswtl2+a2-2a.l.cos2w

t=x2(l+a)2y2(l-a)2+=1目前九页\总数三十一页\编于二十二点x=(l+a)coswty=(l-a)sinwt加速度：cos(a,i)=axa

-(l+a)

coswtl2+a2-2a.l.cos2wt=-cos(a,j)=aya

-(l-a)

sinwtl2+a2-2a.l.cos2wt==w2l2+a2-2a.l.cos2wt#BACOMyxjax=vx···=x=–(l+a)w2coswt

ay=vy···=y=–(l–a)w2sinwt

a=a2x+a2y

=–(l+a)2w4cos2wt

+(l–a)2w4sin2wt

目前十页\总数三十一页\编于二十二点13.1点的运动学描述点运动的弧坐标法利用点的运动轨迹建立坐标系，并描述和分析点的运动的方法——弧坐标法OMs(+)(-)运动方程：s=f(t)(13-12)该式称为：以弧坐标表示的点的运动方程速度：v=v.ttddts=OM’Mrr’vτΔrΔs(13-15)速度大小：

v=ddts=s·方向：沿动点轨迹的切线方向（与运动方向一致）目前十一页\总数三十一页\编于二十二点=at

+annt13.1点的运动学描述点运动的弧坐标法运动方程：s=f(t)(13-12)速度：v=v.ttddts=(13-15)加速度：a=dvdt=dvdtt+vddtτ反映速度大小变化at反映速度方向变化an(13-16)切向加速度：at=v···=s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at=v.·tanv2r=na=at+an(全)加速度：(13-18)目前十二页\总数三十一页\编于二十二点13.1点的运动学描述点运动的弧坐标法=at

+annt加速度：a=dvdt=dvdtt+vddtτ(13-16)切向加速度：at=v···=s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at=v.·tanv2r=na=at+an(全)加速度：(13-18)切向加速度反映的是速度值对时间的变化率，方向沿轨迹的切线方向；法向加速度是加速度方向的改变率，方向永远指向曲率中心。大小：a=at2+an2方向：tanq=atan目前十三页\总数三十一页\编于二十二点列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求：列车起点和未点的加速度。例13-2RsO解：分析：v0=0，at=Constant，t=120s，v=15m/s列车作曲线加速运动，取弧坐标如图dvdt=at=常量∵积分得：v=attat=

v/t15120==0.125m/s2目前十四页\总数三十一页\编于二十二点RsO列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求：列车起点和未点的加速度。例13-2①t=0,an=0,a=at=0.125m/s2②t=2min=120sanv2r=(15m/s)2800m==0.281m/s2a=at2+an2=0.308m/s2#目前十五页\总数三十一页\编于二十二点13.2刚体的基本运动刚体基本运动的两个类型：AB平行移动定轴转动目前十六页\总数三十一页\编于二十二点13.2刚体的基本运动平移刚体运动时，其上一直线在运动过程中始终平行于初始位置称为平行移动，简称平移。OyxzABrABrBrAA1B1A2B2A、B两点的轨迹相同rA=rB+rAB常矢量目前十七页\总数三十一页\编于二十二点13.2刚体的基本运动平移OyxzABrABrBrAA1B1A2B2rA=rB+rAB速度：drABdt=0∵drAdt=∴drBdt故vA=vB(13-24)加速度：dvAdt=dvBdt得aA=aB(13-25)结论：当刚体做平动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时的速度、加速度也相同平移刚体运动，可看作点的运动研究目前十八页\总数三十一页\编于二十二点13.2刚体的基本运动定轴转动称为定轴转动运动刚体上(或其扩展部分)有一条直线始终保持不动。转轴ⅠjⅡjAZw运动方程：定轴转动刚体位置：——j转角(rad)j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)方向：逆时针为正，单位：弧度/秒(rad/s)目前十九页\总数三十一页\编于二十二点13.2刚体的基本运动定轴转动ⅠjⅡjAZw运动方程：j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)角速度与工程转速关系：2pn60ω==pn30转速n：r/min(转/分)[rpm](13-28)目前二十页\总数三十一页\编于二十二点13.2刚体的基本运动定轴转动ⅠjⅡjAZw运动方程：j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)角加速度：2dt2dj=dtdwa==j··=w·(13-29)角加速度的大小等于角速度对时间的一阶导数；或等于转角方程对时间的二阶导数。单位：弧度/秒2(rad/s2)目前二十一页\总数三十一页\编于二十二点例13-5计算机硬盘驱动器的电机匀变速转动，启动后为了尽快达到最大转速，要求3s内转速从零增加到3000r/min，求电机的角加速度及转过的转数。解：t=0,w0

=0t=3s:w=pn303000p30==100p(rad/s)dtdwa==常量（匀变速转动）30∫100p0∫adt=dw积分：a=(rad/s2)100p3解得：又：dtdwa==djdw×dtdj=w×dtdj目前二十二页\总数三十一页\编于二十二点例13-5计算机硬盘驱动器的电机匀变速转动，启动后为了尽快达到最大转速，要求3s内转速从零增加到3000r/min，求电机的角加速度及转过的转数。积分：#dtdwa==djdw×dtdj=w×djdwj0∫100p0∫adj=wdw解得：=150(rad)j=××(100p)2(rad)3100p12j2pN=150p2p==75(转)目前二十三页\总数三十一页\编于二十二点13.2刚体的基本运动定轴转动定轴转动刚体上各点的速度和加速度OO’sjMMABrωvatanaq转动方程：s=rj(13-30)速度：v=s·=rw=rj·(13-31)加速度：at=dvdt=s··=ra=rj··(13-32)an=v2ρ(rw)2r==rw2(13-33)=aw2a=at2+an2=ra2+w4tanq=atan(13-34)目前二十四页\总数三十一页\编于二十二点13.2刚体的基本运动定轴转动定轴转动刚体上各点的速度和加速度速度、加速度分布情况：ωvvvω速度分布三角形v=rwωaat=raan=rw2a=ra2+w4ωaqanatavqanataqqaa加速度分布三角形=aw2tanq目前二十五页\总数三十一页\编于二十二点O例：13-6汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点距轮心为r，在某瞬时的全加速度与转轮半径之间的夹角为θ°求叶轮的转动方程及t=2s

时M点速度和法向加速度。设：a=40m/s2；t=0；j0=0，q=30°，r=