【教学】《探究ω(ω＞)对函数y＝sinωx的图象的影响》示范教学北师大新课标

探究ω(ω＞0)对函数y＝sinωx的图象的影响新知探究问题1

“南昌之星”摩天轮，建立坐标系后，A′的坐标是什么？如何计算A′到地面的距离？可以用O到地面的距离加上A′点纵坐标，即由摩天轮的已知数据可知∠xOA′＝

，OA′＝OA＝76.5（m），如图，xyOAA'所以A′的坐标是新知探究追问1：想一想还有哪些领域会用到正弦型的函数？y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）．在物理学和工程技术中会遇到一些问题，其中的函数关系都形如：新知探究追问2：这类函数有什么性质？它与函数y＝sinx有什么关系？因此y＝Asin（ωx＋φ）的性质可类比y＝sinx的性质研究．从解析式来看，若A＝1，ω＝1，φ＝0，函数y＝Asin（ωx＋φ）就是y＝sinx．新知探究问题2函数y＝sin2x是周期函数吗？如果是，请求出周期；如果不是，请说明理由．由于sin2x＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π），根据周期函数的定义，y＝sin2x是周期函数，且π是y＝sin2x的最小正周期．新知探究问题3我们利用“五点（画图）法”画函数y＝sin2x的简图，请问怎样取五个关键点？并说明理由．取函数y＝sin2x的最高点，最低点，以及与x轴的交点即可．由于函数y＝sin2x的最小正周期是π，于是，先画出一个周期［0，π］上的图象，画出该函数在一个周期［0，π］上的图象．由函数y＝sin2x的周期性，把图象向左、右延伸，得到y＝sin2x在R上的图象．令2x＝0，

，π，

，2π，得到y＝sin2x的五个关键点：

（0，0），（π，0）．新知探究追问1：能根据上述分析画出y＝sin2x在R上的简图吗？新知探究追问2：请在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝sinx和y＝sin2x的图象，观察图象，说说它们之间发生了哪些变化？并用数学语言描述你所观察到的情形．从函数y＝sin2x的图象看出，纵坐标不变，就得到y＝sin2x图象．将函数y＝sinx图象上每个点的横坐标都缩短为原来的

，新知探究★资源名称：【数学探究】探索ω（ω＞0）对y＝sin（ωx＋φ）图象的影响★使用说明：本资源为“探索ω（ω＞0）对y＝sin（ωx＋φ）图象的影响”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．新知探究问题4观察函数y＝sin2x的图象，可以得到哪些性质？（1）单调性；（2）奇偶性；（3）最值．新知探究追问1：函数y＝

是不是周期函数，如果是，它的周期如何确定？因为根据周期的定义，

是周期为6的函数．新知探究追问2：一般地，函数y＝sinωx（ω＞0）是周期函数吗？如果是，它的周期如何确定？y＝sinωx（ω＞0）的最小周期T＝

．新知探究一般地，对于ω＞0有sinωx＝sin（ωx＋2π）＝

．根据周期函数的定义T＝

是函数y＝sinωx的最小正周期．函数y＝sinωx的图象是将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短

（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的

倍（纵坐标不变）得到的．通常称

为频率．练习练习：

P43练习第1，2，3题．初步应用例1

已知函数f（x）＝2sin（－2x），下列结论不正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）在区间

内单调递减C．函数f（x）的图象一个对称中心为D．把函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来

得到y＝－2sin4x的图象解析：由题意，函数f（x）＝－2sin2x，其最小正周期为π，故选项A正确；函数f（x）为奇函数，图象关于与x轴的交点成中心对称，所以C正确，显然D正确．函数f（x）在

上为减函数，故B错；B初步应用例2

若函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间

上单调递减，求ω的取值范围．解答：令

＋2kπ≤ω≤

＋2kπ（k∈Z），则

，（k∈Z）∵函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间

上单调递减，∴

且当x＝0满足题意，∴≤ω≤3．归纳小结（2）怎样求y＝sinωx（ω＞0）得单调区间？问题5通过本节课的学习，你掌握了ω对f（x）＝sinωx（ω＞0）在影响了吗？

（1）如何求函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的周期？（3）由y＝sinx的图象怎样得到y＝sinωx（ω＞0）的图象？（1）利用公式T＝

求解；

（2）单调递增区间可由2kπ－

≤ωx≤2kπ＋

（k∈Z）得到，单调递减区间可由2kπ＋

≤ωx≤2kπ＋

（k∈Z）得到；

归纳小结（2）怎样求y＝sinωx（ω＞0）得单调区间？问题5通过本节课的学习，你掌握了ω对f（x）＝sinωx（ω＞0）在影响了吗？

（1）如何求函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的周期？（3）由y＝sinx的图象怎样得到y＝sinωx（ω＞0）的图象？（3）函数y＝sinωx的图象是将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短，（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的

倍（纵坐标不变）得到的．作业布置作业：教科书P42练习3．1目标检测A把y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩短到原来的

倍，纵坐标不变，得（）的图象．A．y＝sin3xB．y＝sinxC．y＝sinxD．y＝3sin3x解析：将y＝sinx的图象横坐标缩短到原来的

倍得y＝sin3x的图象．2目标检测函数f（x）＝

的单调增区间是__________________________．由已知f（x）＝－sin2x，2kπ＋

≤2x≤2kπ＋

得kπ＋

≤x≤kπ＋

（k∈Z）．（k∈Z）3目标检测f（x）＝2sinωx（0＜ω＜1），在区间

上的最大值是

，则ω＝______．解析：函数f（x）的周期T＝

，因此f（x）＝2sinωx在

上是增函数，∵0＜ω＜1，∴是

的子集，∴f（x）在

上是增函数，∴即∴∴目标检测24将函数f（x）＝sinωx（