高等数学第九章第节重积分的应用

第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力机动目录上页下页返回结束重积分的应用第九章1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在xoy面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面机动目录上页下页返回结束例2.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动目录上页下页返回结束二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d

,(称为面积元素)则机动目录上页下页返回结束故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上页下页返回结束若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且机动目录上页下页返回结束例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.机动目录上页下页返回结束例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2利用直角坐标方程.(见书P109)方法1利用球坐标方程.机动目录上页下页返回结束三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心机动目录上页下页返回结束将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束同理可得则得形心坐标：机动目录上页下页返回结束若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x轴的

静矩—对y轴的

静矩机动目录上页下页返回结束例5.求位于两圆和的质心.

解:利用对称性可知而之间均匀薄片机动目录上页下页返回结束例6详.一个尺炼钢夕炉为桐旋转术体形谣,觉剖面泉壁线的方烧程为内储职有高叶为h的均帖质钢箭液,解:利用捡对称压性可比知质糠心在z轴上沃，采用钩柱坐魔标,烟则变炉壁攀方程饥为因此故自重魔,继求它歪的质脏心.若炉不计扰炉体法的其坐标师为机动讲目科录屠上页外下额页虎返回赌结镇束机动眨目寇录虽上页像下积页吧返回蔽结裙束四、拾物体管的转圾动惯胶量设物蒙体占劣有空交间区殃域庭,掠有连抗续分拼布的教密度朴函数该物慌体位握于(x,y,z)处的微元因此矿物体对z轴敬的转呀动惯拆量:对z轴的榆转动生惯量明为因质点绣系的郊转动让惯量单等于耗各质苹点的贱转动姿惯量驰之和岩,故连续伶体的忍转动纹惯量类可用仗积分唇计算浸.机动箭目韵录芬上页致下骂页盏返回场结砌束类似寇可得团:对x轴的逝转动岗惯量对y轴的趴转动偶惯量对原握点的堵转动嫁惯量机动霸目雁录蚂上页吧下块页江返回扫结再束如果晚物体野是平泼面薄名片,面密度层为则转窃动惯亭量的搅表达聪式是捡二重霜积分解.机动卖目痒录牵上页视下替页僵返回姿结午束例7.求半罚径为a的均跌匀半勤圆薄初片对闭其直腊径解:建立辣坐标讲系如缝图,半圆上薄片霞的质育量的转旅动惯毁量.机动格目镰录萌上页负下敲页壳返回痒结树束解:取球礼心为杂原点奥,z轴为l轴,则球体斗的质荐量例8性.求均滨匀球优体对障于过框球心爹的一储条轴l的转同动惯延量.设球所占咽域为(用询球坐卷标)机动坊目姻录苹上页兵下型页纳返回飞结炭束G为引辛力常踪蝶数五、布物体芽的引时力设物引体占疲有空边间区仆域,物体拣对位骂于原披点的葛单位搭质量商质点球的引芝力利用僚元素射法,在上积分倦即得踏各引酱力分裹量:其密白度函猎数引力肌元素驾在三末坐标亏轴上烛的投准影分徒别为机动舍目迎录葬上页乎下促页舅返回立结虽束对xo沈y面上邪的平鹿面薄别片D,它对原点躁处的酸单位蝇质量凭质点的引力营分量皮为机动耻目刷录停上页宋下合页偶返回扁结益束例9藏.设面判密度门为μ,半径霸为R的圆财形薄辩片求它仿对位幼于点解:梦由对哈称性果知引宪力处的皂单位旦质量雹质点碰的引也力.。机动页目咬录机上页姑下管页沿返回设结孤束例1译0.求半丹径R的均塌匀球对位格于的单陕位质庄量质环点的凳引力隐.解:利用蜻对称啄性知轰引力悬分量点机动诞目闸录呀上页促下渗页诉返回罚结鱼束为球的质量机动桂目栋录还上页静下忆页盯返回身结梢束作业P9良67，团10有,制1史7P1知161，矩3，匆6,饥1踪蝶1,捧13末,重1采4习题命课床目黄录引上页卵下便页书返回堤结住束(t为时表间)叨的娇雪堆帜在融红化过蒙程中苦,其侧面策满足煮方程设长介度单食位为诵厘米即,时间孔单位帽为小削时,设有责一高貌度为已知应体积偿减少陵的速乔率与愈侧面最积成截正比(比咐例系跨数0.论9),问高住度为13食0cm的雪近堆全似部融饺化需仙要多少阻小时劈燕?(2岩00懒1考升研)机动券目排录兔上页辨下派页遣返回尼结冲束备用幼题提示激:记雪削堆体剂